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12.如图，有一块长为$(4a+b)\mathrm{m}$、宽为$(a+2b)\mathrm{m}$的空地，现计划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为$a \mathrm{ m}$的正方形。
(1)求绿化的面积(用含$a,b$的代数式表示，并化简)；
(2)若$a=2,b=3$，绿化成本为每平方米100元，则完成绿化需要多少元？
(1)求绿化的面积(用含$a,b$的代数式表示，并化简)；
(2)若$a=2,b=3$，绿化成本为每平方米100元，则完成绿化需要多少元？
答案
12.解:(1)绿化面积$=(4a+b)(a+2b)-a^2=4a^2+8ab+ab+2b^2-a^2=3a^2+9ab+2b^2(\mathrm{m}^2)$。
(2)当$a=2,b=3$时，
$3a^2+9ab+2b^2=3×2^2+9×2×3+2×3^2=84$，
所以完成绿化需要$100×84=8\ 400$(元)。
(2)当$a=2,b=3$时，
$3a^2+9ab+2b^2=3×2^2+9×2×3+2×3^2=84$，
所以完成绿化需要$100×84=8\ 400$(元)。
解析
【分析】
(1) 求阴影绿化面积可采用“整体减空白”的常用思路：阴影面积等于大长方形面积减去中间空白正方形的面积。首先根据长方形面积=长×宽、正方形面积=边长²分别表示出两个图形的面积，再作差，随后按照多项式乘多项式的法则展开式子，合并同类项即可完成化简。
(2) 第二问为代数式求值问题，直接将a=2、b=3代入第一问化简得到的绿化面积代数式中，算出具体面积后，乘以每平方米的绿化成本，即可求出总费用。
【解析】
解：(1) 大长方形的面积为$(4a+b)(a+2b)$，中间空白正方形的面积为$a^2$，因此：
绿化面积$=(4a+b)(a+2b)-a^2$
$=4a^2+8ab+ab+2b^2-a^2$
$=3a^2+9ab+2b^2(\mathrm{m}^2)$
(2) 当$a=2,b=3$时，代入$3a^2+9ab+2b^2$得：
$3×2^2+9×2×3+2×3^2$
$=3×4+54+2×9$
$=12+54+18$
$=84$
总绿化费用$=84×100=8400$(元)
【答案】
(1) 绿化面积为$(3a^2+9ab+2b^2)\mathrm{m}^2$；
(2) 完成绿化需要8400元。
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，面积和差计算
【点评】
本题是整式运算在实际问题中的典型应用，解题关键是掌握“整体减空白”的不规则面积求解思路，熟练运用多项式乘法运算规则和代入求值的方法，既考查了代数运算能力，也考查了几何图形的分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影绿化面积可采用“整体减空白”的常用思路：阴影面积等于大长方形面积减去中间空白正方形的面积。首先根据长方形面积=长×宽、正方形面积=边长²分别表示出两个图形的面积，再作差，随后按照多项式乘多项式的法则展开式子，合并同类项即可完成化简。
(2) 第二问为代数式求值问题，直接将a=2、b=3代入第一问化简得到的绿化面积代数式中，算出具体面积后，乘以每平方米的绿化成本，即可求出总费用。
【解析】
解：(1) 大长方形的面积为$(4a+b)(a+2b)$，中间空白正方形的面积为$a^2$，因此：
绿化面积$=(4a+b)(a+2b)-a^2$
$=4a^2+8ab+ab+2b^2-a^2$
$=3a^2+9ab+2b^2(\mathrm{m}^2)$
(2) 当$a=2,b=3$时，代入$3a^2+9ab+2b^2$得：
$3×2^2+9×2×3+2×3^2$
$=3×4+54+2×9$
$=12+54+18$
$=84$
总绿化费用$=84×100=8400$(元)
【答案】
(1) 绿化面积为$(3a^2+9ab+2b^2)\mathrm{m}^2$；
(2) 完成绿化需要8400元。
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，面积和差计算
【点评】
本题是整式运算在实际问题中的典型应用，解题关键是掌握“整体减空白”的不规则面积求解思路，熟练运用多项式乘法运算规则和代入求值的方法，既考查了代数运算能力，也考查了几何图形的分析能力。
【难度系数】
0.7
13. 观察下列式子：
$1× 3 + 1 = 2^2, 2× 4 + 1 = 3^2, 3× 5 + 1 = 4^2, \dots$。
按照上述规律，知
$1× 3 + 1 = 2^2, 2× 4 + 1 = 3^2, 3× 5 + 1 = 4^2, \dots$。
按照上述规律，知
$(n-1)(n+1)+1$
$=n^2$。答案
13.$(n-1)(n+1)+1$
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的结构特征，找到等式右边平方的底数和左边两个乘数的关系：已知的3个等式中，右边平方的底数比左边第一个乘数大1，比左边第二个乘数小1，且所有等式左边都有加1的固定结构。按照这个规律，当右边是$n^2$时，只需把左边两个乘数用含$n$的式子表示即可。
【解析】
对已知式子逐一分析：
1. 第1个式子：$1×3+1=2^2$，其中$1=2-1$，$3=2+1$，可改写为$(2-1)(2+1)+1=2^2$；
2. 第2个式子：$2×4+1=3^2$，其中$2=3-1$，$4=3+1$，可改写为$(3-1)(3+1)+1=3^2$；
3. 第3个式子：$3×5+1=4^2$，其中$3=4-1$，$5=4+1$，可改写为$(4-1)(4+1)+1=4^2$。
按照上述规律，当等式右边为$n^2$时，左边的表达式为$(n-1)(n+1)+1$，验证可得：$(n-1)(n+1)+1=n^2-1+1=n^2$，符合要求。
【答案】
$(n-1)(n+1)+1$
【知识点】
数字规律探究，平方差公式，整式运算
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题核心是梳理等式左右两边各数字的对应关系，通过从特殊到一般的归纳方法得到通用结论，也可以通过整式运算反向验证结论的正确性，有助于培养观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式的结构特征，找到等式右边平方的底数和左边两个乘数的关系：已知的3个等式中，右边平方的底数比左边第一个乘数大1，比左边第二个乘数小1，且所有等式左边都有加1的固定结构。按照这个规律，当右边是$n^2$时，只需把左边两个乘数用含$n$的式子表示即可。
【解析】
对已知式子逐一分析：
1. 第1个式子：$1×3+1=2^2$，其中$1=2-1$，$3=2+1$，可改写为$(2-1)(2+1)+1=2^2$；
2. 第2个式子：$2×4+1=3^2$，其中$2=3-1$，$4=3+1$，可改写为$(3-1)(3+1)+1=3^2$；
3. 第3个式子：$3×5+1=4^2$，其中$3=4-1$，$5=4+1$，可改写为$(4-1)(4+1)+1=4^2$。
按照上述规律，当等式右边为$n^2$时，左边的表达式为$(n-1)(n+1)+1$，验证可得：$(n-1)(n+1)+1=n^2-1+1=n^2$，符合要求。
【答案】
$(n-1)(n+1)+1$
【知识点】
数字规律探究，平方差公式，整式运算
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题核心是梳理等式左右两边各数字的对应关系，通过从特殊到一般的归纳方法得到通用结论，也可以通过整式运算反向验证结论的正确性，有助于培养观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
14.计算：$[1-(\dfrac{1}{2})^2]×[1-(\dfrac{1}{3})^2]×[1-(\dfrac{1}{4})^2]×···×[1-(\dfrac{1}{9})^2]=$
$\dfrac{5}{9}$
。答案
14.$\dfrac{5}{9}$
解析
【分析】
首先观察式子中每个因式的结构，均为1减去一个分数的平方的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征。我们可以先利用平方差公式将每个因式拆成两个分数相乘的形式，拆分后会发现相邻的分数分子分母可以相互抵消（约分），最后只需要计算剩余的首尾项的乘积即可得到结果，这样计算比直接算每个因式再相乘要简便很多。
【解析】
利用平方差公式对每个因式拆分：
$1-(\frac{1}{n})^2=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$
则原式可改写为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{9})(1+\frac{1}{9})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{3}{2})×(\frac{2}{3}×\frac{4}{3})×(\frac{3}{4}×\frac{5}{4})×\dots×(\frac{8}{9}×\frac{10}{9})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{8}{9})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{10}{9})\end{aligned}$
对两组分数分别约分：第一组约分后剩余$\frac{1}{9}$，第二组约分后剩余$\frac{10}{2}=5$
则原式$=\frac{1}{9}×5=\frac{5}{9}$
【答案】
$\dfrac{5}{9}$
【知识点】
平方差公式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题属于有理数巧算类题型，核心是通过观察因式的结构特征，灵活运用平方差公式拆分因式，将复杂的连乘运算转化为可约分的形式，大幅简化计算过程，避免了直接计算的繁琐和易错问题。
【难度系数】
0.7
首先观察式子中每个因式的结构，均为1减去一个分数的平方的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征。我们可以先利用平方差公式将每个因式拆成两个分数相乘的形式，拆分后会发现相邻的分数分子分母可以相互抵消（约分），最后只需要计算剩余的首尾项的乘积即可得到结果，这样计算比直接算每个因式再相乘要简便很多。
【解析】
利用平方差公式对每个因式拆分：
$1-(\frac{1}{n})^2=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$
则原式可改写为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{9})(1+\frac{1}{9})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{3}{2})×(\frac{2}{3}×\frac{4}{3})×(\frac{3}{4}×\frac{5}{4})×\dots×(\frac{8}{9}×\frac{10}{9})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{8}{9})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{10}{9})\end{aligned}$
对两组分数分别约分：第一组约分后剩余$\frac{1}{9}$，第二组约分后剩余$\frac{10}{2}=5$
则原式$=\frac{1}{9}×5=\frac{5}{9}$
【答案】
$\dfrac{5}{9}$
【知识点】
平方差公式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题属于有理数巧算类题型，核心是通过观察因式的结构特征，灵活运用平方差公式拆分因式，将复杂的连乘运算转化为可约分的形式，大幅简化计算过程，避免了直接计算的繁琐和易错问题。
【难度系数】
0.7
15. 已知$|2m-1|+(n-3)^2=0$，化简代数式后求值：
$[(2m+n)^2-(2m-n)(2m+n)-8n]÷2n$。
$[(2m+n)^2-(2m-n)(2m+n)-8n]÷2n$。
答案
15.解:原式$=(4m^2+4mn+n^2-4m^2+n^2-8n)÷2n=(4mn+2n^2-8n)÷2n=2m+n-4$。
因为$|2m-1|+(n-3)^2=0$,所以$2m-1=0,n-3=0$,所以$m=\dfrac{1}{2},n=3$。
当$m=\dfrac{1}{2},n=3$时,原式$=2×\dfrac{1}{2}+3-4=0$。
因为$|2m-1|+(n-3)^2=0$,所以$2m-1=0,n-3=0$,所以$m=\dfrac{1}{2},n=3$。
当$m=\dfrac{1}{2},n=3$时,原式$=2×\dfrac{1}{2}+3-4=0$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，因为绝对值和偶次平方都具有非负性，两个非负数相加为0时，每个非负数都为0，据此可先求出m、n的值。再对所求代数式进行化简，先利用完全平方公式、平方差公式去掉中括号内的括号，合并同类项后再做除法运算，得到最简形式，最后将m、n的值代入最简式计算即可，先化简再求值能减少计算量，避免出错。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&[(2m+n)^2-(2m-n)(2m+n)-8n]÷2n\\=&[4m^2+4mn+n^2-(4m^2-n^2)-8n]÷2n\\=&(4m^2+4mn+n^2-4m^2+n^2-8n)÷2n\\=&(4mn+2n^2-8n)÷2n\\=&4mn÷2n + 2n^2÷2n -8n÷2n\\=&2m + n - 4\end{aligned}$
再根据非负数的性质求参数：
因为$|2m-1|≥0$，$(n-3)^2≥0$，且$|2m-1|+(n-3)^2=0$，所以$2m-1=0$，$n-3=0$，解得$m=\frac{1}{2}$，$n=3$。
最后代入求值：
将$m=\frac{1}{2}$，$n=3$代入$2m + n - 4$得：
原式$=2×\frac{1}{2} + 3 -4 = 1+3-4=0$。
【答案】
0
【知识点】
非负数的性质；整式的混合运算；代数式求值
【点评】
本题综合考查了非负性的应用与整式化简求值，解题时优先对代数式化简再代入计算可大幅降低计算量，熟练掌握完全平方公式、平方差公式等整式运算规则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，因为绝对值和偶次平方都具有非负性，两个非负数相加为0时，每个非负数都为0，据此可先求出m、n的值。再对所求代数式进行化简，先利用完全平方公式、平方差公式去掉中括号内的括号，合并同类项后再做除法运算，得到最简形式，最后将m、n的值代入最简式计算即可，先化简再求值能减少计算量，避免出错。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&[(2m+n)^2-(2m-n)(2m+n)-8n]÷2n\\=&[4m^2+4mn+n^2-(4m^2-n^2)-8n]÷2n\\=&(4m^2+4mn+n^2-4m^2+n^2-8n)÷2n\\=&(4mn+2n^2-8n)÷2n\\=&4mn÷2n + 2n^2÷2n -8n÷2n\\=&2m + n - 4\end{aligned}$
再根据非负数的性质求参数：
因为$|2m-1|≥0$，$(n-3)^2≥0$，且$|2m-1|+(n-3)^2=0$，所以$2m-1=0$，$n-3=0$，解得$m=\frac{1}{2}$，$n=3$。
最后代入求值：
将$m=\frac{1}{2}$，$n=3$代入$2m + n - 4$得：
原式$=2×\frac{1}{2} + 3 -4 = 1+3-4=0$。
【答案】
0
【知识点】
非负数的性质；整式的混合运算；代数式求值
【点评】
本题综合考查了非负性的应用与整式化简求值，解题时优先对代数式化简再代入计算可大幅降低计算量，熟练掌握完全平方公式、平方差公式等整式运算规则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.8
