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11. 如图，若$AB// CD$，则用含$α,β,\gamma$的式子表示$∠ C$为（
A.$α+β-\gamma$
B.$β+\gamma-α$
C.$180°+α+β-\gamma$
D.$180°-α+β-\gamma$
D
）A.$α+β-\gamma$
B.$β+\gamma-α$
C.$180°+α+β-\gamma$
D.$180°-α+β-\gamma$
答案
11.D
解析
【分析】
本题是平行线多拐点角度推导问题，解题核心是过拐点作平行线构造内错角、同旁内角的关系。首先我们分别过点F、E作AB的平行线，根据平行公理推论可得所作辅助线与CD也互相平行，再依次利用平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，逐步推导∠C和α、β、γ的数量关系即可。
【解析】
过点F作FM//AB，过点E作EN//AB。
∵AB//CD，
∴AB//FM//EN//CD。
∵AB//FM，内错角相等，
∴∠α=∠AFM。
又
∵∠AFM + ∠MFE = ∠AFE = β，
∴∠MFE = β - α。
∵FM//EN，内错角相等，
∴∠MFE = ∠FEN = β - α。
∵∠FEN + ∠NEC = ∠FEC = γ，
∴∠NEC = γ - ∠FEN = γ - (β - α) = γ - β + α。
∵EN//CD，同旁内角互补，
∴∠NEC + ∠C = 180°，
∴∠C = 180° - ∠NEC = 180° - (γ - β + α) = 180° - α + β - γ。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造，角度计算
【点评】
本题是平行线章节的经典题型，主要考察对平行线性质的灵活运用，掌握过多拐点作平行线的辅助线技巧，就能快速理清各角之间的关系，解决这类问题。
【难度系数】
0.6
本题是平行线多拐点角度推导问题，解题核心是过拐点作平行线构造内错角、同旁内角的关系。首先我们分别过点F、E作AB的平行线，根据平行公理推论可得所作辅助线与CD也互相平行，再依次利用平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，逐步推导∠C和α、β、γ的数量关系即可。
【解析】
过点F作FM//AB，过点E作EN//AB。
∵AB//CD，
∴AB//FM//EN//CD。
∵AB//FM，内错角相等，
∴∠α=∠AFM。
又
∵∠AFM + ∠MFE = ∠AFE = β，
∴∠MFE = β - α。
∵FM//EN，内错角相等，
∴∠MFE = ∠FEN = β - α。
∵∠FEN + ∠NEC = ∠FEC = γ，
∴∠NEC = γ - ∠FEN = γ - (β - α) = γ - β + α。
∵EN//CD，同旁内角互补，
∴∠NEC + ∠C = 180°，
∴∠C = 180° - ∠NEC = 180° - (γ - β + α) = 180° - α + β - γ。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造，角度计算
【点评】
本题是平行线章节的经典题型，主要考察对平行线性质的灵活运用，掌握过多拐点作平行线的辅助线技巧，就能快速理清各角之间的关系，解决这类问题。
【难度系数】
0.6
12.如图，已知$AD// BC$，$BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=112°$，且$BD⊥ CD$，则$∠ ADC=$______。
答案
12.$124°$
解析
【分析】
解题时首先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知∠A的度数先求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义得到∠DBC的度数；接着再次利用平行线内错角相等的性质，求出∠ADB的度数；最后结合BD⊥CD得到∠BDC=90°，将∠ADB和∠BDC相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ A + ∠ ABC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵$∠ A=112°$，
∴$∠ ABC=180°-112°=68°$，
∵$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×68°=34°$，
∵$AD// BC$，
∴$∠ ADB=∠ DBC=34°$（两直线平行，内错角相等），
∵$BD⊥ CD$，
∴$∠ BDC=90°$，
∴$∠ ADC=∠ ADB + ∠ BDC=34°+90°=124°$。
【答案】
$124°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练掌握平行线的性质，结合角平分线、垂直的定义逐步推导角的数量关系，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知∠A的度数先求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义得到∠DBC的度数；接着再次利用平行线内错角相等的性质，求出∠ADB的度数；最后结合BD⊥CD得到∠BDC=90°，将∠ADB和∠BDC相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ A + ∠ ABC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵$∠ A=112°$，
∴$∠ ABC=180°-112°=68°$，
∵$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×68°=34°$，
∵$AD// BC$，
∴$∠ ADB=∠ DBC=34°$（两直线平行，内错角相等），
∵$BD⊥ CD$，
∴$∠ BDC=90°$，
∴$∠ ADC=∠ ADB + ∠ BDC=34°+90°=124°$。
【答案】
$124°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练掌握平行线的性质，结合角平分线、垂直的定义逐步推导角的数量关系，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
13.如图，已知∠A=100°,∠B=110°,AB//FC,AC//PD,BF//PE,试求∠DPE的度数。
答案
13. 因为 $AB// FC$,所以$∠F=180°-∠B=70°$,$∠C=180°-∠A=80°$。因为 $AC// PD$,$BF// PE$,所以 $∠PED=∠F=70°$,$∠PDE=∠C=80°$,所以$∠DPE=180°-∠PED-∠PDE=30°$。
解析
【分析】
解题时先从已知的平行条件入手：首先根据AB//FC，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可分别求出∠F和∠C的度数；再结合BF//PE、AC//PD的条件，利用“两直线平行，同位角相等”，把∠F和∠C转化为△PED的两个内角∠PED和∠PDE；最后根据三角形内角和为180°，即可计算出∠DPE的度数。
【解析】
解：
∵AB//FC，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴∠B + ∠F = 180°，∠A + ∠C = 180°。
已知∠A=100°，∠B=110°，
∴∠F = 180° - 110° = 70°，∠C = 180° - 100° = 80°。
又
∵BF//PE，AC//PD，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠PED = ∠F = 70°，∠PDE = ∠C = 80°。
在△PED中，三角形内角和为180°，
∴∠DPE = 180° - 70° - 80° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题核心是利用平行线的性质实现角度的转移，将已知角集中到同一个三角形中，再结合三角形内角和定理求解，考查了基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行条件入手：首先根据AB//FC，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可分别求出∠F和∠C的度数；再结合BF//PE、AC//PD的条件，利用“两直线平行，同位角相等”，把∠F和∠C转化为△PED的两个内角∠PED和∠PDE；最后根据三角形内角和为180°，即可计算出∠DPE的度数。
【解析】
解：
∵AB//FC，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴∠B + ∠F = 180°，∠A + ∠C = 180°。
已知∠A=100°，∠B=110°，
∴∠F = 180° - 110° = 70°，∠C = 180° - 100° = 80°。
又
∵BF//PE，AC//PD，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠PED = ∠F = 70°，∠PDE = ∠C = 80°。
在△PED中，三角形内角和为180°，
∴∠DPE = 180° - 70° - 80° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题核心是利用平行线的性质实现角度的转移，将已知角集中到同一个三角形中，再结合三角形内角和定理求解，考查了基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
