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13.如图，已知$AB// CD$，$BE$，$DE$的交点为$E$，现作如下操作：第1次操作，分别作$∠ ABE$和$∠ CDE$的平分线，交点为$E_1$；第2次操作，分别作$∠ ABE_1$和$∠ CDE_1$的平分线，交点为$E_2$；第3次操作，分别作$∠ ABE_2$和$∠ CDE_2$的平分线，交点为$E_3$……第$n(n≥2)$次操作，分别作$∠ ABE_{n-1}$和$∠ CDE_{n-1}$的平分线，交点为$E_n$。
(1)若$∠ BED=120°$，则$∠ BE_1D=$$°$；
(2)猜想：若$∠ BED=α°$，则$∠ BE_nD=$$°$。
(1)若$∠ BED=120°$，则$∠ BE_1D=$$°$；
(2)猜想：若$∠ BED=α°$，则$∠ BE_nD=$$°$。
答案
13.(1)60 (2)$\frac{α}{2^n}$
解析
【分析】
解决本题首先要用到平行线拐点问题的核心结论：过拐点作平行线，可得拐点处的角等于平行线被截得的两个内错角之和，即$∠BED=∠ABE+∠CDE$。再结合角平分线的性质，可推出每次操作后新的交点处的角是前一次拐点角的$\frac{1}{2}$，最后通过归纳规律得到第n次操作后的角度。
【解析】
首先过点E作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$，
$\therefore ∠ABE=∠BEF$，$∠CDE=∠DEF$，
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE$。
(1) $\because BE_1$平分$∠ABE$，$DE_1$平分$∠CDE$，
$\therefore ∠ABE_1=\frac{1}{2}∠ABE$，$∠CDE_1=\frac{1}{2}∠CDE$，
同理可得$∠BE_1D=∠ABE_1+∠CDE_1=\frac{1}{2}(∠ABE+∠CDE)=\frac{1}{2}∠BED$，
代入$∠BED=120°$，得$∠BE_1D=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 由(1)的规律可知：
第2次操作后，$∠BE_2D=\frac{1}{2}∠BE_1D=\frac{1}{2^2}∠BED$，
第3次操作后，$∠BE_3D=\frac{1}{2}∠BE_2D=\frac{1}{2^3}∠BED$，
……
以此类推，第n次操作后，$∠BE_nD=\frac{1}{2^n}∠BED$，
当$∠BED=α°$时，$∠BE_nD=\frac{α}{2^n}°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{\frac{α}{2^n}}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题是几何规律探究类题型，核心是先利用平行线性质和角平分线定义得到第一次操作后角的数量关系，再通过归纳推理得到一般结论，需要学生具备一定的逻辑推导和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要用到平行线拐点问题的核心结论：过拐点作平行线，可得拐点处的角等于平行线被截得的两个内错角之和，即$∠BED=∠ABE+∠CDE$。再结合角平分线的性质，可推出每次操作后新的交点处的角是前一次拐点角的$\frac{1}{2}$，最后通过归纳规律得到第n次操作后的角度。
【解析】
首先过点E作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$，
$\therefore ∠ABE=∠BEF$，$∠CDE=∠DEF$，
$\therefore ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE$。
(1) $\because BE_1$平分$∠ABE$，$DE_1$平分$∠CDE$，
$\therefore ∠ABE_1=\frac{1}{2}∠ABE$，$∠CDE_1=\frac{1}{2}∠CDE$，
同理可得$∠BE_1D=∠ABE_1+∠CDE_1=\frac{1}{2}(∠ABE+∠CDE)=\frac{1}{2}∠BED$，
代入$∠BED=120°$，得$∠BE_1D=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 由(1)的规律可知：
第2次操作后，$∠BE_2D=\frac{1}{2}∠BE_1D=\frac{1}{2^2}∠BED$，
第3次操作后，$∠BE_3D=\frac{1}{2}∠BE_2D=\frac{1}{2^3}∠BED$，
……
以此类推，第n次操作后，$∠BE_nD=\frac{1}{2^n}∠BED$，
当$∠BED=α°$时，$∠BE_nD=\frac{α}{2^n}°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{\frac{α}{2^n}}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题是几何规律探究类题型，核心是先利用平行线性质和角平分线定义得到第一次操作后角的数量关系，再通过归纳推理得到一般结论，需要学生具备一定的逻辑推导和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
14.某同学用若干个长为m、宽为n的小长方形砖块(如图①)拼成不同的大长方形，图②、图③和图④是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙。根据图示回答下列问题：
(1)求图②中的空白部分的面积;(用含m,n的代数式表示)
(2)求图④中的空白部分的面积;(用含m,n的代数式表示)
(3)若图②和图③中的空白部分的面积分别为38,136,求图①中的小长方形砖块的面积。
(1)求图②中的空白部分的面积;(用含m,n的代数式表示)
(2)求图④中的空白部分的面积;(用含m,n的代数式表示)
(3)若图②和图③中的空白部分的面积分别为38,136,求图①中的小长方形砖块的面积。
答案
14.解:(1)题图②中的空白部分的面积=$(m+n)^2 - 3mn = m^2 - mn + n^2$。
(2)题图④中的空白部分的面积=$(3m+n)(2n+m) -7mn =6mn +3m^2 +2n^2 +mn -7mn=3m^2 +2n^2$。
(3)题图③中的空白部分的面积=$(2m+n)(m+2n)-5mn=2m^2 +2n^2=136$，
因为题图②中的空白部分的面积为$m^2 - mn +n^2=38$,所以$mn=30$。所以题图①中的小长方形砖块的面积为30。
(2)题图④中的空白部分的面积=$(3m+n)(2n+m) -7mn =6mn +3m^2 +2n^2 +mn -7mn=3m^2 +2n^2$。
(3)题图③中的空白部分的面积=$(2m+n)(m+2n)-5mn=2m^2 +2n^2=136$，
因为题图②中的空白部分的面积为$m^2 - mn +n^2=38$,所以$mn=30$。所以题图①中的小长方形砖块的面积为30。
解析
【分析】
解决这类拼合图形的面积问题，常用“整体面积减去阴影部分面积”的思路求空白面积：
1. 第(1)问：先确定图②中大正方形的边长，计算整体面积，再减去3个小长方形的总面积即可得到空白面积；
2. 第(2)问：先确定图④中大长方形的长和宽，计算整体面积，再减去7个小长方形的总面积，化简后得到空白面积；
3. 第(3)问：先同理求出图③空白面积的代数式，结合已知的图②、图③空白面积的数值，联立代数式即可求出小长方形的面积$mn$。
【解析】
(1) 观察图②可知，拼成的大图形是边长为$(m+n)$的正方形，整体面积为$(m+n)^2$，阴影部分是3个小长方形，总面积为$3mn$。
空白部分面积 = 整体面积 - 阴影面积，即：
$(m+n)^2 - 3mn = m^2 + 2mn + n^2 - 3mn = m^2 - mn + n^2$
(2) 观察图④可知，拼成的大长方形的长为$(3m+n)$，宽为$(m+2n)$，整体面积为$(3m+n)(m+2n)$，阴影部分是7个小长方形，总面积为$7mn$。
空白部分面积为：
$(3m+n)(m+2n) -7mn = 3m^2 +6mn +mn +2n^2 -7mn = 3m^2 +2n^2$
(3) 先求图③的空白面积：观察图③，拼成的大长方形长为$(2m+n)$，宽为$(m+2n)$，整体面积为$(2m+n)(m+2n)$，阴影部分是5个小长方形，总面积为$5mn$。
所以图③空白面积为：
$(2m+n)(m+2n)-5mn = 2m^2 +4mn +mn +2n^2 -5mn = 2m^2 +2n^2$
由题意得$2m^2 +2n^2 =136$，化简得$m^2 +n^2 =68$。
又已知图②空白面积$m^2 - mn +n^2 =38$，将$m^2 +n^2 =68$代入得：
$68 - mn =38$，解得$mn=30$。
即小长方形砖块的面积为30。
【答案】
(1) $m^2 - mn + n^2$
(2) $3m^2 + 2n^2$
(3) $30$
【知识点】
列代数式，整式的混合运算，代数式求值
【点评】
本题以图形拼合为背景，考查整式运算的实际应用，核心是掌握“整体减部分”的面积计算方法，需要学生具备一定的读图能力，能准确提取图形中边长的关系，同时熟练掌握整式乘法和合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.6
解决这类拼合图形的面积问题，常用“整体面积减去阴影部分面积”的思路求空白面积：
1. 第(1)问：先确定图②中大正方形的边长，计算整体面积，再减去3个小长方形的总面积即可得到空白面积；
2. 第(2)问：先确定图④中大长方形的长和宽，计算整体面积，再减去7个小长方形的总面积，化简后得到空白面积；
3. 第(3)问：先同理求出图③空白面积的代数式，结合已知的图②、图③空白面积的数值，联立代数式即可求出小长方形的面积$mn$。
【解析】
(1) 观察图②可知，拼成的大图形是边长为$(m+n)$的正方形，整体面积为$(m+n)^2$，阴影部分是3个小长方形，总面积为$3mn$。
空白部分面积 = 整体面积 - 阴影面积，即：
$(m+n)^2 - 3mn = m^2 + 2mn + n^2 - 3mn = m^2 - mn + n^2$
(2) 观察图④可知，拼成的大长方形的长为$(3m+n)$，宽为$(m+2n)$，整体面积为$(3m+n)(m+2n)$，阴影部分是7个小长方形，总面积为$7mn$。
空白部分面积为：
$(3m+n)(m+2n) -7mn = 3m^2 +6mn +mn +2n^2 -7mn = 3m^2 +2n^2$
(3) 先求图③的空白面积：观察图③，拼成的大长方形长为$(2m+n)$，宽为$(m+2n)$，整体面积为$(2m+n)(m+2n)$，阴影部分是5个小长方形，总面积为$5mn$。
所以图③空白面积为：
$(2m+n)(m+2n)-5mn = 2m^2 +4mn +mn +2n^2 -5mn = 2m^2 +2n^2$
由题意得$2m^2 +2n^2 =136$，化简得$m^2 +n^2 =68$。
又已知图②空白面积$m^2 - mn +n^2 =38$，将$m^2 +n^2 =68$代入得：
$68 - mn =38$，解得$mn=30$。
即小长方形砖块的面积为30。
【答案】
(1) $m^2 - mn + n^2$
(2) $3m^2 + 2n^2$
(3) $30$
【知识点】
列代数式，整式的混合运算，代数式求值
【点评】
本题以图形拼合为背景，考查整式运算的实际应用，核心是掌握“整体减部分”的面积计算方法，需要学生具备一定的读图能力，能准确提取图形中边长的关系，同时熟练掌握整式乘法和合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.6
15.[新定义]若α和β均为大于0°且小于180°的角，又|α−β|=60°，则称α和β互为“伙伴角”。如图，将一张长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在点B'处，若∠1与∠2互为“伙伴角”，则∠3的度数为
$40°$或$80°$
。答案
15.$40°$或$80°$
解析
【分析】
首先根据折叠的性质可得∠1=∠3；再结合平角为180°，可得∠1+∠3+∠2=180°，整理得2∠3+∠2=180°；最后根据“伙伴角”的定义得到|∠1-∠2|=60°，将∠1替换为∠3后，绝对值方程需要分两种情况讨论，分别代入求解并验证角度是否符合要求即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知：$∠ 1=∠ 3$。
∵点$P$在线段$BC$上，$∠ BPC$是平角，
∴$∠ 1+∠ 3+∠ 2=180°$，即$2∠ 3+∠ 2=180°$ ①。
根据“伙伴角”的定义：$|∠ 1-∠ 2|=60°$，结合$∠ 1=∠ 3$得：$|∠ 3-∠ 2|=60°$，分两种情况讨论：
1. 当$∠ 2-∠ 3=60°$时，$∠ 2=∠ 3+60°$，代入①式得：
$2∠ 3+∠ 3+60°=180°$，解得$∠ 3=40°$，此时所有角度均满足大于$0°$小于$180°$，符合要求；
2. 当$∠ 3-∠ 2=60°$时，$∠ 2=∠ 3-60°$，代入①式得：
$2∠ 3+∠ 3-60°=180°$，解得$∠ 3=80°$，此时所有角度均满足大于$0°$小于$180°$，符合要求。
综上，$∠ 3$的度数为$40°$或$80°$。
【答案】
$40°$或$80°$
【知识点】
1.折叠的性质 2.平角的定义 3.新定义理解
【点评】
本题将新定义和图形折叠结合考察角度计算，解题核心是利用折叠得到相等的角，再结合平角关系建立方程，需要注意绝对值条件对应两种情况，避免漏解，考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先根据折叠的性质可得∠1=∠3；再结合平角为180°，可得∠1+∠3+∠2=180°，整理得2∠3+∠2=180°；最后根据“伙伴角”的定义得到|∠1-∠2|=60°，将∠1替换为∠3后，绝对值方程需要分两种情况讨论，分别代入求解并验证角度是否符合要求即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知：$∠ 1=∠ 3$。
∵点$P$在线段$BC$上，$∠ BPC$是平角，
∴$∠ 1+∠ 3+∠ 2=180°$，即$2∠ 3+∠ 2=180°$ ①。
根据“伙伴角”的定义：$|∠ 1-∠ 2|=60°$，结合$∠ 1=∠ 3$得：$|∠ 3-∠ 2|=60°$，分两种情况讨论：
1. 当$∠ 2-∠ 3=60°$时，$∠ 2=∠ 3+60°$，代入①式得：
$2∠ 3+∠ 3+60°=180°$，解得$∠ 3=40°$，此时所有角度均满足大于$0°$小于$180°$，符合要求；
2. 当$∠ 3-∠ 2=60°$时，$∠ 2=∠ 3-60°$，代入①式得：
$2∠ 3+∠ 3-60°=180°$，解得$∠ 3=80°$，此时所有角度均满足大于$0°$小于$180°$，符合要求。
综上，$∠ 3$的度数为$40°$或$80°$。
【答案】
$40°$或$80°$
【知识点】
1.折叠的性质 2.平角的定义 3.新定义理解
【点评】
本题将新定义和图形折叠结合考察角度计算，解题核心是利用折叠得到相等的角，再结合平角关系建立方程，需要注意绝对值条件对应两种情况，避免漏解，考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
