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16.小红在计算$a(1+a)-(a-1)^2$时，解答过程如下：
小红的解答从第
小红的解答从第
一
步开始出错，请写出正确的解答过程。答案
16.解:从第一步开始出错,正确的解答过程如下:
$a(1+a)-(a-1)^2$
$=a+a^2-(a^2-2a+1)$
$=a+a^2-a^2+2a-1$
$=3a-1$。
$a(1+a)-(a-1)^2$
$=a+a^2-(a^2-2a+1)$
$=a+a^2-a^2+2a-1$
$=3a-1$。
解析
【分析】
解这道题首先要遵循整式混合运算的规则，先算乘方、乘法，再算加减。首先分别展开两部分：一是单项式乘多项式$a(1+a)$，根据法则展开为$a+a^2$；二是完全平方$(a-1)^2$，要用到完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，不能和平方差公式混淆。展开后再去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号，最后合并同类项得到结果。观察小红的步骤，第一步展开$(a-1)^2$时错误写成$a^2-1$，不符合完全平方公式的展开结果，因此从第一步就开始出错。
【解析】
小红的解答从第一步开始出错，错误原因是混淆了完全平方公式和平方差公式，$(a-1)^2$的正确展开结果为$a^2-2a+1$。正确解答过程如下：
$\begin{aligned}a(1+a)-(a-1)^2&=a+a^2-(a^2-2a+1)\\&=a+a^2-a^2+2a-1\\&=3a-1\end{aligned}$
【答案】
一；正确解答过程如上，最终结果为$3a-1$。
【知识点】
完全平方公式；去括号法则；整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查对完全平方公式的掌握程度，以及去括号时的符号处理能力，解题时要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免展开错误，同时去括号时要注意括号前符号对括号内各项的影响。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要遵循整式混合运算的规则，先算乘方、乘法，再算加减。首先分别展开两部分：一是单项式乘多项式$a(1+a)$，根据法则展开为$a+a^2$；二是完全平方$(a-1)^2$，要用到完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，不能和平方差公式混淆。展开后再去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号，最后合并同类项得到结果。观察小红的步骤，第一步展开$(a-1)^2$时错误写成$a^2-1$，不符合完全平方公式的展开结果，因此从第一步就开始出错。
【解析】
小红的解答从第一步开始出错，错误原因是混淆了完全平方公式和平方差公式，$(a-1)^2$的正确展开结果为$a^2-2a+1$。正确解答过程如下：
$\begin{aligned}a(1+a)-(a-1)^2&=a+a^2-(a^2-2a+1)\\&=a+a^2-a^2+2a-1\\&=3a-1\end{aligned}$
【答案】
一；正确解答过程如上，最终结果为$3a-1$。
【知识点】
完全平方公式；去括号法则；整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查对完全平方公式的掌握程度，以及去括号时的符号处理能力，解题时要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免展开错误，同时去括号时要注意括号前符号对括号内各项的影响。
【难度系数】
0.7
17.(1)如图,用4个全等的长方形拼成的一个“回”字形正方形图中,阴影部分的面积用两种方法表示可得一个等式,这个等式为
$(b+a)^2-(b-a)^2=4ab$
;(2)若$(4x-y)^2=9,(4x+y)^2=169$,求$xy$的值。答案
17.解:(1)$(b+a)^2-(b-a)^2=4ab$
(2)因为$(4x+y)^2-(4x-y)^2=16xy=160$,
所以$xy=10$。
(2)因为$(4x+y)^2-(4x-y)^2=16xy=160$,
所以$xy=10$。
解析
【分析】
(1) 我们可以通过两种方法计算阴影部分面积推导等式：第一种方法是用大正方形面积减去中间空白正方形的面积，先确定大正方形边长为$a+b$、空白正方形边长为$b-a$，分别计算面积后作差；第二种方法是阴影部分为4个全等的长方形，单个长方形面积为$ab$，4个的总面积为$4ab$，两种方法计算的阴影面积相等，即可得到对应等式。
(2) 第二问直接套用第一问得到的恒等式规律，将$4x$和$y$看作恒等式中的两个量，代入已知的两个平方的值，即可快速求出$xy$的值，不需要展开完全平方计算，简化运算步骤。
【解析】
(1) ①大正方形的边长为$a+b$，面积为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
②中间空白正方形的边长为$b-a$，面积为$\boldsymbol{(b-a)^2}$；
③阴影部分面积=大正方形面积-空白正方形面积，即$S_{\mathrm{阴}}=(a+b)^2-(b-a)^2$；
④阴影部分是4个全等的长方形，每个长方形面积为$ab$，因此$S_{\mathrm{阴}}=4ab$；
联立两个表达式可得等式：$(b+a)^2-(b-a)^2=4ab$。
(2) 根据(1)推导的恒等式，对任意两个数$m、n$都有$(m+n)^2-(m-n)^2=4mn$，令$m=4x$，$n=y$，可得：
$(4x+y)^2-(4x-y)^2=4×4x· y=16xy$
将$(4x-y)^2=9$，$(4x+y)^2=169$代入上式：
$169-9=16xy$
化简得$16xy=160$，两边同时除以16，得$xy=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(b+a)^2-(b-a)^2=4ab}$；(2) $\boldsymbol{xy=10}$
【知识点】
完全平方公式、面积法列代数式、整体代入求值
【点评】
本题通过几何图形面积推导代数恒等式，再将恒等式应用到代数式求值中，既考查了数形结合的思想，也考查了对公式变形的灵活运用能力，掌握该类恒等式能有效简化完全平方相关的计算。
【难度系数】
0.75
(1) 我们可以通过两种方法计算阴影部分面积推导等式：第一种方法是用大正方形面积减去中间空白正方形的面积，先确定大正方形边长为$a+b$、空白正方形边长为$b-a$，分别计算面积后作差；第二种方法是阴影部分为4个全等的长方形，单个长方形面积为$ab$，4个的总面积为$4ab$，两种方法计算的阴影面积相等，即可得到对应等式。
(2) 第二问直接套用第一问得到的恒等式规律，将$4x$和$y$看作恒等式中的两个量，代入已知的两个平方的值，即可快速求出$xy$的值，不需要展开完全平方计算，简化运算步骤。
【解析】
(1) ①大正方形的边长为$a+b$，面积为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
②中间空白正方形的边长为$b-a$，面积为$\boldsymbol{(b-a)^2}$；
③阴影部分面积=大正方形面积-空白正方形面积，即$S_{\mathrm{阴}}=(a+b)^2-(b-a)^2$；
④阴影部分是4个全等的长方形，每个长方形面积为$ab$，因此$S_{\mathrm{阴}}=4ab$；
联立两个表达式可得等式：$(b+a)^2-(b-a)^2=4ab$。
(2) 根据(1)推导的恒等式，对任意两个数$m、n$都有$(m+n)^2-(m-n)^2=4mn$，令$m=4x$，$n=y$，可得：
$(4x+y)^2-(4x-y)^2=4×4x· y=16xy$
将$(4x-y)^2=9$，$(4x+y)^2=169$代入上式：
$169-9=16xy$
化简得$16xy=160$，两边同时除以16，得$xy=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(b+a)^2-(b-a)^2=4ab}$；(2) $\boldsymbol{xy=10}$
【知识点】
完全平方公式、面积法列代数式、整体代入求值
【点评】
本题通过几何图形面积推导代数恒等式，再将恒等式应用到代数式求值中，既考查了数形结合的思想，也考查了对公式变形的灵活运用能力，掌握该类恒等式能有效简化完全平方相关的计算。
【难度系数】
0.75
18.[数学文化]我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的“三角形”解释二项式$(a+b)^n$的展开式中各项的系数，此“三角形”被称为“杨辉三角”。根据“杨辉三角”知$(a+b)^6$的展开式中，从左起第四项的系数为
假期作业6
年月日 星期
20
。假期作业6
年月日 星期
答案
18.20
解析
【分析】
首先观察杨辉三角的数字规律：①每行的首尾数字都是1；②除首尾外，每个数字都等于它上一行左右相邻两个数字的和。我们已知$(a+b)^5$对应的系数行，按照这个规律先写出$(a+b)^6$对应的所有系数，再数出从左起第四项的系数即可。
【解析】
观察已知的杨辉三角各行系数：
$(a+b)^0$的系数：$\boxed{1}$
$(a+b)^1$的系数：$\boxed{1\quad 1}$
$(a+b)^2$的系数：$\boxed{1\quad 2\quad 1}$
$(a+b)^3$的系数：$\boxed{1\quad 3\quad 3\quad 1}$
$(a+b)^4$的系数：$\boxed{1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1}$
$(a+b)^5$的系数：$\boxed{1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1}$
按照规律推导$(a+b)^6$的系数：
第1项：1
第2项：$1+5=6$
第3项：$5+10=15$
第4项：$10+10=20$
第5项：$10+5=15$
第6项：$5+1=6$
第7项：1
即$(a+b)^6$的系数行是$\boxed{1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1}$，从左起第四项的系数为20。
【答案】
20
【知识点】
杨辉三角规律，数字规律探究
【点评】
本题结合古代数学文化杨辉三角设题，考查对数字规律的观察和推导能力，解题关键是找准相邻行数字之间的运算关系，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
首先观察杨辉三角的数字规律：①每行的首尾数字都是1；②除首尾外，每个数字都等于它上一行左右相邻两个数字的和。我们已知$(a+b)^5$对应的系数行，按照这个规律先写出$(a+b)^6$对应的所有系数，再数出从左起第四项的系数即可。
【解析】
观察已知的杨辉三角各行系数：
$(a+b)^0$的系数：$\boxed{1}$
$(a+b)^1$的系数：$\boxed{1\quad 1}$
$(a+b)^2$的系数：$\boxed{1\quad 2\quad 1}$
$(a+b)^3$的系数：$\boxed{1\quad 3\quad 3\quad 1}$
$(a+b)^4$的系数：$\boxed{1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1}$
$(a+b)^5$的系数：$\boxed{1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1}$
按照规律推导$(a+b)^6$的系数：
第1项：1
第2项：$1+5=6$
第3项：$5+10=15$
第4项：$10+10=20$
第5项：$10+5=15$
第6项：$5+1=6$
第7项：1
即$(a+b)^6$的系数行是$\boxed{1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1}$，从左起第四项的系数为20。
【答案】
20
【知识点】
杨辉三角规律，数字规律探究
【点评】
本题结合古代数学文化杨辉三角设题，考查对数字规律的观察和推导能力，解题关键是找准相邻行数字之间的运算关系，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
