14. 如图，已知$AM// BN$，$∠ A=60°$，点$P$是射线$AM$上一动点（与点$A$不重合），$BC$平分$∠ ABP$，$BD$平分$∠ PBN$，分别交射线$AM$于点$C$，$D$。
（1）求$∠ CBD$的度数；
（2）当点$P$运动时，$∠ APB:∠ ADB$的值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点$P$运动到某处时，$∠ ACB=∠ ABD$，求此时$∠ ABC$的度数。

14.(1) 因为 $AM// BN$,所以$∠ABN=180°-∠A=120°$。因为 $BC$ 平分$∠ABP$,BD平分$∠PBN$,所以$∠CBD=∠CBP+∠DBP=\frac{1}{2}(∠ABP+∠PBN)=\frac{1}{2}∠ABN=60°$。(2)不变,因为 $AM// BN$,所以$∠APB=∠PBN$,$∠ADB=∠DBN$。因为 $BD$ 平分$∠PBN$,所以$∠ADB=∠DBN=\frac{1}{2}∠PBN=\frac{1}{2}∠APB$,即$∠APB:∠ADB=2:1=2$。(3) 因为 $AM// BN$,所以$∠ACB=∠CBN$。因为$∠ACB=∠ABD$,所以$∠CBN=∠ABD$。所以$∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN$。所以$∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN$。所以$∠ABC=\frac{1}{4}∠ABN=30°$。

【分析】
（1）先根据平行线的同旁内角互补求出∠ABN的度数，再结合角平分线的定义，可知∠CBD是∠ABN的一半，代入计算即可。
（2）判断比值是否变化，可先利用平行线的内错角相等，将∠APB、∠ADB分别转化为BN边上的∠PBN、∠DBN，再结合BD是∠PBN的平分线，即可得到两个角的数量关系，确定比值。
（3）先由平行线的内错角相等得到∠ACB=∠CBN，结合已知∠ACB=∠ABD，可推出∠ABC=∠DBN，再结合BC、BD分别是角平分线，可知∠ABN被平均分成4个相等的小角，计算即可得到∠ABC的度数。
【解析】
（1）
∵ $AM// BN$，
∴ $∠A + ∠ABN = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠A=60°$，
∴ $∠ABN=180° - 60°=120°$。
∵ $BC$平分$∠ABP$，$BD$平分$∠PBN$，
∴ $∠CBP=\frac{1}{2}∠ABP$，$∠DBP=\frac{1}{2}∠PBN$，
∴ $∠CBD=∠CBP+∠DBP=\frac{1}{2}(∠ABP+∠PBN)=\frac{1}{2}∠ABN=\frac{1}{2}×120°=60°$。
（2）比值不变，理由如下：
∵ $AM// BN$，
∴ $∠APB=∠PBN$（两直线平行，内错角相等），$∠ADB=∠DBN$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $BD$平分$∠PBN$，
∴ $∠DBN=\frac{1}{2}∠PBN$，
∴ $∠ADB=\frac{1}{2}∠APB$，即$∠APB:∠ADB=2:1=2$。
（3）
∵ $AM// BN$，
∴ $∠ACB=∠CBN$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $∠ACB=∠ABD$，
∴ $∠CBN=∠ABD$，
∴ $∠CBN - ∠CBD = ∠ABD - ∠CBD$，即$∠DBN=∠ABC$。
∵ $BC$平分$∠ABP$，$BD$平分$∠PBN$，
∴ $∠ABC=∠CBP$，$∠DBN=∠DBP$，
∴ $∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN$，
∴ $∠ABC=\frac{1}{4}∠ABN=\frac{1}{4}×120°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CBD=60°}$；(2) 不变，比值为$\boldsymbol{2}$；(3) $\boldsymbol{∠ABC=30°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 角的和差运算
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的典型题型，解题的核心是灵活运用平行线的角的关系实现角的转化，再结合角平分线的性质梳理角之间的数量关系，考查了逻辑推理和几何计算能力。
【难度系数】
0.7