1. 如图，在$\odot O$中，若圆心角$∠ AOB=48°$，那么圆周角$∠ ACB$的度数是________。

第1题 第2题 第3题

24°

【分析】
解题时首先观察两角的对应关系：∠AOB和∠ACB均对应弧AB，其中∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，回忆圆周角定理内容：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此只需用已知的圆心角度数除以2，即可求出圆周角∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵在⊙O中，弧AB所对的圆心角为∠AOB=48°，弧AB所对的圆周角为∠ACB，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×48°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确判断两个角为同一段弧所对的圆心角和圆周角，计算难度低，掌握定理即可得分。
【难度系数】
0.9

2. 如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A，B，O是小正方形的顶点，$\odot O$的半径为2，P是$\odot O$上的点，且位于右上方的小正方形内，则$∠ APB$的度数是.

2. 45°

【分析】
解题思路如下：第一步先观察图形确定圆心角∠AOB的度数，由四个小正方形拼接的特点，可知OA水平向左、OB竖直向下，二者互相垂直，因此∠AOB=90°；第二步回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠APB和∠AOB都是弧AB所对的角，其中∠APB是圆周角，∠AOB是圆心角，代入计算即可得到∠APB的度数。
【解析】
解：由图形可得，OA⊥OB，因此圆心角∠AOB=90°。
∵∠APB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ APB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×90° = 45°$。
【答案】
45°
【知识点】
圆周角定理，直角的判定
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是找到同弧对应的圆心角和圆周角的关系，结合图形特征快速得到圆心角度数即可求解，是圆周角相关知识的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图，线段AB是$\odot O$的直径. 若$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CAB=20°$，则$∠ AOD$的度数是.

3. 140°

【分析】
解题时首先从已知的圆周角$∠ CAB$出发，回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可先求出$\overset{\frown}{CB}$对应的圆心角$∠ COB$的度数；再根据已知条件$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，利用等弧所对的圆心角相等，得到$∠ BOD$的度数；最后结合AB是直径，$∠ AOB$为平角$180°$，用$180°$减去$∠ BOD$即可求出$∠ AOD$的度数。
【解析】
解：
∵$∠ CAB$是$\overset{\frown}{CB}$所对的圆周角，$∠ COB$是$\overset{\frown}{CB}$所对的圆心角，
根据圆周角定理，得$∠ COB=2∠ CAB$，
∵$∠ CAB=20°$，
∴$∠ COB=2×20°=40°$。
又
∵$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BOD=∠ COB=40°$（等弧所对的圆心角相等）。
∵线段AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-40°=140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质，平角的定义
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题的核心是找准弧与对应圆心角、圆周角的匹配关系，难度较低，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图，Rt△ABC是某技术工人自制的一个三角形纸板(厚度不计). 已知∠BAC=90°，∠B=15°，AC=10 cm. 将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边AB与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现CD=BD，则该圆形工件的半径长为.

4. 10 cm

【分析】
解题时先从已知条件CD=BD入手，利用等边对等角得到∠BCD=∠B，再结合三角形外角性质求出∠ADC的度数；接着根据∠BAC=90°，利用圆周角定理的推论判断出CD是圆的直径；最后在Rt△ADC中利用含30°角的直角三角形的性质求出直径CD的长度，除以2即可得到圆形工件的半径。
【解析】
解：
∵ $ CD=BD $，$ ∠B=15° $
∴ $ ∠BCD=∠B=15° $
∵ $ ∠ADC $ 是 $ △BCD $ 的外角
∴ $ ∠ADC=∠B+∠BCD=15°+15°=30° $
又
∵ $ ∠BAC=90° $，即 $ ∠DAC=90° $
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得$ CD $是圆形工件的直径。
在$ Rt△ADC $中，$ ∠DAC=90° $，$ ∠ADC=30° $，$ AC=10\ \mathrm{cm} $
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
$ CD=2AC=2×10=20\ \mathrm{cm} $
∴ 圆形工件的半径为 $ \frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm} $
【答案】
10 cm
【知识点】
圆周角定理推论；等腰三角形性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形的角的性质和圆的圆周角知识结合考查，解题的突破口是判断出CD为圆的直径，熟练掌握各基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AB$是$\odot O$的直径，过点$B$作$BD ⊥ AB$交$AC$的延长线于点$D$，点$E$在$\odot O$上，连接$AE$，$CE$，$CA=CE$，$∠ ACE=56°$.求$∠ D$的度数.

62°

【分析】
解题时先从已知的等腰△ACE入手，利用等腰三角形内角和性质计算出底角∠AEC的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到∠ABC=∠AEC；接着利用直径所对的圆周角是直角，得出△ABC是直角三角形，计算出∠BAC的度数；最后在Rt△ABD中，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
1.
∵ $CA=CE$，$∠ACE=56°$
∴ $△ ACE$为等腰三角形，$∠ AEC=∠ EAC=\frac{180°-∠ ACE}{2}=\frac{180°-56°}{2}=62°$
2.
∵ $∠ ABC$和$∠ AEC$都是弧$AC$所对的圆周角
∴ 根据圆周角定理，$∠ ABC=∠ AEC=62°$
3.
∵ $AB$是$\odot O$的直径
∴ 直径所对的圆周角$∠ ACB=90°$，即$△ ABC$为直角三角形
∴ $∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-62°=28°$
4.
∵ $BD⊥ AB$
∴ $∠ ABD=90°$，即$△ ABD$为直角三角形
∴ $∠ D=90°-∠ BAC=90°-28°=62°$
【答案】
62°
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与三角形的基础性质，解题核心是利用同弧所对圆周角相等完成角的等量转换，再结合直径的性质与直角三角形的角度关系求解，逻辑链条清晰，注重基础性质的综合运用。
【难度系数】
0.7