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5. (2024·陕西)不等式$2(x - 1) ≥ 6$的解集是(
A.$x ≤ 2$
B.$x ≥ 2$
C.$x ≤ 4$
D.$x ≥ 4$
D
)A.$x ≤ 2$
B.$x ≥ 2$
C.$x ≤ 4$
D.$x ≥ 4$
答案
5. D 解析:去括号，得$2x - 2≥ 6$；移项，得$2x≥ 6 + 2$；合并同类项，得$2x≥ 8$；系数化为 1，得$x≥ 4$.
6. 不等式$2(x - 1) ＜ 7 - x$的正整数解为
1 或 2
.答案
6. 1 或 2 解析:解原不等式，得$x＜ 3$，
∴该不等式的正整数解为 1 或 2.
∴该不等式的正整数解为 1 或 2.
7. 若关于$x$的不等式$2ax + 3x ＞ 2a + 3$的解集为$x ＜ 1$，则$a$的取值范围是
$a＜ -\frac{3}{2}$
.答案
7. $a＜ -\frac{3}{2}$ 解析:
∵关于 x 的不等式$2ax + 3x＞ 2a + 3$的解集为$x＜ 1$，$\therefore 2a + 3＜ 0$，解得$a＜ -\frac{3}{2}$.
∵关于 x 的不等式$2ax + 3x＞ 2a + 3$的解集为$x＜ 1$，$\therefore 2a + 3＜ 0$，解得$a＜ -\frac{3}{2}$.
8. 已知关于$x$的方程$3x + 2(3a + 1) = 6x + a$的解为非负数，则$a$的取值范围为
$a≥ -\frac{2}{5}$
.答案
8. $a≥ -\frac{2}{5}$ 解析:解方程$3x + 2(3a + 1) = 6x + a$，得$x = \frac{5a + 2}{3}$.根据题意，得$\frac{5a + 2}{3}≥ 0$，解得$a≥ -\frac{2}{5}$.
解析
解：解方程$3x + 2(3a + 1) = 6x + a$，
$3x + 6a + 2 = 6x + a$，
$3x - 6x = a - 6a - 2$，
$-3x = -5a - 2$，
$x = \frac{5a + 2}{3}$。
因为方程的解为非负数，所以$\frac{5a + 2}{3} ≥ 0$，
$5a + 2 ≥ 0$，
$5a ≥ -2$，
$a ≥ -\frac{2}{5}$。
$a ≥ -\frac{2}{5}$
$3x + 6a + 2 = 6x + a$，
$3x - 6x = a - 6a - 2$，
$-3x = -5a - 2$，
$x = \frac{5a + 2}{3}$。
因为方程的解为非负数，所以$\frac{5a + 2}{3} ≥ 0$，
$5a + 2 ≥ 0$，
$5a ≥ -2$，
$a ≥ -\frac{2}{5}$。
$a ≥ -\frac{2}{5}$
9. 已知关于$x$的不等式$3x - m + 1 ＞ 0$的最小整数解为2，则实数$m$的取值范围是
$4≤ m＜ 7$
.答案
9. $4≤ m＜ 7$ 解析:解不等式$3x - m + 1＞ 0$，得$x＞ \frac{m - 1}{3}$.
∵不等式有最小整数解 2，$\therefore 1≤ \frac{m - 1}{3}＜ 2$，解得$4≤ m＜ 7$.
∵不等式有最小整数解 2，$\therefore 1≤ \frac{m - 1}{3}＜ 2$，解得$4≤ m＜ 7$.
10. 解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
（1）$x ≤ \frac{x - 2}{3} + 2$；
（2）（2024·眉山）$\frac{x + 1}{3} - 1 ≤ \frac{2 - x}{2}$.
（1）$x ≤ \frac{x - 2}{3} + 2$；
（2）（2024·眉山）$\frac{x + 1}{3} - 1 ≤ \frac{2 - x}{2}$.
答案
10. (1)去分母，得$3x≤ x - 2 + 6$；移项，得$3x - x≤ -2 + 6$；合并同类项，得$2x≤ 4$；系数化为 1，得$x≤ 2$.解集在数轴上表示如图：
(2)去分母，得$2(x + 1) - 6≤ 3(2 - x)$；去括号，得$2x + 2 - 6≤ 6 - 3x$；移项、合并同类项，得$5x≤ 10$；系数化为 1，得$x≤ 2$.解集在数轴上表示如图：
11. 若方程组$\begin{cases}3x + y = 2 + 3a, \\ x + 3y = 2 + a\end{cases}$的解满足$x + y ＜ 0$.
（1）求$a$的取值范围.
（2）化简：$|1 - a| + \left|a + \frac{1}{2}\right|$.
（1）求$a$的取值范围.
（2）化简：$|1 - a| + \left|a + \frac{1}{2}\right|$.
答案
11. (1)$\begin{cases}3x + y = 2 + 3a ①\\x + 3y = 2 + a ②\end{cases}$.① + ②，得$4x + 4y = 4 + 4a$，
∴得$x + y = 1 + a$，又$\because x + y＜ 0$，$\therefore 1 + a＜ 0$，解得$a＜ -1$.
(2)$\because a＜ -1$，$\therefore 1 - a＞ 0$，$a + \frac{1}{2}＜ 0$，$\therefore |1 - a| + |a + \frac{1}{2}| = 1 - a - a - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 2a$.
∴得$x + y = 1 + a$，又$\because x + y＜ 0$，$\therefore 1 + a＜ 0$，解得$a＜ -1$.
(2)$\because a＜ -1$，$\therefore 1 - a＞ 0$，$a + \frac{1}{2}＜ 0$，$\therefore |1 - a| + |a + \frac{1}{2}| = 1 - a - a - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 2a$.
12. (2024·雅安)不等式组$\begin{cases}3x - 2 ≥ 4, \\ 2x ＜ x + 6\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是( )
答案
12. C 解析:解不等式$3x - 2≥ 4$，得$x≥ 2$；解不等式$2x＜ x + 6$，得$x＜ 6$.
∴不等式组的解集为$2≤ x＜ 6$.解集在数轴上表示如图：
13. 不等式组$\begin{cases}5x - 2 ＞ 3x - 4, \\ \frac{1}{3}x ≥ x - \frac{2}{3}\end{cases}$的最大整数解为 ______ .
答案
13. 1 解析:解不等式$5x - 2＞ 3x - 4$，得$x＞ -1$；解不等式$\frac{1}{3}x≥ x - \frac{2}{3}$，得$x≤ 1$.
∴不等式组的解集为$-1＜ x≤ 1$，
∴不等式组的最大整数解为 1.
∴不等式组的解集为$-1＜ x≤ 1$，
∴不等式组的最大整数解为 1.
14. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m ＞ 0, \\ 2x - 3 ≥ 3(x - 2)\end{cases}$恰有四个整数解，则$m$的取值范围为 ______ .
答案
14. $-1≤ m＜ 0$ 解析:$\begin{cases}x - m＞ 0 ①\\2x - 3≥ 3(x - 2) ②\end{cases}$.解不等式①，得$x＞ m$；解不等式②，得$x≤ 3$.
∵原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为$m＜ x≤ 3$.
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为 0、1、2、3，$\therefore -1≤ m＜ 0$.
∵原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为$m＜ x≤ 3$.
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为 0、1、2、3，$\therefore -1≤ m＜ 0$.
