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14. 小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整.
在△ABC边BC上任取一点E，作DE//AC交AB于点D，作EF//AB交AC于点F.
∵ DE//AC，AB//EF，
∴ ∠1=
∵ AB//EF，
∴ ∠4=
∵ DE//AC，
∴ ∠4=
∴ ∠2=
∵ ∠1+∠2+∠3=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C=
在△ABC边BC上任取一点E，作DE//AC交AB于点D，作EF//AB交AC于点F.
∵ DE//AC，AB//EF，
∴ ∠1=
∠C
，∠3= ∠B
.∵ AB//EF，
∴ ∠4=
∠A
(两直线平行，同位角相等
).∵ DE//AC，
∴ ∠4=
∠2
(两直线平行，内错角相等
).∴ ∠2=
∠A
(等量代换
).∵ ∠1+∠2+∠3=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C=
180°
.答案
∠C ∠B ∠A 两直线平行，同位角相等 ∠2 两直线平行，内错角相等 ∠A 等量代换 180°
解析
【分析】
本题是通过构造平行线推导三角形内角和定理的探究题，解题时需结合平行线的性质，将△ABC的三个内角与点E处组成平角的∠1、∠2、∠3建立等量关系：第一步先根据平行线的同位角相等性质，找到∠1、∠3分别对应的三角形内角；第二步通过平行线的同位角、内错角相等性质，结合等量代换得到∠2对应的三角形内角；最后利用平角为180°的结论，即可推导出三角形内角和的度数。
【解析】
1. 已知DE//AC，AB//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠C，∠3=∠B；
2. 已知AB//EF，∠A和∠4是同位角，因此∠4=∠A，依据是两直线平行，同位角相等；
3. 已知DE//AC，∠2和∠4是内错角，因此∠4=∠2，依据是两直线平行，内错角相等；
4. 由∠4=∠A且∠4=∠2，可得∠2=∠A，依据是等量代换；
5. 已知平角为180°，即∠1+∠2+∠3=180°，将∠1=∠C、∠3=∠B、∠2=∠A代入，可得∠A+∠B+∠C=180°。
【答案】
∠C；∠B；∠A；两直线平行，同位角相等；∠2；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；180°
【知识点】
平行线的性质；等量代换；三角形内角和定理
【点评】
本题借助平行线的性质实现了三角形内角的转化，将未知的三角形内角和转化为已知的平角度数，体现了转化的数学思想，能帮助我们理解几何定理的推导逻辑，夯实平行线性质的应用基础。
【难度系数】
0.8
本题是通过构造平行线推导三角形内角和定理的探究题，解题时需结合平行线的性质，将△ABC的三个内角与点E处组成平角的∠1、∠2、∠3建立等量关系：第一步先根据平行线的同位角相等性质，找到∠1、∠3分别对应的三角形内角；第二步通过平行线的同位角、内错角相等性质，结合等量代换得到∠2对应的三角形内角；最后利用平角为180°的结论，即可推导出三角形内角和的度数。
【解析】
1. 已知DE//AC，AB//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠C，∠3=∠B；
2. 已知AB//EF，∠A和∠4是同位角，因此∠4=∠A，依据是两直线平行，同位角相等；
3. 已知DE//AC，∠2和∠4是内错角，因此∠4=∠2，依据是两直线平行，内错角相等；
4. 由∠4=∠A且∠4=∠2，可得∠2=∠A，依据是等量代换；
5. 已知平角为180°，即∠1+∠2+∠3=180°，将∠1=∠C、∠3=∠B、∠2=∠A代入，可得∠A+∠B+∠C=180°。
【答案】
∠C；∠B；∠A；两直线平行，同位角相等；∠2；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；180°
【知识点】
平行线的性质；等量代换；三角形内角和定理
【点评】
本题借助平行线的性质实现了三角形内角的转化，将未知的三角形内角和转化为已知的平角度数，体现了转化的数学思想，能帮助我们理解几何定理的推导逻辑，夯实平行线性质的应用基础。
【难度系数】
0.8
15. 如图，已知平面上有A、B、C三点，请按要求作图：
(1)画直线BC，射线BA，线段AC；
(2)在射线BA上作一点D，使得$BD=AC+AB$；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论)
(3)在直线BC上方作$∠ CBE=∠ CAD$.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论)
(1)画直线BC，射线BA，线段AC；
(2)在射线BA上作一点D，使得$BD=AC+AB$；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论)
(3)在直线BC上方作$∠ CBE=∠ CAD$.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论)
答案
解：
(1) 经过B、C两点作向两方无限延伸的直线BC，以点B为端点作经过点A的射线BA，连接点A、点C得到线段AC，上述图形即为所求。
(2) 在射线BA上作出点D，保留尺规作图痕迹，点D满足BD=AC+AB，点D即为所求。
(3) 在直线BC上方作出∠CBE，保留尺规作图痕迹，∠CBE满足∠CBE=∠CAD，∠CBE即为所求。
(1) 经过B、C两点作向两方无限延伸的直线BC，以点B为端点作经过点A的射线BA，连接点A、点C得到线段AC，上述图形即为所求。
(2) 在射线BA上作出点D，保留尺规作图痕迹，点D满足BD=AC+AB，点D即为所求。
(3) 在直线BC上方作出∠CBE，保留尺规作图痕迹，∠CBE满足∠CBE=∠CAD，∠CBE即为所求。
解析
【分析】
解题时先明确各作图要求对应的几何定义和基本作图方法：
1. 第(1)问需区分直线、射线、线段的特征：直线无端点、可向两端无限延伸，射线仅1个端点、向一端无限延伸，线段有2个端点、不可延伸，按照三者特征分别作图即可。
2. 第(2)问要构造BD=AC+AB，观察射线BA的方向，BD可拆分为AB+AD，因此只需在射线BA上A点远离B的一侧，用尺规截取AD=AC，即可满足等量关系。
3. 第(3)问是作一个角等于已知角的基础作图，按照尺规作等角的标准步骤，保证所作角的顶点为B、一边为BC、且位于直线BC上方，即可满足∠CBE=∠CAD的要求。
【解析】
(1) ①画直线BC：将直尺边缘对齐B、C两点，过B、C画出向两端无限延伸的直线，即为直线BC；
②画射线BA：以B为端点，将直尺对齐B、A，过A向远离B的方向画出仅一端延伸的线，即为射线BA；
③画线段AC：用直尺连接A、C两点，两端不延伸，即为线段AC。
(2) 先用圆规张开到与线段AC长度相等的宽度，再以A为圆心、AC长为半径，在射线BA上A点远离B的一侧画弧，弧与射线BA的交点即为D点，此时BD=AB+AD=AB+AC，符合要求。
(3) 按照尺规作一个角等于已知角的步骤：先以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AD于两点；再以B为圆心，相同长度为半径画弧，交BC于一点；随后用圆规量取A处弧上两个交点的距离，以B处弧和BC的交点为圆心、该距离为半径画弧，两弧交于一点，过B和该交点作射线BE，使BE位于直线BC上方，此时∠CBE=∠CAD，符合要求。
所有作图均保留痕迹即可。
【答案】
(1) 经过B、C两点作向两方无限延伸的直线BC，以点B为端点作经过点A的射线BA，连接点A、点C得到线段AC，上述图形即为所求。
(2) 在射线BA上作出点D，保留尺规作图痕迹，点D满足BD=AC+AB，点D即为所求。
(3) 在直线BC上方作出∠CBE，保留尺规作图痕迹，∠CBE满足∠CBE=∠CAD，∠CBE即为所求。
【知识点】
直线射线线段的画法；尺规作线段和差；尺规作等角
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，重点考察对基本几何图形特征的掌握和常用尺规作图方法的运用，作图时需注意区分直线、射线、线段的延伸性，同时满足题目对作图位置、等量关系的要求，保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
解题时先明确各作图要求对应的几何定义和基本作图方法：
1. 第(1)问需区分直线、射线、线段的特征：直线无端点、可向两端无限延伸，射线仅1个端点、向一端无限延伸，线段有2个端点、不可延伸，按照三者特征分别作图即可。
2. 第(2)问要构造BD=AC+AB，观察射线BA的方向，BD可拆分为AB+AD，因此只需在射线BA上A点远离B的一侧，用尺规截取AD=AC，即可满足等量关系。
3. 第(3)问是作一个角等于已知角的基础作图，按照尺规作等角的标准步骤，保证所作角的顶点为B、一边为BC、且位于直线BC上方，即可满足∠CBE=∠CAD的要求。
【解析】
(1) ①画直线BC：将直尺边缘对齐B、C两点，过B、C画出向两端无限延伸的直线，即为直线BC；
②画射线BA：以B为端点，将直尺对齐B、A，过A向远离B的方向画出仅一端延伸的线，即为射线BA；
③画线段AC：用直尺连接A、C两点，两端不延伸，即为线段AC。
(2) 先用圆规张开到与线段AC长度相等的宽度，再以A为圆心、AC长为半径，在射线BA上A点远离B的一侧画弧，弧与射线BA的交点即为D点，此时BD=AB+AD=AB+AC，符合要求。
(3) 按照尺规作一个角等于已知角的步骤：先以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AD于两点；再以B为圆心，相同长度为半径画弧，交BC于一点；随后用圆规量取A处弧上两个交点的距离，以B处弧和BC的交点为圆心、该距离为半径画弧，两弧交于一点，过B和该交点作射线BE，使BE位于直线BC上方，此时∠CBE=∠CAD，符合要求。
所有作图均保留痕迹即可。
【答案】
(1) 经过B、C两点作向两方无限延伸的直线BC，以点B为端点作经过点A的射线BA，连接点A、点C得到线段AC，上述图形即为所求。
(2) 在射线BA上作出点D，保留尺规作图痕迹，点D满足BD=AC+AB，点D即为所求。
(3) 在直线BC上方作出∠CBE，保留尺规作图痕迹，∠CBE满足∠CBE=∠CAD，∠CBE即为所求。
【知识点】
直线射线线段的画法；尺规作线段和差；尺规作等角
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，重点考察对基本几何图形特征的掌握和常用尺规作图方法的运用，作图时需注意区分直线、射线、线段的延伸性，同时满足题目对作图位置、等量关系的要求，保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
