登录
1.若一个正多边形的每一个外角都等于$45°$,则这个正多边形的边数为 （
A.8
B.9
C.10
D.12
A
）A.8
B.9
C.10
D.12
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是任意多边形的外角和都是固定的360°；二是正多边形的所有外角大小都相等。要求正多边形的边数，只需要用外角和除以单个外角的度数即可，这是最直接的解题思路，不需要额外计算内角，用外角和求解更简便。
【解析】
∵ 任意多边形的外角和恒为$360°$，且正多边形的每一个外角都相等，
∴ 正多边形的边数$n = \frac{\mathrm{外角和}}{\mathrm{单个外角的度数}}$
将外角和$360°$、单个外角度数$45°$代入得：
$n = 360° ÷ 45° = 8$
因此这个正多边形的边数是8，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是牢记多边形外角和为固定值360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速求解，避免走计算内角的弯路。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆两个核心知识点：一是任意多边形的外角和都是固定的360°；二是正多边形的所有外角大小都相等。要求正多边形的边数，只需要用外角和除以单个外角的度数即可，这是最直接的解题思路，不需要额外计算内角，用外角和求解更简便。
【解析】
∵ 任意多边形的外角和恒为$360°$，且正多边形的每一个外角都相等，
∴ 正多边形的边数$n = \frac{\mathrm{外角和}}{\mathrm{单个外角的度数}}$
将外角和$360°$、单个外角度数$45°$代入得：
$n = 360° ÷ 45° = 8$
因此这个正多边形的边数是8，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是牢记多边形外角和为固定值360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速求解，避免走计算内角的弯路。
【难度系数】
0.9
2. [2025·安庆太湖期末]从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为 （
A.4
B.5
C.6
D.7
A
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
2.A
解析
【分析】
解题前先明确对角线的定义：对角线是连接多边形不相邻两个顶点的线段。从n边形的一个顶点出发，首先不能和自身连接，其次不能和相邻的2个顶点连接（连接相邻顶点得到的是多边形的边，不是对角线），因此需要从总顶点数n里减去这3个不能连接的顶点，得到从一个顶点出发的对角线条数公式为n-3。本题是七边形，即n=7，代入公式即可求出结果。
【解析】
根据多边形对角线的相关规律，从n边形的一个顶点出发，最多可画的对角线条数为(n-3)条。已知该多边形为七边形，即n=7，代入计算得：$7-3=4$（条），因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.多边形对角线的定义
2.多边形对角线条数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对多边形对角线规律的理解与应用，解题的关键是牢记从n边形一个顶点出发的对角线条数为n-3，计算时注意不要漏减自身及相邻两个顶点。
【难度系数】
0.8
解题前先明确对角线的定义：对角线是连接多边形不相邻两个顶点的线段。从n边形的一个顶点出发，首先不能和自身连接，其次不能和相邻的2个顶点连接（连接相邻顶点得到的是多边形的边，不是对角线），因此需要从总顶点数n里减去这3个不能连接的顶点，得到从一个顶点出发的对角线条数公式为n-3。本题是七边形，即n=7，代入公式即可求出结果。
【解析】
根据多边形对角线的相关规律，从n边形的一个顶点出发，最多可画的对角线条数为(n-3)条。已知该多边形为七边形，即n=7，代入计算得：$7-3=4$（条），因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.多边形对角线的定义
2.多边形对角线条数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对多边形对角线规律的理解与应用，解题的关键是牢记从n边形一个顶点出发的对角线条数为n-3，计算时注意不要漏减自身及相邻两个顶点。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,对角线AC,BD相交于点O.添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是 (
A.$AD// BC$
B.$AD=BC$
C.$AB=CD$
D.$AO=CO$
B
)A.$AD// BC$
B.$AD=BC$
C.$AB=CD$
D.$AO=CO$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题思路如下：首先明确已知条件为AB//CD，结合平行四边形的判定定理，逐一验证每个选项是否能推出四边形ABCD是平行四边形，注意判断时要考虑是否存在反例不符合平行四边形的特征。
【解析】
已知四边形ABCD中AB//CD，对各选项分析如下：
1. 选项A：添加AD//BC，此时四边形两组对边分别平行，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定ABCD是平行四边形，不符合题意；
2. 选项B：添加AD=BC，此时四边形既可能是平行四边形，也可能是等腰梯形（等腰梯形满足一组对边平行、另一组对边相等），无法判定一定是平行四边形，符合题意；
3. 选项C：添加AB=CD，已知AB//CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定ABCD是平行四边形，不符合题意；
4. 选项D：添加AO=CO，
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），AO=CO，
∴△AOB≌△COD（ASA），可得AB=CD，结合AB//CD，可判定ABCD是平行四边形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，尤其要注意：仅一组对边平行、另一组对边相等无法判定平行四边形，等腰梯形是该情况的典型反例，学习时要注意区分易混的判定条件。
【难度系数】
0.7
本题考查平行四边形的判定，解题思路如下：首先明确已知条件为AB//CD，结合平行四边形的判定定理，逐一验证每个选项是否能推出四边形ABCD是平行四边形，注意判断时要考虑是否存在反例不符合平行四边形的特征。
【解析】
已知四边形ABCD中AB//CD，对各选项分析如下：
1. 选项A：添加AD//BC，此时四边形两组对边分别平行，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定ABCD是平行四边形，不符合题意；
2. 选项B：添加AD=BC，此时四边形既可能是平行四边形，也可能是等腰梯形（等腰梯形满足一组对边平行、另一组对边相等），无法判定一定是平行四边形，符合题意；
3. 选项C：添加AB=CD，已知AB//CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定ABCD是平行四边形，不符合题意；
4. 选项D：添加AO=CO，
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），AO=CO，
∴△AOB≌△COD（ASA），可得AB=CD，结合AB//CD，可判定ABCD是平行四边形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，尤其要注意：仅一组对边平行、另一组对边相等无法判定平行四边形，等腰梯形是该情况的典型反例，学习时要注意区分易混的判定条件。
【难度系数】
0.7
4. 如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O.若AC=2AB,∠BAO=94°,则∠AOD的度数为________.
答案
4.137°
解析
【分析】
首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可得AC=2AO，结合已知条件AC=2AB，可推出AO=AB，即△ABO为等腰三角形。已知等腰△ABO的顶角∠BAO=94°，可先计算出底角∠AOB的度数，再根据∠AOB与∠AOD互为邻补角，二者和为180°，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角线互相平分
∴AC=2AO
又
∵AC=2AB
∴AO=AB，即△ABO是等腰三角形
在△ABO中，∠BAO=94°，根据三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等：
$∠ AOB=\frac{180°-∠ BAO}{2}=\frac{180°-94°}{2}=43°$
∵B、O、D三点共线，∠AOB与∠AOD互为邻补角
∴$∠ AOD=180°-∠ AOB=180°-43°=137°$
【答案】
$137°$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；邻补角计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过平行四边形的性质推导得到等腰三角形，再结合三角形内角和、邻补角的角度关系求解，解题关键是建立已知条件和待求角度之间的关联。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可得AC=2AO，结合已知条件AC=2AB，可推出AO=AB，即△ABO为等腰三角形。已知等腰△ABO的顶角∠BAO=94°，可先计算出底角∠AOB的度数，再根据∠AOB与∠AOD互为邻补角，二者和为180°，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角线互相平分
∴AC=2AO
又
∵AC=2AB
∴AO=AB，即△ABO是等腰三角形
在△ABO中，∠BAO=94°，根据三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等：
$∠ AOB=\frac{180°-∠ BAO}{2}=\frac{180°-94°}{2}=43°$
∵B、O、D三点共线，∠AOB与∠AOD互为邻补角
∴$∠ AOD=180°-∠ AOB=180°-43°=137°$
【答案】
$137°$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；邻补角计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过平行四边形的性质推导得到等腰三角形，再结合三角形内角和、邻补角的角度关系求解，解题关键是建立已知条件和待求角度之间的关联。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$AF⊥ CD$于点$F$。若$AE=4$，$AF=6$，且$□ ABCD$的周长为40，则$□ ABCD$的面积为________。
答案
5.48
解析
【分析】
要计算平行四边形的面积，已知两条高的长度，只需求出对应底的长度即可。首先根据平行四边形周长公式，可得到邻边BC和CD的和；再根据平行四边形面积的两种计算方式（底乘对应高），得到BC和CD的数量关系，联立两个关系即可求出底边长，进而求出面积。
【解析】
解：
∵平行四边形ABCD的周长为40
∴2(BC + CD) = 40，即 $BC + CD = 20$
设BC的长度为$x$，则CD的长度为$20-x$
∵平行四边形的面积=底×对应高
∴$S_{▱ABCD} = AE·BC = AF·CD$
已知$AE=4$，$AF=6$，代入得：
$4x = 6(20 - x)$
展开得：$4x = 120 - 6x$
移项合并同类项得：$10x = 120$
解得：$x = 12$
∴平行四边形的面积$S = AE·BC = 4×12 = 48$
【答案】
48
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行四边形面积相关的典型题型，核心是利用平行四边形面积的两种表示方法建立邻边的等量关系，结合周长条件求解边长，考查了等面积法和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
要计算平行四边形的面积，已知两条高的长度，只需求出对应底的长度即可。首先根据平行四边形周长公式，可得到邻边BC和CD的和；再根据平行四边形面积的两种计算方式（底乘对应高），得到BC和CD的数量关系，联立两个关系即可求出底边长，进而求出面积。
【解析】
解：
∵平行四边形ABCD的周长为40
∴2(BC + CD) = 40，即 $BC + CD = 20$
设BC的长度为$x$，则CD的长度为$20-x$
∵平行四边形的面积=底×对应高
∴$S_{▱ABCD} = AE·BC = AF·CD$
已知$AE=4$，$AF=6$，代入得：
$4x = 6(20 - x)$
展开得：$4x = 120 - 6x$
移项合并同类项得：$10x = 120$
解得：$x = 12$
∴平行四边形的面积$S = AE·BC = 4×12 = 48$
【答案】
48
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行四边形面积相关的典型题型，核心是利用平行四边形面积的两种表示方法建立邻边的等量关系，结合周长条件求解边长，考查了等面积法和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点.若AD=BC,∠PEF=30°,则∠EPF的度数是________.
答案
6.120°
解析
【分析】
题目中存在多个中点，优先考虑运用三角形中位线定理求解。首先在△ABD和△BCD中，分别找到PE、PF两条中位线，利用中位线等于第三边一半的性质，结合已知AD=BC推导出PE=PF，确定△PEF为等腰三角形，再根据等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可计算出∠EPF的度数。
【解析】
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PE=\frac{1}{2}AD$。
同理，P是BD的中点，F是CD的中点，
∴PF是△BCD的中位线，可得：$PF=\frac{1}{2}BC$。
已知$AD=BC$，
∴$PE=PF$，即△PEF是等腰三角形，
∴$∠ PFE=∠ PEF=30°$。
根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ EPF=180° - ∠ PEF - ∠ PFE=180° - 30° - 30°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题核心是通过中点条件识别出中位线，得到线段相等关系，再结合等腰三角形性质和内角和公式求解，掌握中位线定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
题目中存在多个中点，优先考虑运用三角形中位线定理求解。首先在△ABD和△BCD中，分别找到PE、PF两条中位线，利用中位线等于第三边一半的性质，结合已知AD=BC推导出PE=PF，确定△PEF为等腰三角形，再根据等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可计算出∠EPF的度数。
【解析】
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PE=\frac{1}{2}AD$。
同理，P是BD的中点，F是CD的中点，
∴PF是△BCD的中位线，可得：$PF=\frac{1}{2}BC$。
已知$AD=BC$，
∴$PE=PF$，即△PEF是等腰三角形，
∴$∠ PFE=∠ PEF=30°$。
根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ EPF=180° - ∠ PEF - ∠ PFE=180° - 30° - 30°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题核心是通过中点条件识别出中位线，得到线段相等关系，再结合等腰三角形性质和内角和公式求解，掌握中位线定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$□ ABCD$中,$E,F$分别是$AD,BC$上的点,且$DE=BF$,分别过点$E,F$作$EG ⊥ BD$,$FH ⊥ BD$,垂足分别为点$G,H$,连接$EH,FG$.请判断四边形$HFGE$的形状并说明理由.
答案
解:四边形 HFGE 是平行四边形. 理由:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠EDG=∠FBH.
∵EG⊥BD,FH⊥BD,
∴∠DGE=∠BHF=90°,且 EG//FH. 又
∵DE=BF,
∴△DEG≌△BFH(AAS),
∴EG=FH,
∴四边形 HFGE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠EDG=∠FBH.
∵EG⊥BD,FH⊥BD,
∴∠DGE=∠BHF=90°,且 EG//FH. 又
∵DE=BF,
∴△DEG≌△BFH(AAS),
∴EG=FH,
∴四边形 HFGE 是平行四边形.
解析
【分析】
要判断四边形HFGE的形状，首先观察已知条件：EG和FH都垂直于BD，可先推出EG与FH平行，接下来只需证明这组对边相等即可判定它是平行四边形。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，推出∠EDG和∠FBH相等，结合已知的DE=BF、两个直角相等，可证明△DEG和△BFH全等，从而得到EG=FH，最后根据平行四边形的判定定理得出结论。
【解析】
四边形HFGE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EDG=∠FBH。
∵EG⊥BD，FH⊥BD，
∴∠DGE=∠BHF=90°，且EG//FH（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
又
∵DE=BF，
∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴EG=FH，
又
∵EG//FH，
∴四边形HFGE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形HFGE是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定（AAS）；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的核心是先找到一组平行的对边，再通过三角形全等证明这组对边相等，进而利用平行四边形的判定定理得出结论，解题思路清晰，是平行四边形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
要判断四边形HFGE的形状，首先观察已知条件：EG和FH都垂直于BD，可先推出EG与FH平行，接下来只需证明这组对边相等即可判定它是平行四边形。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，推出∠EDG和∠FBH相等，结合已知的DE=BF、两个直角相等，可证明△DEG和△BFH全等，从而得到EG=FH，最后根据平行四边形的判定定理得出结论。
【解析】
四边形HFGE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EDG=∠FBH。
∵EG⊥BD，FH⊥BD，
∴∠DGE=∠BHF=90°，且EG//FH（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
又
∵DE=BF，
∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴EG=FH，
又
∵EG//FH，
∴四边形HFGE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形HFGE是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定（AAS）；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的核心是先找到一组平行的对边，再通过三角形全等证明这组对边相等，进而利用平行四边形的判定定理得出结论，解题思路清晰，是平行四边形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
