7. [2025·盐城中考]如图,点 E,F 在$□ ABCD$ 的对角线AC 上.若,则四边形 BEDF 是平行四边形.请从“①$BE=DF$;②$AE=CF$;③$BE// DF$”这 3 个选项中选择 1 个作为条件(将序号填在横线处),使结论成立,并说明理由.

7.解:③(答案不唯一).理由:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore CB// AD,CB=AD,\therefore ∠ BCE=∠ DAF.\because BE// DF,\therefore ∠ CEB=∠ AFD,\therefore △ CBE≌ △ ADF(AAS),\therefore BE=DF,\therefore$四边形$BEDF$是平行四边形.

【分析】
要判断添加哪个条件可推出四边形BEDF是平行四边形，首先回忆平行四边形的判定定理，结合已知平行四边形ABCD的性质分析：
平行四边形ABCD中，可得BC=AD，BC//AD，因此∠BCE=∠DAF。若选择条件③BE//DF，我们可以先证明BE和DF不仅平行还相等，即可用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定结论。要证BE=DF，可证△CBE和△ADF全等，结合BE//DF得到的∠CEB=∠AFD，加上已有的角和边相等的条件，用AAS即可证明全等，进而得到BE=DF，推导出结论。（注：选②也可成立，可通过对角线互相平分证明）
【解析】
选③，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB//AD，CB=AD，
∴∠BCE=∠DAF。
∵BE//DF，
∴∠CEB=∠AFD。
在△CBE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠ CEB=∠ AFD\\ ∠ BCE=∠ DAF\\ CB=AD\end{array} $
∴△CBE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
又
∵BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形。
【答案】
③（答案不唯一，选②也可）
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于开放性填空题，考查平行四边形的性质与判定的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理，结合已知条件选择合适的条件进行推导即可。
【难度系数】
0.7

8. 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 F,交 BC 的延长线于点 E.
(1)求证:BE=CD;
(2)连接 BF,AC,DE,当 BF⊥AE 时,求证:四边形 ACED 是平行四边形.

8.证明:(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB=CD,AD// BC. \because AE$平分$∠ BAD,\therefore ∠ EAB=∠ EAD=∠ AEB,\therefore AB=BE,\therefore BE=CD.$
(2)由(1)知$BA=BE. \because BF⊥ AE,\therefore AF=EF. \because AD// CE,\therefore ∠ DAF=∠ CEF$,易证$△ ADF≌ △ ECF$,$\therefore AD=EC$.又$\because AD// CE,\therefore$四边形$ACED$是平行四边形.

【分析】
(1)要证BE=CD，可借助平行四边形对边相等的性质，将问题转化为证明AB=BE。已知AD//BC，结合AE平分∠BAD，可推出∠EAB=∠AEB，由等角对等边得AB=BE，再通过等量代换即可得证。
(2)要证四边形ACED是平行四边形，已知AD//CE，只需证AD=CE即可。由(1)得△ABE是等腰三角形，结合BF⊥AE，根据等腰三角形三线合一得AF=EF，再证明△ADF≌△ECF得到AD=EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠EAD=∠AEB。
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAB=∠EAD，
∴∠EAB=∠AEB，
∴AB=BE，
又
∵AB=CD，
∴BE=CD。
(2)由(1)可知BA=BE，△ABE为等腰三角形，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF。
∵AD//CE，
∴∠DAF=∠CEF。
在△ADF和△ECF中：
$\begin{cases}∠ DAF=∠ CEF \\ AF=EF \\ ∠ AFD=∠ EFC\end{cases}$
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=EC。
又
∵AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形。
【答案】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB=CD,AD// BC$。$\because AE$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ EAB=∠ EAD=∠ AEB$，$\therefore AB=BE$，$\therefore BE=CD$。
(2)证明：由(1)知$BA=BE$。$\because BF⊥ AE$，$\therefore AF=EF$。$\because AD// CE$，$\therefore ∠ DAF=∠ CEF$，易证$△ ADF≌ △ ECF$，$\therefore AD=EC$。又$\because AD// CE$，$\therefore$四边形$ACED$是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；等腰三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础综合题，将角平分线、等腰三角形、全等三角形的知识与平行四边形的性质判定结合考查，解题的核心是通过已知条件完成角和线段的等量转化，熟悉相关定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
()

A.$AB// DC,AD// BC$
B.$AB// DC,∠DAB=∠DCB$
C.$AO=CO,AB=DC$
D.$AB// DC,DO=BO$

9.C

【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题思路为：首先回忆平行四边形的所有判定定理，再逐一分析每个选项给出的条件，判断能否推导出四边形满足平行四边形的判定要求，最终选出无法判定的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由$AB// DC$，$AD// BC$可直接判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B. 因为$AB// DC$，所以$∠ DAB+∠ ADC=180°$，又$∠ DAB=∠ DCB$，代入得$∠ DCB+∠ ADC=180°$，可推出$AD// BC$，两组对边分别平行，可判定是平行四边形，不符合题意；
C. 已知$AO=CO$，$∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等），加上$AB=DC$，此时满足的是两边及其中一边的对角对应相等（SSA），无法判定$△ AOB≌△ COD$，因此不能推导出$AB// DC$或$AD=BC$等平行四边形的判定条件，不能判定四边形是平行四边形，符合题意；
D. 因为$AB// DC$，所以$∠ OAB=∠ OCD$，$∠ OBA=∠ ODC$，又$DO=BO$，$∠ DOC=∠ BOA$（对顶角相等），可由AAS判定$△ DOC≌△ BOA$，得$AB=DC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、全等三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础考查题，易错点在于忽略SSA不能判定三角形全等，从而误判C选项可判定平行四边形，解题时需牢记判定定理，严谨推导。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,则四边形EGFH的周长
（）

A.只与AB,CD的长有关
B.只与AD,BC的长有关
C.只与AC,BD的长有关
D.与四边形ABCD各边的长都有关

10.B

【分析】
看到题中多个线段中点的条件，首先联想到三角形中位线定理。我们可以分别找出四边形EGFH各边所在的三角形，利用中位线定理将EGFH的各边用四边形ABCD的边长表示，再计算周长即可判断周长与哪些线段长度有关。
【解析】
解：
∵E是AB的中点，G是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EG=\frac{1}{2}BC$。
∵F是CD的中点，H是BD的中点，
∴FH是△BCD的中位线，可得：$FH=\frac{1}{2}BC$。
∵G是AC的中点，F是CD的中点，
∴GF是△ACD的中位线，可得：$GF=\frac{1}{2}AD$。
∵E是AB的中点，H是BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，可得：$EH=\frac{1}{2}AD$。
∴四边形EGFH的周长为：
$EG+GF+FH+EH=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AD=AD+BC$
因此四边形EGFH的周长只与AD、BC的长有关。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；四边形周长计算
【点评】
本题是三角形中位线的典型应用题型，解题的核心是根据中点定位到对应的三角形中位线，将未知四边形的边长转化为已知四边形的边长进行推导，熟练掌握中位线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7