1. 计算$(x + 1)^2 = ($$) )$。

$A. x^2 + x$
$B. x^2 + 1$
$C. x^2 + x + 1$
$D. x^2 + 2x + 1$

1. D

【分析】
这道题考察整式的完全平方展开，解题时既可以直接回忆完全平方和的展开规则，也可以先把平方转化为两个相同多项式相乘，再用多项式乘法的分配律逐项相乘，最后合并同类项得到展开结果，再和四个选项逐一比对就能选出正确答案，解题过程中要注意不要直接把括号里的两项分别平方就结束，避免漏掉交叉相乘的项。
【解析】
我们对原式进行展开计算：
第一步：将平方改写为多项式相乘的形式：$(x+1)^2=(x+1)(x+1)$
第二步：利用多项式乘多项式的分配律逐项展开：
$(x+1)(x+1)=x· x + x·1 + 1· x +1·1 = x^2 +x +x +1$
第三步：合并同类项，得到最终展开结果：$x^2+2x+1$，和选项D的内容完全对应。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础直接应用，属于整式运算的入门题型，易错点是初学者容易忽略两个一次项的交叉乘积项2x，误选B选项，需要牢记完全平方和的展开口诀“首平方，尾平方，积的二倍在中央”，避免出现漏项错误。
【难度系数】
0.9

2. 已知 $a + b = 3$，$ab = 2$，则 $a^2 + b^2$ 的值为()。

A.5
B.6
C.7
D.9

2. A

解：$\because a + b = 3$，$ab = 2$
$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×2 = 9 - 4 = 5$
A

3. 若 $a^2 - ab = 3$，则代数式$(a + b)(a - b) + (a - b)^2$的值为()。

A.1
B.2
C.3
D.6

3. D

$(a + b)(a - b) + (a - b)^2$
$=a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
$=2a^2 - 2ab$
$=2(a^2 - ab)$
因为$a^2 - ab = 3$，所以原式$=2×3=6$。
D

4. 下列运算中错误的有()。
① $(x + 2y)^2 = x^2 + 4y^2$；
② $(a - 2b)^2 = a^2 - 4b^2$；
③ $(-x - 2y)^2 = x^2 - 2xy + 4y^2$；
④ $(x - \dfrac{1}{2})^2 = x^2 - x + \dfrac{1}{4}$。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

4. C

①$(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$，原运算错误；
②$(a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$，原运算错误；
③$(-x - 2y)^2 = (x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$，原运算错误；
④$(x - \dfrac{1}{2})^2 = x^2 - x + \dfrac{1}{4}$，原运算正确。
错误的有①②③，共3个。
C

5. 已知 $x^2 + mx + 25$ 是完全平方式，则 $m$的值为()。

A.10
B.$\pm 10$
C.20
D.$\pm 20$

5. B

因为$x^2 + mx + 25$是完全平方式，而$x^2 + mx + 25 = x^2 + mx + 5^2$，根据完全平方公式$(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2$，可得$mx = \pm 2 · x · 5$，即$m = \pm 10$。
B

6. 已知 $a + b = 3$，$ab = -4$，则代数式 $a^2 + b^2$ 的值为，$(a - b)^2$ 的值为。

6. 17 25

因为$a + b = 3$，$ab=-4$，所以$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab=3^2-2×(-4)=9 + 8=17$；$(a - b)^2=(a + b)^2-4ab=3^2-4×(-4)=9 + 16=25$。
17；25

7. 计算：
(1) $(-a + b)(a - b)$；
(2) $(x + y)(x - y)(x^2 - y^2)$；
(3) $(2x - y)^2 - 4(x - y)(x + 2y)$。

7. 解：（1）原式$=-(a - b)(a - b)=-(a - b)^2=-(a^2 - 2ab + b^2)=-a^2 + 2ab - b^2$。
（2）原式$=(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)=x^4 - 2x^2y^2 + y^4$。
（3）原式$=4x^2 - 4xy + y^2 - 4(x^2 + 2xy - xy - 2y^2)=4x^2 - 4xy + y^2 - 4x^2 - 4xy + 8y^2=-8xy + 9y^2$。

【分析】
我们拿到这三道整式运算题，首先优先观察式子的结构特征，选择对应的乘法公式简化运算，避免直接硬乘出错：
1. 第(1)题，先把第一个因式(-a+b)提取负号变形为-(a-b)，此时原式就变成两个相同因式(a-b)相乘的相反数，直接套用完全平方公式展开即可。
2. 第(2)题，前两个因式(x+y)(x-y)刚好符合平方差公式的形式，先计算这部分得到x²-y²，此时原式转化为(x²-y²)的完全平方，再套用完全平方公式展开就能得到结果。
3. 第(3)题，先分别展开完全平方项(2x-y)²，再用多项式乘法法则计算后面的(x-y)(x+2y)，注意前面的系数-4乘进去的时候每一项都要变号，最后合并同类项化简即可。
【解析】
解：
(1) 对原式变形后用完全平方公式计算：
原式$=-(a - b)(a - b)$
$=-(a - b)^2$
$=-(a^2 - 2ab + b^2)$
$=-a^2 + 2ab - b^2$
(2) 先使用平方差公式，再使用完全平方公式计算：
原式$=(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=(x^2 - y^2)^2$
$=x^4 - 2x^2y^2 + y^4$
(3) 分别展开完全平方和多项式乘积，再合并同类项：
原式$=4x^2 - 4xy + y^2 - 4(x^2 + 2xy - xy - 2y^2)$
$=4x^2 - 4xy + y^2 - 4x^2 - 4xy + 8y^2$
$=-8xy + 9y^2$
【答案】
(1) $-a^2 + 2ab - b^2$；(2) $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$；(3) $-8xy + 9y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，重点考察乘法公式的灵活运用，解题时要先观察式子特征选择合适的公式简化运算，尤其要注意带负系数去括号时的符号变化，避免出现符号错误，是巩固整式运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.7