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11. (★)比较大小:1.73 ______ $\sqrt{3}$.(填“＞”“＜”或“=”)
答案
＜
解析
解：要比较1.73和$\sqrt{3}$的大小，可比较两个正数的平方，平方大的正数更大。
计算得：$1.73^2 = 1.73×1.73 = 2.9929$，$(\sqrt{3})^2 = 3$。
因为$2.9929 ＜ 3$，所以$1.73 ＜ \sqrt{3}$。
计算得：$1.73^2 = 1.73×1.73 = 2.9929$，$(\sqrt{3})^2 = 3$。
因为$2.9929 ＜ 3$，所以$1.73 ＜ \sqrt{3}$。
12. (★★)已知 $ k $ 是$\sqrt{5}$的小数部分，则$\frac{1}{k+1} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
解析
解：因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，
则$\sqrt{5}$的整数部分是$2$，小数部分$k=\sqrt{5}-2$，
所以$k+1=\sqrt{5}-2+1=\sqrt{5}-1$，
因此$\frac{1}{k+1}=\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
则$\sqrt{5}$的整数部分是$2$，小数部分$k=\sqrt{5}-2$，
所以$k+1=\sqrt{5}-2+1=\sqrt{5}-1$，
因此$\frac{1}{k+1}=\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$。
13.(★★)已知$2x+1$的平方根是$\pm 3$，$4x-2y+2$的立方根是2，则$-3(x+y)$的立方根是________.
答案
$-3$
解析
解：
因为$2x + 1$的平方根是$\pm 3$，所以$2x + 1 = (\pm 3)^2 = 9$，
解得$2x = 8$，$x = 4$。
又因为$4x - 2y + 2$的立方根是$2$，所以$4x - 2y + 2 = 2^3 = 8$，
将$x = 4$代入得：$4×4 - 2y + 2 = 8$，
即$16 - 2y + 2 = 8$，
$18 - 2y = 8$，
解得$2y = 10$，$y = 5$。
则$-3(x + y) = -3×(4 + 5) = -27$，
因为$(-3)^3 = -27$，所以$-3(x + y)$的立方根是$-3$。
因为$2x + 1$的平方根是$\pm 3$，所以$2x + 1 = (\pm 3)^2 = 9$，
解得$2x = 8$，$x = 4$。
又因为$4x - 2y + 2$的立方根是$2$，所以$4x - 2y + 2 = 2^3 = 8$，
将$x = 4$代入得：$4×4 - 2y + 2 = 8$，
即$16 - 2y + 2 = 8$，
$18 - 2y = 8$，
解得$2y = 10$，$y = 5$。
则$-3(x + y) = -3×(4 + 5) = -27$，
因为$(-3)^3 = -27$，所以$-3(x + y)$的立方根是$-3$。
14.(★★)已知a是$\sqrt{6}$的整数部分,则$(a-1)^2$的值是.
答案
解：因为$4 ＜ 6 ＜ 9$，所以$\sqrt{4} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$，因此$\sqrt{6}$的整数部分$a = 2$。
则$(a - 1)^2 = (2 - 1)^2 = 1$。
则$(a - 1)^2 = (2 - 1)^2 = 1$。
15. (★★)对于不相等的两个实数$a,b(a+b＞0)$，定义一种运算$@$：$a@b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，如$4@3=\frac{\sqrt{4+3}}{4-3}$，则$5@4=\_\_\_\_\_\_$。
答案
3
解析
解：根据运算规则，5@4 = $\frac{\sqrt{5+4}}{5-4}$ = $\frac{\sqrt{9}}{1}$ = $\frac{3}{1}$ = 3。
16. (★★)计算：
(1)$-2 - 3×(-1)$；
(2)$(-1)^{2026} + (-9)×\left| -\dfrac{2}{9} \right| - 4^2 ÷ (-2)$；
(3)$\sqrt{16} - ( \sqrt[3]{-8} + 4 )$。
(1)$-2 - 3×(-1)$；
(2)$(-1)^{2026} + (-9)×\left| -\dfrac{2}{9} \right| - 4^2 ÷ (-2)$；
(3)$\sqrt{16} - ( \sqrt[3]{-8} + 4 )$。
答案
解：
(1) 原式 = -2 - (-3)
= -2 + 3
= 1
(2) 原式 = 1 + (-9)×$\frac{2}{9}$ - 16÷(-2)
= 1 - 2 + 8
= 7
(3) 原式 = 4 - (-2 + 4)
= 4 - 2
= 2
(1) 原式 = -2 - (-3)
= -2 + 3
= 1
(2) 原式 = 1 + (-9)×$\frac{2}{9}$ - 16÷(-2)
= 1 - 2 + 8
= 7
(3) 原式 = 4 - (-2 + 4)
= 4 - 2
= 2
17.(★★★)已知$a,b$为实数,且$\sqrt{1+a}-(b-1)\sqrt{1-b}=0$,求$a^{2026}-b^{2025}$的值.
答案
解：由二次根式有意义的条件，得$1 - b ≥ 0$，即$b ≤ 1$，故$\sqrt{1 - b} ≥ 0$。
原等式变形为：$\sqrt{1 + a} = (b - 1)\sqrt{1 - b}$。
因为$\sqrt{1 + a} ≥ 0$，且$b - 1 ≤ 0$，$\sqrt{1 - b} ≥ 0$，所以右边$(b - 1)\sqrt{1 - b} ≤ 0$。
要使等式成立，需两边均为0，即：
$\sqrt{1 + a} = 0$，且$(b - 1)\sqrt{1 - b} = 0$。
由$\sqrt{1 + a} = 0$，得$1 + a = 0$，解得$a = -1$；
由$(b - 1)\sqrt{1 - b} = 0$，结合$\sqrt{1 - b} ≥ 0$，得$1 - b = 0$，解得$b = 1$。
所以$a^{2026} - b^{2025} = (-1)^{2026} - 1^{2025} = 1 - 1 = 0$。
原等式变形为：$\sqrt{1 + a} = (b - 1)\sqrt{1 - b}$。
因为$\sqrt{1 + a} ≥ 0$，且$b - 1 ≤ 0$，$\sqrt{1 - b} ≥ 0$，所以右边$(b - 1)\sqrt{1 - b} ≤ 0$。
要使等式成立，需两边均为0，即：
$\sqrt{1 + a} = 0$，且$(b - 1)\sqrt{1 - b} = 0$。
由$\sqrt{1 + a} = 0$，得$1 + a = 0$，解得$a = -1$；
由$(b - 1)\sqrt{1 - b} = 0$，结合$\sqrt{1 - b} ≥ 0$，得$1 - b = 0$，解得$b = 1$。
所以$a^{2026} - b^{2025} = (-1)^{2026} - 1^{2025} = 1 - 1 = 0$。
