三、解答题(共40分)
12. (10分)如图,点H、D在AB上,点F、G在AC上,点E在BC上,已知$HG⊥ AB$,$DF⊥ AB$,$∠ 2+∠ 3 = 180^{\circ}$,求证:$∠ 1=∠ A$.
证明:$\because HG⊥ AB$,$DF⊥ AB$(已知),
$\therefore ∠ AHG=∠ HDF = 90^{\circ}$(垂直的定义).
$\therefore DF// HG$().
$\therefore ∠ 3+\_\_\_\_\_= 180^{\circ}$().
$\because ∠ 2+∠ 3 = 180^{\circ}$(已知),
$\therefore ∠ 2=∠ 4$().
$\therefore$(内错角相等,两直线平行).
$\therefore ∠ 1=∠ A$().

12. 同位角相等，两直线平行 ∠4 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 DE//AC 两直线平行，同位角相等

证明:$\because HG⊥ AB$,$DF⊥ AB$(已知),
$\therefore ∠ AHG=∠ HDF = 90^{\circ}$(垂直的定义).
$\therefore DF// HG$(同位角相等，两直线平行).
$\therefore ∠ 3+∠ 4= 180^{\circ}$(两直线平行，同旁内角互补).
$\because ∠ 2+∠ 3 = 180^{\circ}$(已知),
$\therefore ∠ 2=∠ 4$(等量代换).
$\therefore DE//AC$(内错角相等,两直线平行).
$\therefore ∠ 1=∠ A$(两直线平行，同位角相等).

13. (10分)如图,直线AD与AB、CD分别交于A、D两点,EC、BF分别与AB、CD相交于点E、C、B、F.给出下列三个条件:①$∠ 1=∠ 2$;②$∠ B=∠ C$;③$∠ A=∠ D$.请将其中两个作为已知条件,一个作为结论,组成一个真命题,并证明.(只写出一种情况即可)
已知:,求证:.
证明:

13. 已知:①∠1 = ∠2，②∠B = ∠C;求证:③∠A = ∠D。证明:
∵∠AGB = ∠2，∠1 = ∠2，
∴∠AGB = ∠1，
∴CE//FB，
∴∠AEC = ∠B。又
∵∠B = ∠C，
∴∠AEC = ∠C，
∴AB//CD，
∴∠A = ∠D。 已知:③∠A = ∠D，②∠B = ∠C;求证:①∠1 = ∠2。证明:
∵∠A = ∠D，
∴AB//CD，
∴∠AEC = ∠C。又
∵∠B = ∠C，
∴∠AEC = ∠B，
∴CE//FB，
∴∠AGB = ∠1。
∵∠AGB = ∠2，
∴∠1 = ∠2。 已知:③∠A = ∠D，①∠1 = ∠2;求证:②∠B = ∠C。证明:
∵∠A = ∠D，
∴AB//CD，
∴∠AEC = ∠C。
∵∠AGB = ∠2，∠1 = ∠2，
∴∠AGB = ∠1，
∴CE//FB，
∴∠AEC = ∠B，
∴∠B = ∠C。

14. (10分)猜想:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.请按要求完成验证与证明.
验证:请用偶数6验证该结论是正确的.
证明:设偶数为$2n$,试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除.

14. 验证:
∵(6 + 3)² - 6² = 9² - 6² = (9 + 6)×(9 - 6) = 3×(9 + 6)，
∴(6 + 3)² - 6²能被3整除。 证明:
∵(2n + 3)² - (2n)² = (2n + 3 + 2n)(2n + 3 - 2n) = 3(4n + 3)，
∴(2n + 3)² - (2n)²能被3整除，即比2n大3的数与2n的平方差能被3整除。

15. (10分)中国汉字博大精深,方块文字智慧灵秀,奥妙无穷.如图1是一个"互"字,如图2是由图1抽象的几何图形,其中$AB// CD$,$MG// FN$,点E、M、F在同一条直线上,点G、N、H在同一条直线上,且$∠ EFN=∠ G$.
(1)EF与GH平行吗? 请说明理由.
(2)求证:$∠ AEF=∠ GHD$.

15. (1)平行。理由如下:
∵MG//FN，
∴∠EFN = ∠EMG。
∵∠EFN = ∠G，
∴∠G = ∠EMG，
∴EF//GH。 (2)证明:如图，延长EF交CD于点P。
∵AB//CD，
∴∠AEF = ∠EPH。
∵EP//GH，
∴∠EPH = ∠GHD，
∴∠AEF = ∠GHD。