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10.如图所示,一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成.已知菱形的边长为13 cm,当挂钩B,D间的距离是30 cm时,则挂钩A,C间的距离是
24
cm. 答案
10.24
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质分析线段关系：衣帽架由3个全等菱形构成，BD总长30cm，可先求出单个菱形沿BD方向的对角线长度；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形另一条对角线的长度，该长度就是A、C间的距离。
【解析】
解：
∵ 活动衣帽架由3个全等的菱形构成，且$ BD=30\ \mathrm{cm} $
∴ 单个菱形中与BD同向的对角线长度为：$ 30÷ 3=10\ \mathrm{cm} $
由菱形对角线互相垂直平分的性质可知，该对角线的一半为$ 10÷ 2=5\ \mathrm{cm} $
设菱形另一条对角线的一半长为$ x $，已知菱形边长为13cm，两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$ x^2 + 5^2 = 13^2 $
计算得：$ x^2=169-25=144 $
∵ $ x＞0 $，
∴ $ x=12\ \mathrm{cm} $
∴ 菱形另一条对角线的全长为$ 12× 2=24\ \mathrm{cm} $
结合图形可知，A、C间的距离等于该对角线的长度，即24cm。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际图形转化为熟悉的菱形几何模型，准确梳理线段间的数量关系即可快速求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质分析线段关系：衣帽架由3个全等菱形构成，BD总长30cm，可先求出单个菱形沿BD方向的对角线长度；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形另一条对角线的长度，该长度就是A、C间的距离。
【解析】
解：
∵ 活动衣帽架由3个全等的菱形构成，且$ BD=30\ \mathrm{cm} $
∴ 单个菱形中与BD同向的对角线长度为：$ 30÷ 3=10\ \mathrm{cm} $
由菱形对角线互相垂直平分的性质可知，该对角线的一半为$ 10÷ 2=5\ \mathrm{cm} $
设菱形另一条对角线的一半长为$ x $，已知菱形边长为13cm，两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$ x^2 + 5^2 = 13^2 $
计算得：$ x^2=169-25=144 $
∵ $ x＞0 $，
∴ $ x=12\ \mathrm{cm} $
∴ 菱形另一条对角线的全长为$ 12× 2=24\ \mathrm{cm} $
结合图形可知，A、C间的距离等于该对角线的长度，即24cm。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际图形转化为熟悉的菱形几何模型，准确梳理线段间的数量关系即可快速求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
11.等腰三角形周长为10 cm，底边 BC 长为 y cm，腰 AB 长为 x cm，
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式；
(2)求 x 的取值范围.
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式；
(2)求 x 的取值范围.
答案
11.解:(1)
∵等腰三角形的两腰相等,周长为10,
∴2x+y=10.
∴底边长y与腰长x的函数关系式为
y=-2x+10.
(2)
∵两边之和大于第三边,
∴2x＞y.
∴x＞2.5.
∵y＞0,
∴x＜5.
∴x的取值范围是2.5＜x＜5.
∵等腰三角形的两腰相等,周长为10,
∴2x+y=10.
∴底边长y与腰长x的函数关系式为
y=-2x+10.
(2)
∵两边之和大于第三边,
∴2x＞y.
∴x＞2.5.
∵y＞0,
∴x＜5.
∴x的取值范围是2.5＜x＜5.
解析
【分析】
(1) 求y关于x的函数关系式时，可直接利用等腰三角形的周长计算公式：周长=2倍腰长+底边长，将已知的周长、腰长、底边长代入公式，整理变形即可得到函数关系。
(2) 求x的取值范围需要兼顾两个约束条件：一是三角形的边长均为正数，因此底边y的长度必须大于0；二是要满足三角形三边关系，即两边之和大于第三边，这里两腰长度之和2x必须大于底边y，联立两个不等式求解就能得到x的取值范围。
【解析】
(1) 已知等腰三角形周长为10cm，腰AB长为x cm，底边BC长为y cm，根据周长的定义可得：
$2x + y = 10$
移项整理得y关于x的函数关系式：
$y = -2x + 10$
(2) 结合三角形的边长性质和三边关系求解：
① 三角形边长为正数，因此底边长$y＞0$，代入函数关系式得：
$-2x + 10 ＞ 0$
解得$x ＜ 5$
② 三角形两边之和大于第三边，两腰之和$2x$需大于底边长y，即：
$2x ＞ y$
将$y=-2x+10$代入不等式得：
$2x ＞ -2x + 10$
$4x ＞ 10$
解得$x ＞ 2.5$
综合两个条件，可得x的取值范围为$2.5 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+10}$
(2) $\boldsymbol{2.5＜x＜5}$
【知识点】
等腰三角形性质，列函数关系式，三角形三边关系
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是熟练运用等腰三角形周长公式和三角形三边关系，易错点是求解自变量取值范围时，容易只考虑边长为正的条件，忽略两边之和大于第三边的要求，解题时要注意结合几何性质全面考虑约束条件。
【难度系数】
0.7
(1) 求y关于x的函数关系式时，可直接利用等腰三角形的周长计算公式：周长=2倍腰长+底边长，将已知的周长、腰长、底边长代入公式，整理变形即可得到函数关系。
(2) 求x的取值范围需要兼顾两个约束条件：一是三角形的边长均为正数，因此底边y的长度必须大于0；二是要满足三角形三边关系，即两边之和大于第三边，这里两腰长度之和2x必须大于底边y，联立两个不等式求解就能得到x的取值范围。
【解析】
(1) 已知等腰三角形周长为10cm，腰AB长为x cm，底边BC长为y cm，根据周长的定义可得：
$2x + y = 10$
移项整理得y关于x的函数关系式：
$y = -2x + 10$
(2) 结合三角形的边长性质和三边关系求解：
① 三角形边长为正数，因此底边长$y＞0$，代入函数关系式得：
$-2x + 10 ＞ 0$
解得$x ＜ 5$
② 三角形两边之和大于第三边，两腰之和$2x$需大于底边长y，即：
$2x ＞ y$
将$y=-2x+10$代入不等式得：
$2x ＞ -2x + 10$
$4x ＞ 10$
解得$x ＞ 2.5$
综合两个条件，可得x的取值范围为$2.5 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+10}$
(2) $\boldsymbol{2.5＜x＜5}$
【知识点】
等腰三角形性质，列函数关系式，三角形三边关系
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是熟练运用等腰三角形周长公式和三角形三边关系，易错点是求解自变量取值范围时，容易只考虑边长为正的条件，忽略两边之和大于第三边的要求，解题时要注意结合几何性质全面考虑约束条件。
【难度系数】
0.7
12.(1)已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多$180°$,求这个多边形的边数；
(2)已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为$9:2$,求这个多边形的边数.
(2)已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为$9:2$,求这个多边形的边数.
答案
12.解:(1)设这个多边形的边数为n,
根据题意,得$(n-2)×180°=360°×3+180°$,
解得n=9.
∴这个多边形的边数为9.
(2)设这个多边形一个内角的度数为$9x°$,则一个外角的度数为$2x°$,
根据题意,得$9x+2x=180$,解得$x=\dfrac{180}{11}$.
∵多边形的每一个外角都相等,
∴$360°÷(2×\dfrac{180°}{11})=11$.
∴这个多边形的边数为11.
根据题意,得$(n-2)×180°=360°×3+180°$,
解得n=9.
∴这个多边形的边数为9.
(2)设这个多边形一个内角的度数为$9x°$,则一个外角的度数为$2x°$,
根据题意,得$9x+2x=180$,解得$x=\dfrac{180}{11}$.
∵多边形的每一个外角都相等,
∴$360°÷(2×\dfrac{180°}{11})=11$.
∴这个多边形的边数为11.
解析
【分析】
(1)解决本题首先要掌握两个核心公式：多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），任意多边形的外角和恒为$360°$。根据题目给出的“内角和比外角和的3倍还多$180°$”的等量关系，设边数为$n$，列一元一次方程即可求解。
(2)多边形的任意一个内角与相邻外角是邻补角，二者之和为$180°$。已知内角与外角的度数比为$9:2$，可先设未知量求出单个外角的度数，再结合多边形外角和为$360°$，且本题中每个外角都相等，用外角和除以单个外角度数即可得到边数。
【解析】
(1)设这个多边形的边数为$n$，
根据题意，得$(n-2)×180°=360°×3+180°$，
解得$n=9$。
(2)设这个多边形一个内角的度数为$9x°$，则一个外角的度数为$2x°$，
根据题意，得$9x+2x=180$，解得$x=\dfrac{180}{11}$。
∵多边形的每一个外角都相等，
∴边数为$360°÷(2×\dfrac{180°}{11})=11$。
【答案】
(1)9；(2)11
【知识点】
1.多边形内角和公式
2.多边形外角和定理
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握多边形内角和、外角和的相关性质，结合题目给出的等量关系列方程求解。第二问利用内角与相邻外角互补的关系求出外角度数是解题的关键，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
(1)解决本题首先要掌握两个核心公式：多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），任意多边形的外角和恒为$360°$。根据题目给出的“内角和比外角和的3倍还多$180°$”的等量关系，设边数为$n$，列一元一次方程即可求解。
(2)多边形的任意一个内角与相邻外角是邻补角，二者之和为$180°$。已知内角与外角的度数比为$9:2$，可先设未知量求出单个外角的度数，再结合多边形外角和为$360°$，且本题中每个外角都相等，用外角和除以单个外角度数即可得到边数。
【解析】
(1)设这个多边形的边数为$n$，
根据题意，得$(n-2)×180°=360°×3+180°$，
解得$n=9$。
(2)设这个多边形一个内角的度数为$9x°$，则一个外角的度数为$2x°$，
根据题意，得$9x+2x=180$，解得$x=\dfrac{180}{11}$。
∵多边形的每一个外角都相等，
∴边数为$360°÷(2×\dfrac{180°}{11})=11$。
【答案】
(1)9；(2)11
【知识点】
1.多边形内角和公式
2.多边形外角和定理
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握多边形内角和、外角和的相关性质，结合题目给出的等量关系列方程求解。第二问利用内角与相邻外角互补的关系求出外角度数是解题的关键，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
