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7.如图,将一条两边都互相平行的纸带进行折叠,设∠1=a°,则∠2=
$90°-\frac{a°}{2}$
(用含a的代数式表示)。答案
7.$90°-\frac{a°}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心性质：一是平行线的性质，两直线平行内错角相等；二是折叠的性质，折叠前后重合的角度数相等。首先利用平行线的性质找到与∠1相等的内错角，再观察角度关系：两个相等的∠2和这个与∠1相等的角共同组成平角180°，据此列等式求解即可得到∠2的表达式。
【解析】
∵ 纸带两边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得与∠1相等的角为$a°$。
由折叠的性质可知，折叠后重合的两个角大小相等，均等于∠2。
又
∵ 这两个∠2与上述$a°$的角组成平角，和为$180°$，
∴ $2∠2 + a° = 180°$，
等式变形得：$2∠2 = 180° - a°$，
两边同时除以2得：$∠2 = \frac{180° - a°}{2} = 90° - \frac{a°}{2}$。
【答案】
$90°-\frac{a°}{2}$
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，结合生活中的折叠场景考查平行线和折叠的性质，解题的关键是准确找到各角度之间的和差等量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆两个核心性质：一是平行线的性质，两直线平行内错角相等；二是折叠的性质，折叠前后重合的角度数相等。首先利用平行线的性质找到与∠1相等的内错角，再观察角度关系：两个相等的∠2和这个与∠1相等的角共同组成平角180°，据此列等式求解即可得到∠2的表达式。
【解析】
∵ 纸带两边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得与∠1相等的角为$a°$。
由折叠的性质可知，折叠后重合的两个角大小相等，均等于∠2。
又
∵ 这两个∠2与上述$a°$的角组成平角，和为$180°$，
∴ $2∠2 + a° = 180°$，
等式变形得：$2∠2 = 180° - a°$，
两边同时除以2得：$∠2 = \frac{180° - a°}{2} = 90° - \frac{a°}{2}$。
【答案】
$90°-\frac{a°}{2}$
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，结合生活中的折叠场景考查平行线和折叠的性质，解题的关键是准确找到各角度之间的和差等量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
8.如图，若∠1=∠2，∠DAB=83°，则∠B的度数为
$97°$
。答案
8.$97°$
解析
【分析】
首先观察到∠1和∠2是直线AD、BC被AC所截形成的内错角，已知∠1=∠2，根据内错角相等可判定AD//BC；再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，可得∠DAB与∠B的和为180°，代入已知∠DAB的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠DAB + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠DAB=83°（已知）
∴∠B=180° - 83°=97°
【答案】
97°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用类题目，解题核心是先通过角的等量关系判断直线平行，再利用平行线的角度关系计算未知角，是几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察到∠1和∠2是直线AD、BC被AC所截形成的内错角，已知∠1=∠2，根据内错角相等可判定AD//BC；再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，可得∠DAB与∠B的和为180°，代入已知∠DAB的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠DAB + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠DAB=83°（已知）
∴∠B=180° - 83°=97°
【答案】
97°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用类题目，解题核心是先通过角的等量关系判断直线平行，再利用平行线的角度关系计算未知角，是几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，如果∠1=36°,∠C=74°,∠B=36°,求∠2的度数。
答案
9.$∠2=74°$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知角的度数关系，发现∠1与∠B度数相等，且二者是直线FE、BC被直线AB所截形成的同位角，根据同位角相等可判定FE//BC；再利用平行线的性质，同位角相等，即可得到∠2与∠C的等量关系，代入∠C的度数就能求出∠2的大小。
【解析】
解：
∵ ∠1=36°，∠B=36°
∴ ∠1=∠B（等量代换）
∴ FE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2=∠C（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠C=74°
∴ ∠2=74°
【答案】
∠2=74°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是灵活运用平行线的判定定理和性质定理，先通过角的等量关系判定直线平行，再借助平行关系推导所求角的度数，解题时要注意判定和性质的适用条件，不要混淆二者的逻辑关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知角的度数关系，发现∠1与∠B度数相等，且二者是直线FE、BC被直线AB所截形成的同位角，根据同位角相等可判定FE//BC；再利用平行线的性质，同位角相等，即可得到∠2与∠C的等量关系，代入∠C的度数就能求出∠2的大小。
【解析】
解：
∵ ∠1=36°，∠B=36°
∴ ∠1=∠B（等量代换）
∴ FE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2=∠C（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠C=74°
∴ ∠2=74°
【答案】
∠2=74°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是灵活运用平行线的判定定理和性质定理，先通过角的等量关系判定直线平行，再借助平行关系推导所求角的度数，解题时要注意判定和性质的适用条件，不要混淆二者的逻辑关系。
【难度系数】
0.8
10.如图,某工程队从A点出发,沿北偏西$67°$方向修一条公路AD,在BD路段出现塌陷区,于是改变方向,由B点沿北偏东$23°$的方向继续修建BC段,到达C点又改变方向,从C点继续修建CE段,若使所修路段$CE// AB$,$∠ ECB$应为多少度? 试说明理由。此时CE与BC有怎样的位置关系?
答案
10.$∠ECB$ 应为 $90°$。理由如下:由已知,根据两直线平行,同位角相等得$∠DBQ=∠A=67°$,所以$∠CBD=23°+67°=90°$.根据同旁内角互补,两直线平行,当$∠ECB+∠CBD=180°$时,可得 $CE// AB$,所以$∠ECB=90°$。此时 $CE$ 与 $BC$的位置关系为垂直。
解析
【分析】
首先，图中BQ、AP均为正北方向线，二者互相平行，可先利用平行线的性质求出∠CBD的度数；要使CE//AB，需满足平行线的判定条件，即同旁内角互补，代入∠CBD的度数即可求出∠ECB的大小，最后根据角的度数判断CE与BC的位置关系。
【解析】
解：
∵BQ、AP都指向正北方向，
∴BQ//AP，
∴∠DBQ=∠A=67°（两直线平行，同位角相等），
∴∠CBD=∠DBQ + ∠QBC = 67° + 23° = 90°。
若CE//AB，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
∠ECB + ∠CBD = 180°，
∴∠ECB = 180° - 90° = 90°。
∵∠ECB=90°，
∴CE⊥BC（垂直的定义）。
【答案】
∠ECB应为90°，此时CE与BC互相垂直。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题结合方位角考查平行线相关定理的综合应用，解题的突破口是明确所有正北方向的直线互相平行，再结合平行线的性质和判定逐步推导即可，掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先，图中BQ、AP均为正北方向线，二者互相平行，可先利用平行线的性质求出∠CBD的度数；要使CE//AB，需满足平行线的判定条件，即同旁内角互补，代入∠CBD的度数即可求出∠ECB的大小，最后根据角的度数判断CE与BC的位置关系。
【解析】
解：
∵BQ、AP都指向正北方向，
∴BQ//AP，
∴∠DBQ=∠A=67°（两直线平行，同位角相等），
∴∠CBD=∠DBQ + ∠QBC = 67° + 23° = 90°。
若CE//AB，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
∠ECB + ∠CBD = 180°，
∴∠ECB = 180° - 90° = 90°。
∵∠ECB=90°，
∴CE⊥BC（垂直的定义）。
【答案】
∠ECB应为90°，此时CE与BC互相垂直。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题结合方位角考查平行线相关定理的综合应用，解题的突破口是明确所有正北方向的直线互相平行，再结合平行线的性质和判定逐步推导即可，掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
