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25.（本小题满分14分）
已知多项式$2m^2n^4 - 3mn - 2$的次数为$a$，项数为$b$，常数项为$c$. 如图，在数轴上$A$点表示数$a$，$B$点表示数$b$，$C$点表示数$c$，$P$点表示数$x(x≠3)$.
(1)$a=$
(2)若将数轴对折，对折后$A$点与$C$点重合，此时点$B$与点$P$也重合，求点$P$所表示的数$x$.
(3)若将数轴从点$P$处对折，使得对折后$PB=2AC$，求点$P$所表示的数$x$.
已知多项式$2m^2n^4 - 3mn - 2$的次数为$a$，项数为$b$，常数项为$c$. 如图，在数轴上$A$点表示数$a$，$B$点表示数$b$，$C$点表示数$c$，$P$点表示数$x(x≠3)$.
(1)$a=$
6
，$b=$3
，$c=$−2
.(2)若将数轴对折，对折后$A$点与$C$点重合，此时点$B$与点$P$也重合，求点$P$所表示的数$x$.
(3)若将数轴从点$P$处对折，使得对折后$PB=2AC$，求点$P$所表示的数$x$.
答案
25. (1)6 3 −2 (2)因为点A为6，点C为−2，所以折痕与数轴的交点为$\frac{6+(−2)}{2}=2$. 又因为点B与点P重合，点B为3，所以$\frac{3+x}{2}=2$. 所以$x=1$. 所以点P表示的数为1. (3)①当$x≤−2$时，因为对折纸面后，折痕经过点P，所以对折纸面后，$AC=6−(−2)=8$，$PB=3−x$. 因为$PB=2AC$，所以$3−x=2×8$，解得$x=−13$. ②当$x≥6$时，因为对折纸片后，折痕经过点P，所以对折纸面后，$AC=6−(−2)=8$，$PB=x−3$. 因为$PB=2AC$，所以$x−3=2×8$，解得$x=19$. ③当$−2＜x＜3$时，因为对折纸面后，折痕经过点P，所以点C为$2x+2$，点A为6，点B为3. 所以$AC=|2x+2−6|=|2x−4|$，$PB=3−x$. 因为$PB=2AC$，所以$3−x=2|2x−4|$，解得$x=\frac{11}{5}$或$x=\frac{5}{3}$. ④当$3＜x＜6$时，因为对折纸面后，折痕经过点P，所以点A为$2x−6$，点B为3，点C为−2. 所以$AC=2x−6−(−2)=2x−4$，$PB=x−3$. 因为$PB=2AC$，所以$x−3=2(2x−4)$，解得$x=\frac{5}{3}$(不合题意，舍去). 综上，$x=−13$或$x=\frac{11}{5}$或$x=\frac{5}{3}$或$x=19$.
解析
【分析】
第(1)问考查多项式基本概念：多项式的次数是最高次项的次数，项数是所含单项式的总个数，常数项是不含字母的项，直接对应定义即可求出a、b、c的值。
第(2)问考查数轴折叠的核心性质：两点折叠后重合，说明折痕是两点的中点，先求出A、C的中点即折痕位置，再利用B、P关于该折痕对称列方程即可求解x。
第(3)问为动态折叠问题，折痕为点P，需根据P的位置分情况讨论：按P在C左侧、C和B之间、B和A之间、A右侧四类，分别表示出对折后PB和AC的长度，结合PB=2AC列方程求解，最后检验解是否符合对应区间，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 多项式$2m^2n^4 - 3mn - 2$中，最高次项为$2m^2n^4$，次数为$2+4=6$，故$a=6$；该多项式共有$2m^2n^4$、$-3mn$、$-2$三项，故$b=3$；常数项为$-2$，故$c=-2$。
(2) 已知A表示6，C表示-2，对折后A、C重合，因此折痕对应的数为两点的中点：$\frac{6+(-2)}{2}=2$。
因为点B（表示3）与点P（表示x）也重合，说明两点关于折痕2对称，中点为2，因此可得：
$\frac{3+x}{2}=2$
解得$x=1$，即点P表示的数为1。
(3) 未折叠时$AC=6-(-2)=8$，折痕为点P（表示x），分四种情况讨论：
① 当$x ≤ -2$时：
对折后$PB=3-x$，$AC$长度不变为8，根据$PB=2AC$列方程：
$3-x=2×8$
解得$x=-13$，符合$x≤-2$，成立。
② 当$-2 ＜ x ＜ 3$时：
对折后点C的对应点为$2x+2$，此时$AC=|(2x+2)-6|=|2x-4|$，$PB=3-x$，列方程：
$3-x=2|2x-4|$
当$x≥2$时，方程为$3-x=2(2x-4)$，解得$x=\frac{11}{5}$，符合$2≤ x＜3$，成立；
当$x＜2$时，方程为$3-x=2(4-2x)$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合$-2＜x＜2$，成立。
③ 当$3 ＜ x ＜ 6$时：
对折后点A的对应点为$2x-6$，此时$AC=(2x-6)-(-2)=2x-4$，$PB=x-3$，列方程：
$x-3=2(2x-4)$
解得$x=\frac{5}{3}$，不符合$3＜x＜6$，舍去。
④ 当$x≥6$时：
对折后$PB=x-3$，$AC$长度不变为8，列方程：
$x-3=2×8$
解得$x=19$，符合$x≥6$，成立。
综上，点P表示的数为$-13$或$\frac{11}{5}$或$\frac{5}{3}$或$19$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$，$\boxed{3}$，$\boxed{-2}$
(2) $\boxed{1}$
(3) $\boxed{x=-13}$或$\boxed{x=\frac{11}{5}}$或$\boxed{x=\frac{5}{3}}$或$\boxed{x=19}$
【知识点】
多项式的概念，数轴折叠问题，分类讨论思想
【点评】
本题综合考查多项式基础定义与数轴折叠的应用，前两问侧重基础概念的掌握，第三问需要结合点的位置分类讨论，注意不同区间内线段长度的表示方法，以及解的合理性检验，能有效考查综合分析与运算能力。
【难度系数】
0.4
第(1)问考查多项式基本概念：多项式的次数是最高次项的次数，项数是所含单项式的总个数，常数项是不含字母的项，直接对应定义即可求出a、b、c的值。
第(2)问考查数轴折叠的核心性质：两点折叠后重合，说明折痕是两点的中点，先求出A、C的中点即折痕位置，再利用B、P关于该折痕对称列方程即可求解x。
第(3)问为动态折叠问题，折痕为点P，需根据P的位置分情况讨论：按P在C左侧、C和B之间、B和A之间、A右侧四类，分别表示出对折后PB和AC的长度，结合PB=2AC列方程求解，最后检验解是否符合对应区间，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 多项式$2m^2n^4 - 3mn - 2$中，最高次项为$2m^2n^4$，次数为$2+4=6$，故$a=6$；该多项式共有$2m^2n^4$、$-3mn$、$-2$三项，故$b=3$；常数项为$-2$，故$c=-2$。
(2) 已知A表示6，C表示-2，对折后A、C重合，因此折痕对应的数为两点的中点：$\frac{6+(-2)}{2}=2$。
因为点B（表示3）与点P（表示x）也重合，说明两点关于折痕2对称，中点为2，因此可得：
$\frac{3+x}{2}=2$
解得$x=1$，即点P表示的数为1。
(3) 未折叠时$AC=6-(-2)=8$，折痕为点P（表示x），分四种情况讨论：
① 当$x ≤ -2$时：
对折后$PB=3-x$，$AC$长度不变为8，根据$PB=2AC$列方程：
$3-x=2×8$
解得$x=-13$，符合$x≤-2$，成立。
② 当$-2 ＜ x ＜ 3$时：
对折后点C的对应点为$2x+2$，此时$AC=|(2x+2)-6|=|2x-4|$，$PB=3-x$，列方程：
$3-x=2|2x-4|$
当$x≥2$时，方程为$3-x=2(2x-4)$，解得$x=\frac{11}{5}$，符合$2≤ x＜3$，成立；
当$x＜2$时，方程为$3-x=2(4-2x)$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合$-2＜x＜2$，成立。
③ 当$3 ＜ x ＜ 6$时：
对折后点A的对应点为$2x-6$，此时$AC=(2x-6)-(-2)=2x-4$，$PB=x-3$，列方程：
$x-3=2(2x-4)$
解得$x=\frac{5}{3}$，不符合$3＜x＜6$，舍去。
④ 当$x≥6$时：
对折后$PB=x-3$，$AC$长度不变为8，列方程：
$x-3=2×8$
解得$x=19$，符合$x≥6$，成立。
综上，点P表示的数为$-13$或$\frac{11}{5}$或$\frac{5}{3}$或$19$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$，$\boxed{3}$，$\boxed{-2}$
(2) $\boxed{1}$
(3) $\boxed{x=-13}$或$\boxed{x=\frac{11}{5}}$或$\boxed{x=\frac{5}{3}}$或$\boxed{x=19}$
【知识点】
多项式的概念，数轴折叠问题，分类讨论思想
【点评】
本题综合考查多项式基础定义与数轴折叠的应用，前两问侧重基础概念的掌握，第三问需要结合点的位置分类讨论，注意不同区间内线段长度的表示方法，以及解的合理性检验，能有效考查综合分析与运算能力。
【难度系数】
0.4
