11. 在平面直角坐标系中,已知点$O(0,0),A(1,-2),B(3,1)$.若以$A,B,C,O$为顶点的四边形是平行四边形,则点$C$不可能在第________象限.

11.二

【分析】
要确定点C不可能在的象限，首先明确四个点构成平行四边形时未指定顶点顺序，需分3种情况讨论：分别将线段OA、OB、AB作为平行四边形的对角线，结合平行四边形“对角线互相平分”的性质，利用中点坐标公式求出对应C点的坐标，再判断各C点所在象限即可。
【解析】
已知点$O(0,0)$，$A(1,-2)$，$B(3,1)$，设点C坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时，AB与OC互相平分，即两者中点重合：
AB中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{-2+1}{2})=(2,-\frac{1}{2})$，
则OC中点也为$(2,-\frac{1}{2})$，可得$\frac{0+x}{2}=2$，$\frac{0+y}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$x=4$，$y=-1$，即$C(4,-1)$，在第四象限；
2. 当OA为平行四边形的对角线时，OA与BC互相平分：
OA中点坐标为$(\frac{1+0}{2},\frac{-2+0}{2})=(\frac{1}{2},-1)$，
则BC中点也为$(\frac{1}{2},-1)$，可得$\frac{3+x}{2}=\frac{1}{2}$，$\frac{1+y}{2}=-1$，解得$x=-2$，$y=-3$，即$C(-2,-3)$，在第三象限；
3. 当OB为平行四边形的对角线时，OB与AC互相平分：
OB中点坐标为$(\frac{3+0}{2},\frac{1+0}{2})=(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$，
则AC中点也为$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$，可得$\frac{1+x}{2}=\frac{3}{2}$，$\frac{-2+y}{2}=\frac{1}{2}$，解得$x=2$，$y=3$，即$C(2,3)$，在第一象限。
综上，点C可能在第一、三、四象限，不可能在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
平行四边形的性质，坐标与图形性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查平行四边形性质的灵活运用，解题的核心是未明确平行四边形顶点顺序时，需分三种对角线情况讨论，避免漏解，结合中点坐标公式即可快速求出对应点坐标判断象限，是平面直角坐标系和平行四边形结合的典型题型。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 是对角线,AC=AD,点 E 在边 BC 上,AB=AE,∠BAE=∠CAD,连接 DE.
(1)求证:BC=DE;
(2)当 AC=BC 时,求证:四边形 ABCD 是平行四边形.

12.证明:(1)易证$△ ABC≌ △ AED,\therefore BC=DE.$
(2)由(1)可知,$∠ B=∠ AED,BC=DE,AC=AD$.又$\because AC=BC,\therefore BC=AD=DE,\therefore ∠ EAD=∠ AED=∠ B. \because AB=AE,\therefore ∠ AEB=∠ B,\therefore ∠ EAD=∠ AEB,\therefore AD// BC,\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.

【分析】
(1) 要证BC=DE，可通过证明两条边所在的三角形全等推导。首先由已知∠BAE=∠CAD，两个角同时加公共角∠EAC，即可得到△ABC和△AED的一组对应等角，再结合给出的AB=AE、AC=AD的边相等条件，用SAS判定两三角形全等，即可得到对应边BC=DE。
(2) 要证四边形ABCD是平行四边形，已知AC=AD且AC=BC，可先推出BC=AD，接下来只需证AD//BC即可。结合第一问全等的结论和等腰三角形等边对等角的性质，推导得到内错角∠EAD=∠AEB，即可证明AD//BC，最终由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAE=∠ CAD$
∴ $∠ BAE+∠ EAC=∠ CAD+∠ EAC$，即$∠ BAC=∠ EAD$
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB=AE \\∠ BAC=∠ EAD \\AC=AD\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$
∴ $BC=DE$
(2) 证明：
由(1)得$△ ABC≌△ AED$，
∴ $∠ B=∠ AED$，$BC=DE$
∵ $AC=AD$，$AC=BC$
∴ $BC=AD=DE$
∴ $∠ EAD=∠ AED=∠ B$
∵ $AB=AE$
∴ $∠ AEB=∠ B$
∴ $∠ EAD=∠ AEB$
∴ $AD// BC$（内错角相等，两直线平行）
又
∵ $BC=AD$
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【答案】
(1) 已证$△ ABC≌△ AED$，$\therefore BC=DE$；
(2) 已证$AD// BC$且$BC=AD$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，将三角形全等、等腰三角形性质和平行四边形判定结合考察，解题的关键是通过角的和差关系推导全等所需的等角条件，再结合角的等量代换得到线平行的关系，有助于锻炼几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在四边形ABCD中,M,N,E,F分别为AD,BC,BD,AC的中点.求证:MN与EF互相平分.

13.解:如图,连接$ME,EN,NF,MF. \because M,N,E,F$分别为$AD,BC,BD,AC$的中点,$\therefore ME// AB$ 且$ME=\frac{1}{2}AB,NF// AB$ 且$NF=\frac{1}{2}AB,\therefore ME// NF$ 且$ME=NF,\therefore$四边形$MENF$是平行四边形,$\therefore MN$与$EF$互相平分.

【分析】
要证明两条线段互相平分，可利用平行四边形对角线互相平分的性质，因此只需证明MN和EF是某个平行四边形的对角线即可。题目给出多个中点，可借助三角形中位线定理得到平行且相等的线段，从而证明以M、E、N、F为顶点的四边形是平行四边形，进而得到结论。
【解析】
证明：如图，连接$ME,EN,NF,MF$。
$\because M,N,E,F$分别为$AD,BC,BD,AC$的中点，
$\therefore ME$是$△ ABD$的中位线，$NF$是$△ ABC$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$ME// AB$ 且$ME=\frac{1}{2}AB$，$NF// AB$ 且$NF=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore ME// NF$ 且$ME=NF$，
$\therefore$四边形$MENF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
$\therefore MN$与$EF$互相平分（平行四边形的对角线互相平分）。
【答案】
解:如图,连接$ME,EN,NF,MF. \because M,N,E,F$分别为$AD,BC,BD,AC$的中点,$\therefore ME// AB$ 且$ME=\frac{1}{2}AB,NF// AB$ 且$NF=\frac{1}{2}AB,\therefore ME// NF$ 且$ME=NF,\therefore$四边形$MENF$是平行四边形,$\therefore MN$与$EF$互相平分.
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是三角形中位线与平行四边形知识的综合应用，解题关键是通过连接辅助线构造三角形中位线，得到平行且相等的对边完成平行四边形的证明，熟练掌握相关定理和辅助线构造技巧可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7