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13. 2025年5月26日至31日，中华龙舟大赛四川巴中恩阳站在恩阳龙舟公园举办，再度演绎水上版“速度与激情”.比赛中，甲、乙两队在500 m的赛道上所划行的路程 y(m)与时间 x(min)之间的函数关系式如图所示，下列说法错误的是（
A.甲队到达终点用时2.5 min
B.当乙队划行380 m时，甲队落后20 m
C.0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 m
D.乙队在点 B 处追上甲队，此时点 B 的坐标为(1,200)
B
）A.甲队到达终点用时2.5 min
B.当乙队划行380 m时，甲队落后20 m
C.0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 m
D.乙队在点 B 处追上甲队，此时点 B 的坐标为(1,200)
答案
13.B
解析
【分析】
本题是一次函数在行程问题中的实际应用，解题思路如下：第一步先从题干和图像信息提取甲队的行程数据，求出甲队路程与时间的函数关系式；第二步结合选项推导乙队0.5min后的速度及对应区间的函数解析式；第三步逐一验证四个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
1. 求甲队的路程函数：甲队划行500m用时2.5min，速度为$500÷2.5=200\ \mathrm{m/min}$，因此甲队的路程与时间的关系式为$y_甲=200x$（$0≤ x≤2.5$）。
2. 验证各选项：
选项A：由上述计算可知甲队到达终点用时2.5min，说法正确，不符合题意。
选项D：若点B坐标为$(1,200)$，代入$y_甲$得$y=200×1=200$，说明x=1时甲划行200m；此时乙追上甲，即乙也划行200m。可推导乙0.5min后的速度：设乙0.5min后速度为$v_乙$，从x=0.5到x=1的0.5min内乙划行的路程可结合后续选项C验证，$v_乙=200+40=240\ \mathrm{m/min}$，则0.5min到1min乙划行$0.5×240=120\ \mathrm{m}$，说明乙前0.5min划行$200-120=80\ \mathrm{m}$，逻辑成立，因此B点坐标为$(1,200)$，说法正确，不符合题意。
选项C：0.5min后乙速度为240m/min，甲速度为200m/min，$240-200=40\ \mathrm{m/min}$，即乙比甲每分钟快40m，说法正确，不符合题意。
选项B：乙队x≥0.5时的解析式为$y_乙=240x-40$，当$y_乙=380$时，代入得$380=240x-40$，解得$x=1.75\ \mathrm{min}$。此时甲的路程为$y_甲=200×1.75=350\ \mathrm{m}$，甲队落后$380-350=30\ \mathrm{m}$，不是20m，说法错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，函数图像分析
【点评】
本题结合实际赛事场景考查一次函数的应用，需要学生能从函数图像中提取有效信息，正确推导函数解析式，结合行程公式完成计算，重点考查读图能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
本题是一次函数在行程问题中的实际应用，解题思路如下：第一步先从题干和图像信息提取甲队的行程数据，求出甲队路程与时间的函数关系式；第二步结合选项推导乙队0.5min后的速度及对应区间的函数解析式；第三步逐一验证四个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
1. 求甲队的路程函数：甲队划行500m用时2.5min，速度为$500÷2.5=200\ \mathrm{m/min}$，因此甲队的路程与时间的关系式为$y_甲=200x$（$0≤ x≤2.5$）。
2. 验证各选项：
选项A：由上述计算可知甲队到达终点用时2.5min，说法正确，不符合题意。
选项D：若点B坐标为$(1,200)$，代入$y_甲$得$y=200×1=200$，说明x=1时甲划行200m；此时乙追上甲，即乙也划行200m。可推导乙0.5min后的速度：设乙0.5min后速度为$v_乙$，从x=0.5到x=1的0.5min内乙划行的路程可结合后续选项C验证，$v_乙=200+40=240\ \mathrm{m/min}$，则0.5min到1min乙划行$0.5×240=120\ \mathrm{m}$，说明乙前0.5min划行$200-120=80\ \mathrm{m}$，逻辑成立，因此B点坐标为$(1,200)$，说法正确，不符合题意。
选项C：0.5min后乙速度为240m/min，甲速度为200m/min，$240-200=40\ \mathrm{m/min}$，即乙比甲每分钟快40m，说法正确，不符合题意。
选项B：乙队x≥0.5时的解析式为$y_乙=240x-40$，当$y_乙=380$时，代入得$380=240x-40$，解得$x=1.75\ \mathrm{min}$。此时甲的路程为$y_甲=200×1.75=350\ \mathrm{m}$，甲队落后$380-350=30\ \mathrm{m}$，不是20m，说法错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，函数图像分析
【点评】
本题结合实际赛事场景考查一次函数的应用，需要学生能从函数图像中提取有效信息，正确推导函数解析式，结合行程公式完成计算，重点考查读图能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
14.数学文化 中国北宋数学家贾宪提出一个定理:“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则分割出的两个长方形面积相等[图(1)中$S_{矩形AEOM}=S_{矩形CFON}$].”问题解决:如图(2)所示,点M是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点M作$EF// BC$分别交AB,CD于点E,F,连接BM,DM.若$CF=4$,$EM=3$,$DF=2$,则$MF=$
6
.答案
14.6
解析
【分析】
解题时先利用矩形对边相等的性质得到相关线段长度，再根据平行关系找到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后结合矩形对边相等的性质求出MF的长度。也可直接结合题干给出的对角矩形面积相等的定理列等式求解，这里用相似三角形的方法更贴合学段知识。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，∠ABC=90°。
∵EF//BC，
∴四边形EBCF是矩形，
∴EF=BC，BE=CF=4。
又
∵DF=2，
∴AE=DF=2，AB=AE+BE=2+4=6。
∵EF//BC，
∴∠AEM=∠ABC=90°，
又
∵∠EAM=∠BAC（公共角），
∴△AEM∽△ABC。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AE}{AB}=\frac{EM}{BC}$，
将AE=2，AB=6，EM=3代入得：$\frac{2}{6}=\frac{3}{BC}$，
解得BC=9，
∴EF=BC=9，
∴MF=EF - EM=9 - 3=6。
【答案】
6
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合传统数学文化背景命题，核心考查矩形性质和相似三角形的应用，解题关键是识别出平行关系对应的相似三角形，结合比例式求解未知线段，整体解题逻辑清晰，对基础应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形对边相等的性质得到相关线段长度，再根据平行关系找到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后结合矩形对边相等的性质求出MF的长度。也可直接结合题干给出的对角矩形面积相等的定理列等式求解，这里用相似三角形的方法更贴合学段知识。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，∠ABC=90°。
∵EF//BC，
∴四边形EBCF是矩形，
∴EF=BC，BE=CF=4。
又
∵DF=2，
∴AE=DF=2，AB=AE+BE=2+4=6。
∵EF//BC，
∴∠AEM=∠ABC=90°，
又
∵∠EAM=∠BAC（公共角），
∴△AEM∽△ABC。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AE}{AB}=\frac{EM}{BC}$，
将AE=2，AB=6，EM=3代入得：$\frac{2}{6}=\frac{3}{BC}$，
解得BC=9，
∴EF=BC=9，
∴MF=EF - EM=9 - 3=6。
【答案】
6
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合传统数学文化背景命题，核心考查矩形性质和相似三角形的应用，解题关键是识别出平行关系对应的相似三角形，结合比例式求解未知线段，整体解题逻辑清晰，对基础应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
15. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两家书店在这一天举行了购书优惠活动.
甲书店:所有书籍按标价八折出售；
乙书店:一次购书中标价总额不超过200元的按原价计费,超过200元后的部分打六折.
以x(单位:元)表示标价总额,y₍甲₎(单位:元)表示在甲书店应支付金额,y₍乙₎(单位:元)表示在乙书店应支付金额.
(1)就两家书店的优惠方式,分别求y₍甲₎,y₍乙₎关于x的函数解析式.
(2)“世界读书日”这一天,八年级学生小奇计划去甲、乙两个书店购书,如何选择这两家书店购书更省钱?
甲书店:所有书籍按标价八折出售；
乙书店:一次购书中标价总额不超过200元的按原价计费,超过200元后的部分打六折.
以x(单位:元)表示标价总额,y₍甲₎(单位:元)表示在甲书店应支付金额,y₍乙₎(单位:元)表示在乙书店应支付金额.
(1)就两家书店的优惠方式,分别求y₍甲₎,y₍乙₎关于x的函数解析式.
(2)“世界读书日”这一天,八年级学生小奇计划去甲、乙两个书店购书,如何选择这两家书店购书更省钱?
答案
15.解:(1)根据题意,可得甲书店:$y_甲=0.8x$,
乙书店:$y_乙=\begin{cases} x(x≤200),\\ 0.6(x-200)+200(x＞200),\end{cases}$
即$y_乙=\begin{cases} x(x≤200),\\ 0.6x+80(x＞200).\end{cases}$
(2)当$x≤200$时,$0.8x＜x$,即选择甲书店更省钱;
当$x＞200$时,令$0.8x=0.6x+80$,解得$x=400$,
当$200＜x＜400$时,选择甲书店更省钱,
当$x=400$时,甲、乙书店所需费用相同,
当$x＞400$时,选择乙书店更省钱.
综上所述:当$x＜400$时,选择甲书店更省钱;当$x=400$时,甲、乙书店所需费用相同;当$x＞400$时,选择乙书店更省钱.
乙书店:$y_乙=\begin{cases} x(x≤200),\\ 0.6(x-200)+200(x＞200),\end{cases}$
即$y_乙=\begin{cases} x(x≤200),\\ 0.6x+80(x＞200).\end{cases}$
(2)当$x≤200$时,$0.8x＜x$,即选择甲书店更省钱;
当$x＞200$时,令$0.8x=0.6x+80$,解得$x=400$,
当$200＜x＜400$时,选择甲书店更省钱,
当$x=400$时,甲、乙书店所需费用相同,
当$x＞400$时,选择乙书店更省钱.
综上所述:当$x＜400$时,选择甲书店更省钱;当$x=400$时,甲、乙书店所需费用相同;当$x＞400$时,选择乙书店更省钱.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式时，先结合甲书店全场八折的优惠规则，直接用标价总额乘折扣即可得到$y_甲$的解析式；乙书店的优惠是分段计费，需分购书标价总额不超过200元、超过200元两种情况，分别根据计费规则列出$y_乙$的解析式，超过200元的部分要先扣除200元再计算折扣，最后化简即可。
(2) 要判断哪家书店更省钱，本质是比较不同取值范围内$y_甲$和$y_乙$的大小：先讨论$x≤200$的情况，直接比较两个解析式的大小；再讨论$x＞200$的情况，先令两个解析式相等求出费用相同的临界$x$值，再分别讨论$x$小于、等于、大于临界值时的费用关系，即可得出最优购书方案。
【解析】
解：(1) 根据甲书店所有书籍打八折的优惠规则，可得：
$y_甲=0.8x$
乙书店为分段计费：
① 当标价总额$x≤200$时，按原价计费，故$y_乙=x$；
② 当标价总额$x＞200$时，200元按原价支付，超出200元的部分打六折，因此：
$y_乙=200+0.6(x-200)=0.6x+80$
综上，$y_乙=\begin{cases} x(x≤200)\\ 0.6x+80(x＞200) \end{cases}$
(2) 分情况讨论两家书店的费用大小：
① 当$x≤200$时，$y_甲=0.8x ＜ x=y_乙$，此时选择甲书店更省钱；
② 当$x＞200$时，令$y_甲=y_乙$，即$0.8x=0.6x+80$，
移项计算得$0.2x=80$，解得$x=400$：
若$200＜x＜400$，则$0.8x＜0.6x+80$，即$y_甲＜y_乙$，选择甲书店更省钱；
若$x=400$，则$y_甲=y_乙$，两家书店所需费用相同；
若$x＞400$，则$0.8x＞0.6x+80$，即$y_甲＞y_乙$，选择乙书店更省钱。
【答案】
(1) $y_甲=0.8x$；$y_乙=\begin{cases} x(x≤200)\\ 0.6x+80(x＞200) \end{cases}$
(2) 当$x＜400$时，选择甲书店更省钱；当$x=400$时，甲、乙书店所需费用相同；当$x＞400$时，选择乙书店更省钱。
【知识点】
一次函数解析式，分段函数，方案选择
【点评】
本题结合生活中的购书优惠场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确写出分段函数的表达式，运用分类讨论思想比较不同区间内的费用大小，注意不要遗漏分段节点和临界值的讨论。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式时，先结合甲书店全场八折的优惠规则，直接用标价总额乘折扣即可得到$y_甲$的解析式；乙书店的优惠是分段计费，需分购书标价总额不超过200元、超过200元两种情况，分别根据计费规则列出$y_乙$的解析式，超过200元的部分要先扣除200元再计算折扣，最后化简即可。
(2) 要判断哪家书店更省钱，本质是比较不同取值范围内$y_甲$和$y_乙$的大小：先讨论$x≤200$的情况，直接比较两个解析式的大小；再讨论$x＞200$的情况，先令两个解析式相等求出费用相同的临界$x$值，再分别讨论$x$小于、等于、大于临界值时的费用关系，即可得出最优购书方案。
【解析】
解：(1) 根据甲书店所有书籍打八折的优惠规则，可得：
$y_甲=0.8x$
乙书店为分段计费：
① 当标价总额$x≤200$时，按原价计费，故$y_乙=x$；
② 当标价总额$x＞200$时，200元按原价支付，超出200元的部分打六折，因此：
$y_乙=200+0.6(x-200)=0.6x+80$
综上，$y_乙=\begin{cases} x(x≤200)\\ 0.6x+80(x＞200) \end{cases}$
(2) 分情况讨论两家书店的费用大小：
① 当$x≤200$时，$y_甲=0.8x ＜ x=y_乙$，此时选择甲书店更省钱；
② 当$x＞200$时，令$y_甲=y_乙$，即$0.8x=0.6x+80$，
移项计算得$0.2x=80$，解得$x=400$：
若$200＜x＜400$，则$0.8x＜0.6x+80$，即$y_甲＜y_乙$，选择甲书店更省钱；
若$x=400$，则$y_甲=y_乙$，两家书店所需费用相同；
若$x＞400$，则$0.8x＞0.6x+80$，即$y_甲＞y_乙$，选择乙书店更省钱。
【答案】
(1) $y_甲=0.8x$；$y_乙=\begin{cases} x(x≤200)\\ 0.6x+80(x＞200) \end{cases}$
(2) 当$x＜400$时，选择甲书店更省钱；当$x=400$时，甲、乙书店所需费用相同；当$x＞400$时，选择乙书店更省钱。
【知识点】
一次函数解析式，分段函数，方案选择
【点评】
本题结合生活中的购书优惠场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确写出分段函数的表达式，运用分类讨论思想比较不同区间内的费用大小，注意不要遗漏分段节点和临界值的讨论。
【难度系数】
0.7
