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6.如图,这是一款手推车的平面示意图,其中$AB// CD$,$∠ 1=24°$,$∠ 3=148°$,则$∠ 2$的度数为（
A.$56°$
B.$66°$
C.$98°$
D.$104°$
A
）A.$56°$
B.$66°$
C.$98°$
D.$104°$
答案
6.A
解析
【分析】
本题可通过构造辅助线结合平行线性质求解，也可以利用平行线性质和三角形外角性质计算。首先观察已知条件有AB//CD，已知∠1和∠3的度数，我们可以通过延长斜线构造三角形，先利用平行线同旁内角互补求出和∠3互补的角的度数，再根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠2的度数，该方法符合七年级所学知识范围。
【解析】
解：延长与∠3相邻、不与AB重合的边，交CD于点M。
∵ $AB// CD$
∴ $∠3+∠ AMD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠3=148°$，代入得：
$∠ AMD=180°-148°=32°$
∵ $∠2$是$△ DME$（E为∠2的顶点）的外角
∴ $∠2=∠ AMD+∠1$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）
已知$∠1=24°$，代入得：
$∠2=32°+24°=56°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，三角形外角性质，角的运算
【点评】
本题是平行线与三角形性质结合的基础题型，解题的关键是合理构造辅助线，找到已知角和未知角的关系，是几何部分的常考类型。
【难度系数】
0.7
本题可通过构造辅助线结合平行线性质求解，也可以利用平行线性质和三角形外角性质计算。首先观察已知条件有AB//CD，已知∠1和∠3的度数，我们可以通过延长斜线构造三角形，先利用平行线同旁内角互补求出和∠3互补的角的度数，再根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠2的度数，该方法符合七年级所学知识范围。
【解析】
解：延长与∠3相邻、不与AB重合的边，交CD于点M。
∵ $AB// CD$
∴ $∠3+∠ AMD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠3=148°$，代入得：
$∠ AMD=180°-148°=32°$
∵ $∠2$是$△ DME$（E为∠2的顶点）的外角
∴ $∠2=∠ AMD+∠1$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）
已知$∠1=24°$，代入得：
$∠2=32°+24°=56°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，三角形外角性质，角的运算
【点评】
本题是平行线与三角形性质结合的基础题型，解题的关键是合理构造辅助线，找到已知角和未知角的关系，是几何部分的常考类型。
【难度系数】
0.7
7.近年来,新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱,它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵,也自然流露出现代元素的气息。如图,这是某款式角花的局部示意图,若∠1=90°,则∠2=∠1=90°,其依据是
对顶角相等
。答案
7.对顶角相等
解析
【分析】
拿到题目后，首先观察∠1和∠2的位置关系：两个角是两条相交直线形成的、位置相对的角，也就是对顶角。我们已经学习过对顶角的基本性质是对顶角相等，已知∠1=90°，结合这一性质就能直接推出∠2=∠1=90°，因此对应的依据就是对顶角相等的性质。
【解析】
观察图形可得，∠1与∠2是两条相交直线形成的对顶角，根据对顶角相等的性质，已知∠1=90°，可推出∠2=∠1=90°，因此该结论的依据为对顶角相等。
【答案】
对顶角相等
【知识点】
对顶角相等
【点评】
本题结合生活中的装修图案出题，情境贴近生活，题目直观易懂，主要考查学生对基础几何概念的识别与应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
拿到题目后，首先观察∠1和∠2的位置关系：两个角是两条相交直线形成的、位置相对的角，也就是对顶角。我们已经学习过对顶角的基本性质是对顶角相等，已知∠1=90°，结合这一性质就能直接推出∠2=∠1=90°，因此对应的依据就是对顶角相等的性质。
【解析】
观察图形可得，∠1与∠2是两条相交直线形成的对顶角，根据对顶角相等的性质，已知∠1=90°，可推出∠2=∠1=90°，因此该结论的依据为对顶角相等。
【答案】
对顶角相等
【知识点】
对顶角相等
【点评】
本题结合生活中的装修图案出题，情境贴近生活，题目直观易懂，主要考查学生对基础几何概念的识别与应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
8.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，$DE⊥ AB$，垂足为$E$。若$DC=3\ \mathrm{cm}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，则$S_{△ ABD}=$
$15\ \mathrm{cm}^2$
。答案
8.$15\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出DE=DC，得到△ABD中AB边上的高；再代入三角形面积公式即可求出△ABD的面积。
【解析】
∵ BD是∠ABC的平分线，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得 $ DE = DC = 3\ \mathrm{cm} $，
∵ △ABD的底 $ AB=10\ \mathrm{cm} $，AB边上的高为 $ DE=3\ \mathrm{cm} $，
∴ $ S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用，解题核心是利用角平分线的性质快速得到三角形的高，掌握相关知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出DE=DC，得到△ABD中AB边上的高；再代入三角形面积公式即可求出△ABD的面积。
【解析】
∵ BD是∠ABC的平分线，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得 $ DE = DC = 3\ \mathrm{cm} $，
∵ △ABD的底 $ AB=10\ \mathrm{cm} $，AB边上的高为 $ DE=3\ \mathrm{cm} $，
∴ $ S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用，解题核心是利用角平分线的性质快速得到三角形的高，掌握相关知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,$P$为直线$AB$上一动点,连接$PC$,则线段$PC$的最小值是________。
答案
9.$\frac{12}{5}$
解析
【分析】
要找线段PC的最小值，首先根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当PC垂直于AB时，PC的长度最小。接下来求这个垂线段的长度，我们可以利用△ABC的面积有两种计算方法：一是用两条直角边的乘积除以2，二是用斜边AB乘斜边上的高PC再除以2，两种方法计算的面积相等，就能列方程求出PC的长度。
【解析】
根据“垂线段最短”可得，当$PC ⊥ AB$时，线段$PC$的长度最小。
已知$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，
$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
同时$△ ABC$的面积也可以表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × PC$，
将数值代入得：$\frac{1}{2} × 5 × PC = 6$，
解得：$PC = \frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等面积法求线段长
【点评】
本题是几何中求线段最值的典型题型，解题核心是先利用垂线段最短的性质确定线段取最小值的位置，再通过等面积法建立等式计算线段长度，整体思路清晰，方法通用性较强。
【难度系数】
0.7
要找线段PC的最小值，首先根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当PC垂直于AB时，PC的长度最小。接下来求这个垂线段的长度，我们可以利用△ABC的面积有两种计算方法：一是用两条直角边的乘积除以2，二是用斜边AB乘斜边上的高PC再除以2，两种方法计算的面积相等，就能列方程求出PC的长度。
【解析】
根据“垂线段最短”可得，当$PC ⊥ AB$时，线段$PC$的长度最小。
已知$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，
$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
同时$△ ABC$的面积也可以表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × PC$，
将数值代入得：$\frac{1}{2} × 5 × PC = 6$，
解得：$PC = \frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等面积法求线段长
【点评】
本题是几何中求线段最值的典型题型，解题核心是先利用垂线段最短的性质确定线段取最小值的位置，再通过等面积法建立等式计算线段长度，整体思路清晰，方法通用性较强。
【难度系数】
0.7
10.如果$a - b = 3$，$b - c = 4$，那么$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc =$
37
。答案
10.37
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，其中包含平方项和两两乘积的相反数项，可联想到完全平方公式的变形。已知$a-b$和$b-c$的值，可先求出$a-c$的值，再将所求代数式乘以2凑成三个完全平方的和的形式，代入数值计算后再除以2即可得到结果，无需单独求出$a、b、c$的具体值，能简化计算。
【解析】
第一步：先求$a - c$的值
已知$a - b = 3$，$b - c = 4$，将两个等式相加可得：
$a - b + b - c = 3 + 4$，即$a - c = 7$。
第二步：对所求代数式进行变形
根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，对$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc$变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc&=\frac{1}{2}×(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc)\\&=\frac{1}{2}×[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)]\\&=\frac{1}{2}×[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]\end{aligned}$
第三步：代入数值计算
将$a - b = 3$，$b - c = 4$，$a - c = 7$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(3^2 + 4^2 + 7^2)\\&=\frac{1}{2}×(9 + 16 + 49)\\&=\frac{1}{2}×74\\&=37\end{aligned}$
【答案】
37
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、整式变形
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是掌握所求代数式的常见变形技巧，通过凑完全平方的方式将未知式子转化为含已知条件的形式，避开求解单个未知数的繁琐计算，属于整式运算中的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先观察所求代数式的结构，其中包含平方项和两两乘积的相反数项，可联想到完全平方公式的变形。已知$a-b$和$b-c$的值，可先求出$a-c$的值，再将所求代数式乘以2凑成三个完全平方的和的形式，代入数值计算后再除以2即可得到结果，无需单独求出$a、b、c$的具体值，能简化计算。
【解析】
第一步：先求$a - c$的值
已知$a - b = 3$，$b - c = 4$，将两个等式相加可得：
$a - b + b - c = 3 + 4$，即$a - c = 7$。
第二步：对所求代数式进行变形
根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，对$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc$变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc&=\frac{1}{2}×(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc)\\&=\frac{1}{2}×[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)]\\&=\frac{1}{2}×[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]\end{aligned}$
第三步：代入数值计算
将$a - b = 3$，$b - c = 4$，$a - c = 7$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(3^2 + 4^2 + 7^2)\\&=\frac{1}{2}×(9 + 16 + 49)\\&=\frac{1}{2}×74\\&=37\end{aligned}$
【答案】
37
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、整式变形
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是掌握所求代数式的常见变形技巧，通过凑完全平方的方式将未知式子转化为含已知条件的形式，避开求解单个未知数的繁琐计算，属于整式运算中的典型题型。
【难度系数】
0.6
11.先化简,再求值:$(x+y)(x-y)+(xy^2 -2xy)÷ x$,其中$x=1,y=\frac{1}{2}$。
答案
11.解:原式=$x^2 - y^2 + y^2 - 2y = x^2 - 2y$。当$x=1,y=\frac{1}{2}$时,原式=$1^2 - 2×\frac{1}{2}=0$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循先化简再代值的解题思路：第一步先处理整式乘除运算，首先用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，再根据多项式除以单项式的法则计算$(xy^2 - 2xy)÷x$；第二步合并同类项得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 利用平方差公式计算乘法项：
$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
2. 计算多项式除以单项式项，将多项式每一项分别除以x：
$(xy^2 - 2xy)÷x = xy^2÷x - 2xy÷x = y^2 - 2y$
3. 合并两项结果，消去同类项$-y^2$和$+y^2$：
原式$=x^2 - y^2 + y^2 - 2y = x^2 - 2y$
4. 代入$x=1,y=\frac{1}{2}$计算：
原式$=1^2 - 2×\frac{1}{2}=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
平方差公式、整式除法运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查整式混合运算的规则，解题时要牢记各类运算法则，注意合并同类项时的符号判断，代入数值计算时要细心避免计算失误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，遵循先化简再代值的解题思路：第一步先处理整式乘除运算，首先用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，再根据多项式除以单项式的法则计算$(xy^2 - 2xy)÷x$；第二步合并同类项得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 利用平方差公式计算乘法项：
$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
2. 计算多项式除以单项式项，将多项式每一项分别除以x：
$(xy^2 - 2xy)÷x = xy^2÷x - 2xy÷x = y^2 - 2y$
3. 合并两项结果，消去同类项$-y^2$和$+y^2$：
原式$=x^2 - y^2 + y^2 - 2y = x^2 - 2y$
4. 代入$x=1,y=\frac{1}{2}$计算：
原式$=1^2 - 2×\frac{1}{2}=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
平方差公式、整式除法运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查整式混合运算的规则，解题时要牢记各类运算法则，注意合并同类项时的符号判断，代入数值计算时要细心避免计算失误。
【难度系数】
0.8
12.如图，$△ ABC$的面积为8，$AP$与$∠ ABC$的平分线$BP$垂直，垂足为$P$，连接$PC$，则$△ PBC$的面积为（
A.4
B.3.5
C.3
D.4.5
A
）A.4
B.3.5
C.3
D.4.5
答案
12.A
解析
【分析】
遇到角平分线与边上的高重合的条件时，可通过延长垂线构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，结合BP是角平分线、BP⊥AP的条件，证明△ABP和△DBP全等，得到P是AD中点；再根据等底同高的三角形面积相等，可推出△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=PD，即P为AD的中点。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=8$，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
A
【知识点】
1.角平分线的定义
2.全等三角形的判定与性质
3.等底同高三角形面积关系
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，解题核心是利用“角平分线+垂线”的特征构造全等三角形，得到线段中点后转化面积关系，很好地考查了几何构造思维和面积转化能力。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线与边上的高重合的条件时，可通过延长垂线构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，结合BP是角平分线、BP⊥AP的条件，证明△ABP和△DBP全等，得到P是AD中点；再根据等底同高的三角形面积相等，可推出△PBC的面积是△ABC面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=PD，即P为AD的中点。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=8$，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
A
【知识点】
1.角平分线的定义
2.全等三角形的判定与性质
3.等底同高三角形面积关系
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，解题核心是利用“角平分线+垂线”的特征构造全等三角形，得到线段中点后转化面积关系，很好地考查了几何构造思维和面积转化能力。
【难度系数】
0.7
