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1. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过O作$EF ⊥ AC$分别交AD，BC于点E，F. 若$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，求四边形AECF的面积.
答案
解:设 BF 的长为 x cm.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,O 为矩形 ABCD 对角线的交点,
∴ OA=OC.
∵ EF ⊥ AC,
∴ ∠AOE=∠COF.
∵ AE//CF,
∴ ∠EAO=∠FCO.
∴ △AOE≌△COF.
∴ OE=OF.
∴ 四边形 AECF 为平行四边形 . 又 EF ⊥ AC,
∴ 四边形 AECF 为菱形 .
∴ AF=FC.
又
∵ AB=2 cm,BC=4 cm,
∴ 2²+x²=(4-x)².
∴ x=$\frac{3}{2}$.
∴ FC=$\frac{5}{2}$ cm.
∴ $S_{菱形AECF}=\frac{5}{2}×2=5(\mathrm{cm}^2)$.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,O 为矩形 ABCD 对角线的交点,
∴ OA=OC.
∵ EF ⊥ AC,
∴ ∠AOE=∠COF.
∵ AE//CF,
∴ ∠EAO=∠FCO.
∴ △AOE≌△COF.
∴ OE=OF.
∴ 四边形 AECF 为平行四边形 . 又 EF ⊥ AC,
∴ 四边形 AECF 为菱形 .
∴ AF=FC.
又
∵ AB=2 cm,BC=4 cm,
∴ 2²+x²=(4-x)².
∴ x=$\frac{3}{2}$.
∴ FC=$\frac{5}{2}$ cm.
∴ $S_{菱形AECF}=\frac{5}{2}×2=5(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解题时首先要先判断四边形AECF的形状：已知O是矩形ABCD对角线的交点，可得OA=OC，结合矩形对边AD//BC的性质，可通过角边角证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，由此可知四边形AECF的对角线互相平分，属于平行四边形；又因为EF⊥AC，可判定该平行四边形是菱形。菱形面积可通过“底×高”计算，高与AB长度相等，只需求出菱形的边长FC即可，可设BF长为x，利用菱形四边相等得AF=FC，在Rt△ABF中借助勾股定理列方程求解x，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：设BF的长为x cm。
∵ 四边形ABCD为矩形，O为矩形ABCD对角线的交点，
∴ OA=OC，AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO。
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FCO\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ OE=OF，
∴ 四边形AECF为平行四边形，
又
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF为菱形，
∴ AF=FC=BC-BF=(4-x) cm。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入AB=2 cm得：$2^2+x^2=(4-x)^2$，
解得$x=\frac{3}{2}$，
∴ $FC=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$ cm，
∴ $S_{菱形AECF}=FC× AB=\frac{5}{2}×2=5(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先准确判定四边形AECF为菱形，再结合勾股定理求出菱形的边长，进而计算面积，考查了学生对特殊四边形性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先判断四边形AECF的形状：已知O是矩形ABCD对角线的交点，可得OA=OC，结合矩形对边AD//BC的性质，可通过角边角证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，由此可知四边形AECF的对角线互相平分，属于平行四边形；又因为EF⊥AC，可判定该平行四边形是菱形。菱形面积可通过“底×高”计算，高与AB长度相等，只需求出菱形的边长FC即可，可设BF长为x，利用菱形四边相等得AF=FC，在Rt△ABF中借助勾股定理列方程求解x，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：设BF的长为x cm。
∵ 四边形ABCD为矩形，O为矩形ABCD对角线的交点，
∴ OA=OC，AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO。
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FCO\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ OE=OF，
∴ 四边形AECF为平行四边形，
又
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF为菱形，
∴ AF=FC=BC-BF=(4-x) cm。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入AB=2 cm得：$2^2+x^2=(4-x)^2$，
解得$x=\frac{3}{2}$，
∴ $FC=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$ cm，
∴ $S_{菱形AECF}=FC× AB=\frac{5}{2}×2=5(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先准确判定四边形AECF为菱形，再结合勾股定理求出菱形的边长，进而计算面积，考查了学生对特殊四边形性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,过点$C$作$CD// AB$,$E$是$AC$的中点,连接$DE$并延长,交$AB$于点$F$,交$CB$的延长线于点$G$,连接$AD$,$CF$.
求证:四边形$AFCD$是平行四边形.
求证:四边形$AFCD$是平行四边形.
答案
证明:
∵ E 是 AC 的中点,
∴ AE=CE.
∵ AB//CD,
∴ ∠AFE=∠CDE.
在△AEF 和△CED 中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE. \end{cases}$
∴ △AEF≌△CED( AAS ).
∴ AF=CD.
又 AB//CD,即 AF//CD,
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形 .
∵ E 是 AC 的中点,
∴ AE=CE.
∵ AB//CD,
∴ ∠AFE=∠CDE.
在△AEF 和△CED 中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE. \end{cases}$
∴ △AEF≌△CED( AAS ).
∴ AF=CD.
又 AB//CD,即 AF//CD,
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形 .
解析
【分析】
要证明四边形AFCD是平行四边形，已知CD//AB即AF//CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需再证明AF=CD即可。我们可以通过证明△AEF和△CED全等来得到对应边相等：首先由E是AC中点可得AE=CE；由AB//CD可得内错角∠AFE=∠CDE，再结合对顶角∠AEF=∠CED，即可用AAS证明两个三角形全等，得到AF=CD，进而完成证明。
【解析】
证明:
∵ E 是 AC 的中点,
∴ AE=CE.
∵ AB//CD,
∴ ∠AFE=∠CDE.
在△AEF 和△CED 中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE. \end{cases}$
∴ △AEF≌△CED( AAS ).
∴ AF=CD.
又 AB//CD,即 AF//CD,
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形 .
【答案】
证明:
∵ E 是 AC 的中点,
∴ AE=CE.
∵ AB//CD,
∴ ∠AFE=∠CDE.
在△AEF 和△CED 中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE. \end{cases}$
∴ △AEF≌△CED( AAS ).
∴ AF=CD.
又 AB//CD,即 AF//CD,
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形 .
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将平行线性质、全等三角形判定和平行四边形判定结合考查，解题关键是利用已知的中点、平行条件找到全等三角形，得到平行四边形判定所需的对边相等的条件，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.8
要证明四边形AFCD是平行四边形，已知CD//AB即AF//CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需再证明AF=CD即可。我们可以通过证明△AEF和△CED全等来得到对应边相等：首先由E是AC中点可得AE=CE；由AB//CD可得内错角∠AFE=∠CDE，再结合对顶角∠AEF=∠CED，即可用AAS证明两个三角形全等，得到AF=CD，进而完成证明。
【解析】
证明:
∵ E 是 AC 的中点,
∴ AE=CE.
∵ AB//CD,
∴ ∠AFE=∠CDE.
在△AEF 和△CED 中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE. \end{cases}$
∴ △AEF≌△CED( AAS ).
∴ AF=CD.
又 AB//CD,即 AF//CD,
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形 .
【答案】
证明:
∵ E 是 AC 的中点,
∴ AE=CE.
∵ AB//CD,
∴ ∠AFE=∠CDE.
在△AEF 和△CED 中,
$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE. \end{cases}$
∴ △AEF≌△CED( AAS ).
∴ AF=CD.
又 AB//CD,即 AF//CD,
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形 .
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将平行线性质、全等三角形判定和平行四边形判定结合考查，解题关键是利用已知的中点、平行条件找到全等三角形，得到平行四边形判定所需的对边相等的条件，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.8
四、趣味题
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行.
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图甲,使$AB=CD$,$EF=GH$.
(2)摆放成如图乙所示的四边形,这时窗框的形状是
(3)将直角尺靠窗框的一个角放置,如图丙,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,如图丁,说明窗框合格,这时窗框是
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行.
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图甲,使$AB=CD$,$EF=GH$.
(2)摆放成如图乙所示的四边形,这时窗框的形状是
平行四边
形,根据的数学道理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形
.(3)将直角尺靠窗框的一个角放置,如图丙,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,如图丁,说明窗框合格,这时窗框是
矩
形,根据的数学道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形
.答案
(2)平行四边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形
(3)矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形
解析
【分析】
解题时需结合特殊四边形的判定定理分析已知条件：首先看第(2)问，给出两组对边分别相等的条件，对应平行四边形的判定规则；第(3)问是在已得到平行四边形的基础上，新增了一个内角为直角的条件，对应矩形的判定规则，依次对应定理即可得出结论。
【解析】
(2) 已知窗料满足$AB=CD$，$EF=GH$，即摆放成的四边形两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得此时窗框为平行四边形。
(3) 直角尺的两条直角边与窗框无缝隙，说明窗框存在一个内角为直角，而该四边形已经是平行四边形，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得此时窗框为矩形。
【答案】
(2)平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题结合生活中制作窗框的实际场景，考查特殊四边形的判定定理的应用，能帮助大家理解数学知识在实际生活中的用途，需要熟练掌握相关判定定理，能从实际场景中提取对应的数学条件解题。
【难度系数】
0.8
解题时需结合特殊四边形的判定定理分析已知条件：首先看第(2)问，给出两组对边分别相等的条件，对应平行四边形的判定规则；第(3)问是在已得到平行四边形的基础上，新增了一个内角为直角的条件，对应矩形的判定规则，依次对应定理即可得出结论。
【解析】
(2) 已知窗料满足$AB=CD$，$EF=GH$，即摆放成的四边形两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得此时窗框为平行四边形。
(3) 直角尺的两条直角边与窗框无缝隙，说明窗框存在一个内角为直角，而该四边形已经是平行四边形，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得此时窗框为矩形。
【答案】
(2)平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题结合生活中制作窗框的实际场景，考查特殊四边形的判定定理的应用，能帮助大家理解数学知识在实际生活中的用途，需要熟练掌握相关判定定理，能从实际场景中提取对应的数学条件解题。
【难度系数】
0.8
