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1. (★)在实数$\frac{π}{2},\sqrt[3]{8},\frac{27}{81},0.124,3.1415926,\sqrt{5}$中，无理数有 （）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
D
解析
先化简并判断各数：$\frac{π}{2}$是无理数；$\sqrt[3]{8}=2$，是有理数；$\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$，是有理数；0.124、3.1415926均为有限小数，是有理数；$\sqrt{5}$是无理数。因此无理数共2个。
2.(★)若实数$3m-6$有平方根,则$m$的取值范围是 ()
A.$m≤ 2$
B.$m＜2$
C.$m＞2$
D.$m≥ 2$
A.$m≤ 2$
B.$m＜2$
C.$m＞2$
D.$m≥ 2$
答案
D
解析
根据平方根的性质，负数没有平方根，非负数有平方根，因此3m - 6 ≥ 0，解不等式得m≥2，对应选项D。
3.(★)若一个正数的两个不同的平方根分别是$3a-4$和$-2a$,则$a$的值为 ()
A.$4$
B.$8$
C.$-4$
D.$\pm 4$
A.$4$
B.$8$
C.$-4$
D.$\pm 4$
答案
A
解析
正数的两个不同平方根互为相反数，因此它们的和为0，据此列方程：$(3a - 4) + (-2a) = 0$，解得$a=4$，对应选项A。
4.(★)$\sqrt[3]{8}$的倒数是 （）
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
C
解析
先计算$\sqrt[3]{8}=2$，再求2的倒数为$\frac{1}{2}$，对应选项C。
5.(★★)下面四个数中，与$\sqrt{6}$最接近的是 （）
A.2
B.2.5
C.2.6
D.3
A.2
B.2.5
C.2.6
D.3
答案
B
解析
计算各选项的平方：2²=4，2.5²=6.25，2.6²=6.76，3²=9。比较6与各平方的差值，差值最小的是0.25（对应2.5），故与√6最接近的是2.5。
6.(★★)若$a=\sqrt[3]{9},b=\sqrt{5},c=2$,则$a,b,c$的大小关系为 ()
A.$b＜c＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$a＜b＜c$
A.$b＜c＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$a＜b＜c$
答案
C
解析
要比较$a=\sqrt[3]{9},b=\sqrt{5},c=2$的大小，利用正数的幂越大，原数越大的性质：
1. 比较$a$和$c$：$a^3=(\sqrt[3]{9})^3=9$，$c^3=2^3=8$，因为$9＞8$，所以$a＞c$；
2. 比较$b$和$c$：$b^2=(\sqrt{5})^2=5$，$c^2=2^2=4$，因为$5＞4$，所以$b＞c$；
3. 比较$a$和$b$：将两者都升到6次方，$a^6=(\sqrt[3]{9})^6=9^2=81$，$b^6=(\sqrt{5})^6=5^3=125$，因为$81＜125$，所以$a＜b$；
综上，大小关系为$c＜a＜b$。
1. 比较$a$和$c$：$a^3=(\sqrt[3]{9})^3=9$，$c^3=2^3=8$，因为$9＞8$，所以$a＞c$；
2. 比较$b$和$c$：$b^2=(\sqrt{5})^2=5$，$c^2=2^2=4$，因为$5＞4$，所以$b＞c$；
3. 比较$a$和$b$：将两者都升到6次方，$a^6=(\sqrt[3]{9})^6=9^2=81$，$b^6=(\sqrt{5})^6=5^3=125$，因为$81＜125$，所以$a＜b$；
综上，大小关系为$c＜a＜b$。
7. (★★)若$0＜x＜1$,则下列关系式成立的是 （）
A.$x＜\dfrac{1}{x}＜\sqrt{x}＜x^2$
B.$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\dfrac{1}{x}$
C.$\dfrac{1}{x}＜x＜x^2＜\sqrt{x}$
D.$\sqrt{x}＜\dfrac{1}{x}＜x＜x^2$
A.$x＜\dfrac{1}{x}＜\sqrt{x}＜x^2$
B.$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\dfrac{1}{x}$
C.$\dfrac{1}{x}＜x＜x^2＜\sqrt{x}$
D.$\sqrt{x}＜\dfrac{1}{x}＜x＜x^2$
答案
B
解析
取特殊值法，令$x=0.25$（满足$0＜x＜1$），计算得$x^2=0.0625$，$\sqrt{x}=0.5$，$\frac{1}{x}=4$，比较大小得$0.0625＜0.25＜0.5＜4$，即$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$，故答案为B。
8.(★★)若$x,y$为实数,且$|x-4|+\sqrt{(y-5)^2}=0$,则$|x-y|$的值为 （）
A.1
B.9
C.4
D.5
A.1
B.9
C.4
D.5
答案
A
解析
因为绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，所以由|x-4|+√(y-5)²=0得x-4=0，y-5=0，解得x=4，y=5。则|x-y|=|4-5|=1。
9. (★★★)正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与数2020对应的点是（）
A.A
B.B
C.C
D.D
A.A
B.B
C.C
D.D
答案
D
解析
首先确定正方形翻转的周期规律：初始时，数0对应D，数1对应A，数2对应B，数3对应C，之后每4个数为一个周期，依次对应D、A、B、C循环。计算2020除以4的余数：2020÷4=505，余数为0，对应周期中的D点。
10.(★★★)有一个数值转换器,程序如下:
当输入$x=256$时,输出$y$的值是 （）
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
当输入$x=256$时,输出$y$的值是 （）
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$
答案
D
解析
输入x=256，第一次取算术平方根得16，16是有理数，返回；输入16，取算术平方根得4，4是有理数，返回；输入4，取算术平方根得2，2是有理数，返回；输入2，取算术平方根得√2，√2是无理数，输出y=√2。
