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一、选择题
1. [2025·湖南]如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 （
A.6
B.9
C.12
D.18
1. [2025·湖南]如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 （
C
）A.6
B.9
C.12
D.18
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先回忆特殊四边形的判定规则：首先对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上如果对角线还互相垂直，那么这个平行四边形就是菱形。我们先根据题中“对角线AC与BD互相垂直平分”的条件，判定四边形ABCD的形状为菱形；再结合菱形四条边长度相等的性质，已知AB=3，即可推出四条边的长度均为3，最后用边长乘4就能算出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=3，
∴四边形ABCD的周长=4×3=12。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查菱形的判定和性质的应用，只要熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆特殊四边形的判定规则：首先对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上如果对角线还互相垂直，那么这个平行四边形就是菱形。我们先根据题中“对角线AC与BD互相垂直平分”的条件，判定四边形ABCD的形状为菱形；再结合菱形四条边长度相等的性质，已知AB=3，即可推出四条边的长度均为3，最后用边长乘4就能算出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=3，
∴四边形ABCD的周长=4×3=12。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查菱形的判定和性质的应用，只要熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. [2024·开封二模]如图是一块正方形草地,要在上面修建两条交叉的小路,使得这两条宽度相同笔直的小路将草地分成面积相等的四个部分,则分法有 (
A.1种
B.2种
C.4种
D.无数种
D
)A.1种
B.2种
C.4种
D.无数种
答案
2. D
解析
【分析】
我们可以从正方形的性质入手分析，正方形属于中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。要使两条宽度相同的交叉小路将草地分成面积相等的四部分，只需满足：两条小路的中心线都经过正方形的对称中心，且两条中心线互相垂直即可。由于互相垂直且过中心的直线可以绕交点任意旋转，因此满足条件的分法不止固定的几种。
【解析】
解：正方形是中心对称图形，对称中心为其对角线的交点。
只要满足以下两个条件：
1. 两条小路的中心线均经过正方形的对称中心，且两条中心线互相垂直；
2. 两条小路的宽度相同。
即可将正方形草地分成面积相等的四部分。
因为两条互相垂直且过中心的直线可以绕对称中心任意旋转，对应得到无数种符合要求的小路修建方式，因此分法有无数种。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，中心对称图形的性质
【点评】
本题易因思维定式误以为只有对角线、对边中点连线这两种分法，解题的关键是灵活运用中心对称图形的性质，抓住"过对称中心、互相垂直、宽度相等"这几个核心条件判断。
【难度系数】
0.6
我们可以从正方形的性质入手分析，正方形属于中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。要使两条宽度相同的交叉小路将草地分成面积相等的四部分，只需满足：两条小路的中心线都经过正方形的对称中心，且两条中心线互相垂直即可。由于互相垂直且过中心的直线可以绕交点任意旋转，因此满足条件的分法不止固定的几种。
【解析】
解：正方形是中心对称图形，对称中心为其对角线的交点。
只要满足以下两个条件：
1. 两条小路的中心线均经过正方形的对称中心，且两条中心线互相垂直；
2. 两条小路的宽度相同。
即可将正方形草地分成面积相等的四部分。
因为两条互相垂直且过中心的直线可以绕对称中心任意旋转，对应得到无数种符合要求的小路修建方式，因此分法有无数种。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，中心对称图形的性质
【点评】
本题易因思维定式误以为只有对角线、对边中点连线这两种分法，解题的关键是灵活运用中心对称图形的性质，抓住"过对称中心、互相垂直、宽度相等"这几个核心条件判断。
【难度系数】
0.6
3. [2023·安阳三模]下列说法中正确的是 （
A.一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D
）A.一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查特殊四边形的判定，解题思路是逐一结合平行四边形、矩形、正方形的判定定理，对每个选项进行判断，排除错误选项后得到正确答案。首先回忆各类四边形的判定条件，再对应核对每个选项的描述是否符合定理要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平行四边形的判定要求是“一组对边平行且相等”或“两组对边分别相等”，仅一组对边相等的四边形可能是等腰梯形等，不是平行四边形，故A错误；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正方形还需要满足对角线相等的条件，故B错误；
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正方形还需要满足邻边相等的条件，故C错误；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分不同特殊四边形的判定条件，学习过程中要准确记忆各类图形的判定定理，不要混淆不同图形的判定要求，避免因漏记、错记条件失分。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊四边形的判定，解题思路是逐一结合平行四边形、矩形、正方形的判定定理，对每个选项进行判断，排除错误选项后得到正确答案。首先回忆各类四边形的判定条件，再对应核对每个选项的描述是否符合定理要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平行四边形的判定要求是“一组对边平行且相等”或“两组对边分别相等”，仅一组对边相等的四边形可能是等腰梯形等，不是平行四边形，故A错误；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正方形还需要满足对角线相等的条件，故B错误；
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正方形还需要满足邻边相等的条件，故C错误；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分不同特殊四边形的判定条件，学习过程中要准确记忆各类图形的判定定理，不要混淆不同图形的判定要求，避免因漏记、错记条件失分。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 如下左图,菱形ABCD的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$,正方形AECF的面积为$72\ \mathrm{cm}^2$,则菱形的边长为
1. 如下左图,菱形ABCD的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$,正方形AECF的面积为$72\ \mathrm{cm}^2$,则菱形的边长为
$2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$
.(结果中如有根号保留根号)答案
1. $2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
首先，菱形ABCD和正方形AECF都关于直线AC对称，因此二者的对角线BD、EF都在同一条直线上，且与AC互相垂直。解题时可先利用正方形的面积公式求出对角线AC的长度，再结合菱形的面积公式求出另一条对角线BD的长度，最后根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长。
【解析】
连接BD，与AC交于点O。
1. 求AC的长度：
正方形AECF是特殊的菱形，面积等于对角线乘积的一半，且正方形两条对角线长度相等，因此：
$S_{\mathrm{正方形}AECF}=\frac{1}{2}AC^2=72\ \mathrm{cm}^2$
解得$AC^2=144$，即$AC=12\ \mathrm{cm}$（长度取正值）。
2. 求BD的长度：
菱形的面积等于对角线乘积的一半，因此：
$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=120\ \mathrm{cm}^2$
将$AC=12\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{1}{2}×12× BD=120$，解得$BD=20\ \mathrm{cm}$。
3. 求菱形的边长：
菱形对角线互相垂直平分，因此$AO=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=10\ \mathrm{cm}$，且$AC⊥ BD$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与勾股定理的应用，解题的突破口是利用正方形和菱形的轴对称性确定二者对角线共线，再结合特殊四边形的面积公式求出对角线长度，属于基础的综合应用题。
【难度系数】
0.6
首先，菱形ABCD和正方形AECF都关于直线AC对称，因此二者的对角线BD、EF都在同一条直线上，且与AC互相垂直。解题时可先利用正方形的面积公式求出对角线AC的长度，再结合菱形的面积公式求出另一条对角线BD的长度，最后根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长。
【解析】
连接BD，与AC交于点O。
1. 求AC的长度：
正方形AECF是特殊的菱形，面积等于对角线乘积的一半，且正方形两条对角线长度相等，因此：
$S_{\mathrm{正方形}AECF}=\frac{1}{2}AC^2=72\ \mathrm{cm}^2$
解得$AC^2=144$，即$AC=12\ \mathrm{cm}$（长度取正值）。
2. 求BD的长度：
菱形的面积等于对角线乘积的一半，因此：
$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=120\ \mathrm{cm}^2$
将$AC=12\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{1}{2}×12× BD=120$，解得$BD=20\ \mathrm{cm}$。
3. 求菱形的边长：
菱形对角线互相垂直平分，因此$AO=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=10\ \mathrm{cm}$，且$AC⊥ BD$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与勾股定理的应用，解题的突破口是利用正方形和菱形的轴对称性确定二者对角线共线，再结合特殊四边形的面积公式求出对角线长度，属于基础的综合应用题。
【难度系数】
0.6
2. 如上右图,已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,且 BP=BC,则∠ACP 的度数是
$22.5°$
.答案
2. $22.5°$
解析
【分析】
解题时首先利用正方形对角线的性质，得到对角线平分内角所得的角度；再结合已知BP=BC，可知△BPC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理算出∠BCP的度数；最后通过角的和差关系，用∠BCP减去∠ACB即可求出∠ACP的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线BD平分∠ABC，对角线AC平分∠BCD，
∴ ∠DBC = ∠ACB = 45°。
又
∵ BP=BC，
∴ △BPC是等腰三角形，∠BCP=∠BPC。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BCP = (180° - ∠DBC) ÷ 2 = (180° - 45°) ÷ 2 = 67.5°。
∴ ∠ACP = ∠BCP - ∠ACB = 67.5° - 45° = 22.5°。
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊图形性质的综合应用类题目，解题的关键是熟练掌握正方形对角线的角度特征，以及等腰三角形的角度计算方法，准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正方形对角线的性质，得到对角线平分内角所得的角度；再结合已知BP=BC，可知△BPC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理算出∠BCP的度数；最后通过角的和差关系，用∠BCP减去∠ACB即可求出∠ACP的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线BD平分∠ABC，对角线AC平分∠BCD，
∴ ∠DBC = ∠ACB = 45°。
又
∵ BP=BC，
∴ △BPC是等腰三角形，∠BCP=∠BPC。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BCP = (180° - ∠DBC) ÷ 2 = (180° - 45°) ÷ 2 = 67.5°。
∴ ∠ACP = ∠BCP - ∠ACB = 67.5° - 45° = 22.5°。
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊图形性质的综合应用类题目，解题的关键是熟练掌握正方形对角线的角度特征，以及等腰三角形的角度计算方法，准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
3. 如下左图,菱形ABCD的边长为17,对角线AC=30,点E,F分别是边CD,BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G.则EG=
16
.答案
3. 16
解析
【分析】
解题时先利用菱形性质、三角形中位线定理和平行四边形的判定，将求EG的长度转化为求菱形对角线BD的长度，再通过勾股定理计算BD的长度即可。首先明确菱形对角线互相垂直平分、对边平行的性质，再根据E、F是边的中点判断EF是△BCD的中位线，得到EF和BD的平行关系，结合AB和CD平行可证四边形DEGB是平行四边形，即可得到EG=BD，最后用勾股定理算出BD长度就得到结果。
【解析】
设对角线AC、BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC=15$，$AB// CD$，
在$Rt△ AOD$中，$AD=17$，$AO=15$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$，
∴ $BD=2OD=16$。
∵ 点E、F分别是CD、BC的中点，
∴ EF是$△ BCD$的中位线，
∴ $EF// BD$，即$EG// BD$，
又
∵ $AB// CD$，即$BG// DE$，
∴ 四边形DEGB是平行四边形，
∴ $EG=BD=16$。
【答案】
16
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是四边形章节的典型综合题，核心是利用转化思想将未知线段转化为已知可求的菱形对角线，综合考查了多个基础几何知识点，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形性质、三角形中位线定理和平行四边形的判定，将求EG的长度转化为求菱形对角线BD的长度，再通过勾股定理计算BD的长度即可。首先明确菱形对角线互相垂直平分、对边平行的性质，再根据E、F是边的中点判断EF是△BCD的中位线，得到EF和BD的平行关系，结合AB和CD平行可证四边形DEGB是平行四边形，即可得到EG=BD，最后用勾股定理算出BD长度就得到结果。
【解析】
设对角线AC、BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC=15$，$AB// CD$，
在$Rt△ AOD$中，$AD=17$，$AO=15$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$，
∴ $BD=2OD=16$。
∵ 点E、F分别是CD、BC的中点，
∴ EF是$△ BCD$的中位线，
∴ $EF// BD$，即$EG// BD$，
又
∵ $AB// CD$，即$BG// DE$，
∴ 四边形DEGB是平行四边形，
∴ $EG=BD=16$。
【答案】
16
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是四边形章节的典型综合题，核心是利用转化思想将未知线段转化为已知可求的菱形对角线，综合考查了多个基础几何知识点，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
4. 如上右图,矩形ABCD中,AB=5,BC=4,将矩形折叠,使点B落在线段CD的点F处,则线段BE的长为________.
答案
4. 2.5
解析
【分析】
这是一道矩形背景下的折叠求线段长的题目，解题思路如下：首先根据折叠的性质得到对应边相等，先在直角三角形ADF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到FC的长度；再设BE的长为未知数，将直角三角形EFC的三边用含未知数的式子表示，最后根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=4
∴AD=BC=4，CD=AB=5，∠D=∠C=90°
由折叠的性质可得：AF=AB=5，EF=BE
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
∴$FC=CD-DF=5-3=2$
设$BE=x$，则$EF=x$，$EC=BC-BE=4-x$
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC^2+FC^2=EF^2$
即$(4-x)^2+2^2=x^2$
展开得：$16-8x+x^2+4=x^2$
整理得：$20-8x=0$
解得$x=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题结合矩形与折叠的性质考查勾股定理的应用，设未知数列方程是几何中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握折叠前后对应边相等的性质，以及勾股定理在直角三角形中的应用方法。
【难度系数】
0.7
这是一道矩形背景下的折叠求线段长的题目，解题思路如下：首先根据折叠的性质得到对应边相等，先在直角三角形ADF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到FC的长度；再设BE的长为未知数，将直角三角形EFC的三边用含未知数的式子表示，最后根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=4
∴AD=BC=4，CD=AB=5，∠D=∠C=90°
由折叠的性质可得：AF=AB=5，EF=BE
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
∴$FC=CD-DF=5-3=2$
设$BE=x$，则$EF=x$，$EC=BC-BE=4-x$
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC^2+FC^2=EF^2$
即$(4-x)^2+2^2=x^2$
展开得：$16-8x+x^2+4=x^2$
整理得：$20-8x=0$
解得$x=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题结合矩形与折叠的性质考查勾股定理的应用，设未知数列方程是几何中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握折叠前后对应边相等的性质，以及勾股定理在直角三角形中的应用方法。
【难度系数】
0.7
