10. （★★）勾股定理神秘且美妙，它的证法多样.将两个全等的直角三角形如图摆放，其中 $ ∠ B A D=9 0° $求证： $ a^{2}+b^{2}=c^{2}. $

连接$BD$.
由题意知,$BF=b - a$.
$\because$ $S_{四边形ABED}=S_{△ ABE}+S_{△ ADE}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$,$S_{四边形ABED}=S_{△ ADB}+S_{△ DEB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore$ $\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b - a)$.
$\therefore$ $a^2+b^2=c^2$.

 11. （★）若一个直角三角形的两直角边长分别为 m,n，且满足 $ ( m-4 )^{2}+| n-3 |=0 $ ，则该直角三角形的第三边长为 【 ]

A.5
B.4
C.3
D.$ \sqrt{7} $

11. A

 12. （★）如图，直线 AO $ \bot $ OB，垂足为 O，线段 AO=6，BO=8，以点 A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线 AO于点 C，则 OC的长为
【】

A.6
B.5
C.4
D.3

12. C

 13. （★）在平面直角坐标系中有两点 A(0,5)和 P(3,0)，则线段 AP的长为_______.

13. $\sqrt{34}$

 14. （★★）如图，在 Rt $ △ A B C $中，分别以 BC，AC，AB为边向外侧作正方形，面积分别记为 $ S_{1}, S_{2}, S_{3} $ . 若 $ S_{2}-S_{1}+S_{3}=2 4 $ ，则图中阴影部分的面积为_______.

14. 6

 15. （★★）如图，在 Rt $ △ A B C $中， $ ∠ C= 9 0° $ $ AC=8 $ $ BC=6 $ D为AC上一点，BD是 $ ∠ A B C $的平分线，求线段AD的长.

如图,过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$.

$\because$ $∠ C = 90°,AC = 8,BC = 6$,
$\therefore$ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$.
$\because$ $BD$是$∠ ABC$的平分线,$DE⊥ AB$,$∠ C = 90°$,
$\therefore$ $DE = DC$.
又$\because$ $BD = BD$,
$\therefore$ $\mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ BCD(\mathrm{HL})$.
$\therefore$ $BE = BC = 6$.
$\therefore$ $AE = AB - BE = 10 - 6 = 4$.
设$AD = x$,则$DE = DC = 8 - x$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$DE^2+AE^2=AD^2$,
即$(8 - x)^2+4^2=x^2$.
解得$x = 5$. $\therefore$ $AD = 5$.