13. 我们知道,在三角形每一顶点处各取一个外角,它们的和就是这个三角形的外角和.
(1)你能求出三角形的外角和是多少吗? 证明你的结论.
(2)如果将三角形三条边都向两边延长,并且在每条线上任取两点连接起来,那么在原三角形外又得到三个新三角形,如图8-23,猜想∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F的和是多少.
(3)请用(1)的结论说明(2)的猜想.
(4)对于(2),你有其他的方法吗? 请写出来与同伴交流.

图8-23

13.(1)三角形的外角和等于$360°$.如图①所示,

$\because ∠ 1$是$△ ABC$的外角,
$\therefore ∠ 1=∠ ABC+∠ ACB$.
同理,得$∠ 2=∠ ABC+∠ BAC$,$∠ 3=∠ ACB+∠ BAC$.
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3=(∠ ABC+∠ ACB)+(∠ ABC+∠ BAC)+(∠ ACB+∠ BAC)=2(∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC)$.
$\because ∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3=360°$.
(2)猜想:$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$.
(3)证明:如图②所示,
$\because ∠ AGM$是$△ ABG$的外角,
$\therefore ∠ AGM=∠ A+∠ B$.
$\because ∠ MNF$是$△ EFN$的外角,
$\therefore ∠ MNF=∠ E+∠ F$.
$\because ∠ DMN$是$△ CDM$的外角,
$\therefore ∠ DMN=∠ C+∠ D$.
$\because ∠ AGM,∠ MNF,∠ DMN$是$△ GMN$的外角,
$\therefore ∠ AGM+∠ MNF+∠ DMN=360°$,
即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$.

(4)如图③所示,$\because ∠ 2+∠ 4+∠ 5=180°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 3+∠ 6=180°$.
$\because ∠ A+∠ B+∠ 1=180°$,$∠ C+∠ D+∠ 3=180°$,$∠ E+∠ F+∠ 6=180°$,
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠ 1+∠ 3+∠ 6=180°×3=540°$.
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$.

1.若一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形是 ()

A.锐角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形

1.D

2. 如图8-24, AD是$△ ABC$的外角$∠ EAC$的平分线, $AD // BC$, $∠ B = 32°$, 则$∠ C$的度数是 （）


A.$64°$
B.$32°$
C.$30°$
D.$40°$

2.B