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1 下列解方程正确的是 （
A.$x - 2x = 3$ 的解为 $x = 3$
B.$5y - 3y = 1$ 的解为 $y = 2$
C.$x - \frac{1}{2}x = 1$ 的解为 $x = 2$
D.$7y - 2y = 1 - 6$ 的解为 $y = 1$
C
）A.$x - 2x = 3$ 的解为 $x = 3$
B.$5y - 3y = 1$ 的解为 $y = 2$
C.$x - \frac{1}{2}x = 1$ 的解为 $x = 2$
D.$7y - 2y = 1 - 6$ 的解为 $y = 1$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查利用合并同类项解一元一次方程，解题思路为：依次对每个选项中的一元一次方程按照“合并同类项、系数化为1”的步骤求解，将计算得到的解与选项给出的解进行对比，判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：方程$x-2x=3$，合并同类项得$-x=3$，系数化为1得$x=-3$，与选项给出的$x=3$不符，A错误；
B选项：方程$5y-3y=1$，合并同类项得$2y=1$，系数化为1得$y=\frac{1}{2}$，与选项给出的$y=2$不符，B错误；
C选项：方程$x-\frac{1}{2}x=1$，合并同类项得$\frac{1}{2}x=1$，系数化为1（两边同时乘2）得$x=2$，与选项给出的解一致，C正确；
D选项：方程$7y-2y=1-6$，左边合并同类项得$5y$，右边计算得$-5$，即$5y=-5$，系数化为1得$y=-1$，与选项给出的$y=1$不符，D错误。
综上，正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用合并同类项解一元一次方程的基本操作，只要熟练掌握合并同类项法则和系数化为1的方法，即可快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查利用合并同类项解一元一次方程，解题思路为：依次对每个选项中的一元一次方程按照“合并同类项、系数化为1”的步骤求解，将计算得到的解与选项给出的解进行对比，判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：方程$x-2x=3$，合并同类项得$-x=3$，系数化为1得$x=-3$，与选项给出的$x=3$不符，A错误；
B选项：方程$5y-3y=1$，合并同类项得$2y=1$，系数化为1得$y=\frac{1}{2}$，与选项给出的$y=2$不符，B错误；
C选项：方程$x-\frac{1}{2}x=1$，合并同类项得$\frac{1}{2}x=1$，系数化为1（两边同时乘2）得$x=2$，与选项给出的解一致，C正确；
D选项：方程$7y-2y=1-6$，左边合并同类项得$5y$，右边计算得$-5$，即$5y=-5$，系数化为1得$y=-1$，与选项给出的$y=1$不符，D错误。
综上，正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用合并同类项解一元一次方程的基本操作，只要熟练掌握合并同类项法则和系数化为1的方法，即可快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.9
2 如果$x=m$是关于$x$的方程$\frac{1}{2}x - m = 1$的解，那么$m$的值是 （
A.0
B.2
C.-2
D.-6
C
）A.0
B.2
C.-2
D.-6
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=m是给定方程的解，因此可将x=m代入原方程，得到一个只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（合并同类项、系数化为1）计算即可得到m的值，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵$x=m$是关于$x$的方程$\frac{1}{2}x - m = 1$的解，
∴将$x=m$代入原方程，等式仍然成立，即：
$\frac{1}{2}m - m = 1$
合并同类项，得：$-\frac{1}{2}m = 1$
系数化为1，两边同时乘以$-2$，得：$m = -2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程部分的基础常考题，核心考查方程解的应用，解题关键是将已知的解代入原方程，把问题转化为关于参数的一元一次方程求解，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=m是给定方程的解，因此可将x=m代入原方程，得到一个只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（合并同类项、系数化为1）计算即可得到m的值，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵$x=m$是关于$x$的方程$\frac{1}{2}x - m = 1$的解，
∴将$x=m$代入原方程，等式仍然成立，即：
$\frac{1}{2}m - m = 1$
合并同类项，得：$-\frac{1}{2}m = 1$
系数化为1，两边同时乘以$-2$，得：$m = -2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程部分的基础常考题，核心考查方程解的应用，解题关键是将已知的解代入原方程，把问题转化为关于参数的一元一次方程求解，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3 新情境 数学文化 《孙子算经》中有这样一道题，大意如下：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余。将剩余的鹿按每3户共分一头，恰好分完。问：有多少户人家？若设有x户人家，则可列方程为
$x+\frac{1}{3}x=100$
，该方程的解为$x=75$
。答案
3. $x+\frac{1}{3}x=100$，$x=75$
解析
【分析】
解题时先明确等量关系：两次分鹿的总数量等于100头。首先设有x户人家，第一次每户分1头鹿，分出去的鹿数量为x头；剩余的鹿每3户分1头，说明这部分分出去的鹿数量为$\frac{1}{3}x$头，两部分相加等于总鹿数100，据此即可列出方程；解方程时先合并同类项，再将系数化为1就能求出x的值。
【解析】
解：设有x户人家。
第一次每户分1头鹿，共分出去x头鹿；
剩余的鹿按每3户共分1头，这部分鹿的数量为$\frac{1}{3}x$头。
已知总共有100头鹿恰好分完，因此可列方程：
$x + \frac{1}{3}x = 100$
合并同类项，得：$\frac{4}{3}x = 100$
系数化为1，得：$x = 100 × \frac{3}{4} = 75$
【答案】
$x+\frac{1}{3}x=100$；$x=75$
【知识点】
列一元一次方程；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题结合古代数学名著的背景考查一元一次方程的实际应用，解题核心是找准总鹿数为100的等量关系，正确表示出两次分鹿的数量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确等量关系：两次分鹿的总数量等于100头。首先设有x户人家，第一次每户分1头鹿，分出去的鹿数量为x头；剩余的鹿每3户分1头，说明这部分分出去的鹿数量为$\frac{1}{3}x$头，两部分相加等于总鹿数100，据此即可列出方程；解方程时先合并同类项，再将系数化为1就能求出x的值。
【解析】
解：设有x户人家。
第一次每户分1头鹿，共分出去x头鹿；
剩余的鹿按每3户共分1头，这部分鹿的数量为$\frac{1}{3}x$头。
已知总共有100头鹿恰好分完，因此可列方程：
$x + \frac{1}{3}x = 100$
合并同类项，得：$\frac{4}{3}x = 100$
系数化为1，得：$x = 100 × \frac{3}{4} = 75$
【答案】
$x+\frac{1}{3}x=100$；$x=75$
【知识点】
列一元一次方程；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题结合古代数学名著的背景考查一元一次方程的实际应用，解题核心是找准总鹿数为100的等量关系，正确表示出两次分鹿的数量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4 如图所示为一个等腰三角形.若该等腰三角形的周长为40,则a=
5
. (第4题)答案
4. 5
解析
【分析】
要计算a的值，首先利用三角形周长的定义：三角形的周长等于三条边的长度之和。本题已知等腰三角形三边长分别为3a、3a、2a，周长为40，我们可以先据此列出关于a的一元一次方程，再通过合并同类项、系数化为1的步骤求解方程即可得到a的值。
【解析】
根据三角形周长的计算公式，可列方程：
$3a + 3a + 2a = 40$
合并同类项，得：
$8a = 40$
系数化为1，两边同时除以8，得：
$a = 5$
【答案】
5
【知识点】
三角形周长计算、合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题是基础计算题，将几何周长概念和一元一次方程的解法结合考察，难度较低，只要熟练掌握周长的定义和一元一次方程的基本解法即可正确作答，计算时注意同类项合并不要出错。
【难度系数】
0.9
要计算a的值，首先利用三角形周长的定义：三角形的周长等于三条边的长度之和。本题已知等腰三角形三边长分别为3a、3a、2a，周长为40，我们可以先据此列出关于a的一元一次方程，再通过合并同类项、系数化为1的步骤求解方程即可得到a的值。
【解析】
根据三角形周长的计算公式，可列方程：
$3a + 3a + 2a = 40$
合并同类项，得：
$8a = 40$
系数化为1，两边同时除以8，得：
$a = 5$
【答案】
5
【知识点】
三角形周长计算、合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题是基础计算题，将几何周长概念和一元一次方程的解法结合考察，难度较低，只要熟练掌握周长的定义和一元一次方程的基本解法即可正确作答，计算时注意同类项合并不要出错。
【难度系数】
0.9
5 解下列方程：
(1) $5x - 2x = 9$；
(2) $-13x - 6x - 2x = 63$；
(3) $-20y + 6y = 30 - 2$；
(4) $x - \frac{5}{2}x = 5 - 11$。
(1) $5x - 2x = 9$；
(2) $-13x - 6x - 2x = 63$；
(3) $-20y + 6y = 30 - 2$；
(4) $x - \frac{5}{2}x = 5 - 11$。
答案
5. (1) $x=3$ (2) $x=-3$ (3) $y=-2$ (4) $x=4$
解析
【分析】
这几道题是利用合并同类项求解一元一次方程的基础题型，解题思路分为两步：第一步，分别将方程左右两边的同类项合并，把方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第二步，将未知数的系数化为1，即方程两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解。计算过程中要注意同类项合并时的符号运算，避免符号出错。
【解析】
(1) 合并同类项，得$3x=9$，
系数化为1，得$x=3$。
(2) 合并同类项，得$-21x=63$，
系数化为1，得$x=-3$。
(3) 合并同类项，得$-14y=28$，
系数化为1，得$y=-2$。
(4) 合并同类项，得$-\frac{3}{2}x=-6$，
系数化为1，得$x=4$。
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=-3$ (3) $y=-2$ (4) $x=4$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题，核心是掌握合并同类项的法则，计算时要注意未知数系数和常数项的符号，避免因符号疏忽导致解题错误。
【难度系数】
0.85
这几道题是利用合并同类项求解一元一次方程的基础题型，解题思路分为两步：第一步，分别将方程左右两边的同类项合并，把方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第二步，将未知数的系数化为1，即方程两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解。计算过程中要注意同类项合并时的符号运算，避免符号出错。
【解析】
(1) 合并同类项，得$3x=9$，
系数化为1，得$x=3$。
(2) 合并同类项，得$-21x=63$，
系数化为1，得$x=-3$。
(3) 合并同类项，得$-14y=28$，
系数化为1，得$y=-2$。
(4) 合并同类项，得$-\frac{3}{2}x=-6$，
系数化为1，得$x=4$。
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=-3$ (3) $y=-2$ (4) $x=4$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题，核心是掌握合并同类项的法则，计算时要注意未知数系数和常数项的符号，避免因符号疏忽导致解题错误。
【难度系数】
0.85
6 教材P120问题1变式 某集团三个季度共销售冰箱2800台，第一季度的销售量是第二季度的2倍，第三季度的销售量是第一季度的2倍，则该集团第二季度销售冰箱多少台？
答案
6. 设该集团第二季度销售冰箱 $x$ 台,则第一季度销售冰箱$2x$ 台,第三季度销售冰箱 $4x$ 台. 根据题意,得 $x+2x+4x=2 800$,解得 $x=400$. 所以该集团第二季度销售冰箱 400 台
解析
【分析】
这是一道一元一次方程实际应用题，解题时首先梳理数量关系：三个季度销售总量为2800台，且三个季度销量存在倍数关联。因为第一季度销量和第二季度相关，第三季度销量和第一季度相关，所以选择最小的基础量（第二季度销量）设为未知数x，就可以用含x的式子分别表示出第一、第三季度的销量，再根据“三个季度销量总和=2800台”的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设该集团第二季度销售冰箱$x$台，
由“第一季度的销售量是第二季度的2倍”，可得第一季度销售冰箱$2x$台；
由“第三季度的销售量是第一季度的2倍”，可得第三季度销售冰箱$2×2x=4x$台。
根据三个季度总销量为2800台，列方程得：
$x+2x+4x=2800$
合并同类项，得$7x=2800$
系数化为1，得$x=400$
【答案】
该集团第二季度销售冰箱400台
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是找准各数量间的倍数关系，优先设最小的基础量为未知数，再结合总量的等量关系列方程求解，计算难度低，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程实际应用题，解题时首先梳理数量关系：三个季度销售总量为2800台，且三个季度销量存在倍数关联。因为第一季度销量和第二季度相关，第三季度销量和第一季度相关，所以选择最小的基础量（第二季度销量）设为未知数x，就可以用含x的式子分别表示出第一、第三季度的销量，再根据“三个季度销量总和=2800台”的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设该集团第二季度销售冰箱$x$台，
由“第一季度的销售量是第二季度的2倍”，可得第一季度销售冰箱$2x$台；
由“第三季度的销售量是第一季度的2倍”，可得第三季度销售冰箱$2×2x=4x$台。
根据三个季度总销量为2800台，列方程得：
$x+2x+4x=2800$
合并同类项，得$7x=2800$
系数化为1，得$x=400$
【答案】
该集团第二季度销售冰箱400台
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是找准各数量间的倍数关系，优先设最小的基础量为未知数，再结合总量的等量关系列方程求解，计算难度低，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
7 方程$-\dfrac{3}{2}x - 3x = \dfrac{5}{2} - 1$的解为 （
A.$x=-3$
B.$x=-\dfrac{1}{3}$
C.$x=3$
D.$x=\dfrac{1}{3}$
B
）A.$x=-3$
B.$x=-\dfrac{1}{3}$
C.$x=3$
D.$x=\dfrac{1}{3}$
答案
7. B
解析
【分析】
这是一道利用合并同类项求解一元一次方程的题目，解题时先分别合并方程左右两边的同类项，左边合并所有含未知数x的项，右边合并常数项，再将x的系数化为1即可得到方程的解，对应选项选出答案即可，计算时要注意正负号的处理。
【解析】
解：先合并方程左右两边的同类项：
左边：$-\dfrac{3}{2}x - 3x = -\dfrac{3}{2}x - \dfrac{6}{2}x = -\dfrac{9}{2}x$
右边：$\dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{2}$
此时方程化为：$-\dfrac{9}{2}x = \dfrac{3}{2}$
将系数化为1，两边同时乘2得：$-9x = 3$
两边同时除以$-9$得：$x = \dfrac{3}{-9} = -\dfrac{1}{3}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程的基础求解，重点是合并同类项的运算，计算时需注意符号问题，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
这是一道利用合并同类项求解一元一次方程的题目，解题时先分别合并方程左右两边的同类项，左边合并所有含未知数x的项，右边合并常数项，再将x的系数化为1即可得到方程的解，对应选项选出答案即可，计算时要注意正负号的处理。
【解析】
解：先合并方程左右两边的同类项：
左边：$-\dfrac{3}{2}x - 3x = -\dfrac{3}{2}x - \dfrac{6}{2}x = -\dfrac{9}{2}x$
右边：$\dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{3}{2}$
此时方程化为：$-\dfrac{9}{2}x = \dfrac{3}{2}$
将系数化为1，两边同时乘2得：$-9x = 3$
两边同时除以$-9$得：$x = \dfrac{3}{-9} = -\dfrac{1}{3}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程的基础求解，重点是合并同类项的运算，计算时需注意符号问题，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
8 某班学生共40人外出参加植树活动，根据任务不同，要分成甲、乙、丙三个小组。若甲、乙、丙三个小组的人数之比为$1:2:5$，则甲组有（
A.5人
B.10人
C.20人
D.25人
A
）A.5人
B.10人
C.20人
D.25人
答案
8. A
解析
【分析】
本题是比例类的一元一次方程应用题，解题思路清晰：首先根据三组人数的比例关系，设每一份的人数为未知数x，即可用含x的式子分别表示出甲、乙、丙三组的人数；再抓住“三组人数之和等于班级总人数40人”这一等量关系列出一元一次方程；最后通过合并同类项、系数化为1求解方程，得到的x的值就是甲组人数。
【解析】
解：设甲组人数为$ x $人，由甲、乙、丙三个小组人数之比为$ 1:2:5 $可得，乙组人数为$ 2x $人，丙组人数为$ 5x $人。
根据三个小组总人数为40人，列方程：
$ x + 2x + 5x = 40 $
合并同类项，得：$ 8x = 40 $
系数化为1，得：$ x = 5 $
即甲组有5人。
【答案】
A
【知识点】
1. 按比例分配
2. 合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查根据比例关系设未知数的方法，结合总人数的等量关系列方程求解即可，计算量小，解题逻辑清晰，是一元一次方程应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
本题是比例类的一元一次方程应用题，解题思路清晰：首先根据三组人数的比例关系，设每一份的人数为未知数x，即可用含x的式子分别表示出甲、乙、丙三组的人数；再抓住“三组人数之和等于班级总人数40人”这一等量关系列出一元一次方程；最后通过合并同类项、系数化为1求解方程，得到的x的值就是甲组人数。
【解析】
解：设甲组人数为$ x $人，由甲、乙、丙三个小组人数之比为$ 1:2:5 $可得，乙组人数为$ 2x $人，丙组人数为$ 5x $人。
根据三个小组总人数为40人，列方程：
$ x + 2x + 5x = 40 $
合并同类项，得：$ 8x = 40 $
系数化为1，得：$ x = 5 $
即甲组有5人。
【答案】
A
【知识点】
1. 按比例分配
2. 合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查根据比例关系设未知数的方法，结合总人数的等量关系列方程求解即可，计算量小，解题逻辑清晰，是一元一次方程应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
