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一、选择题
1. 下列语句中不正确的是 （
A.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B.有两边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
1. 下列语句中不正确的是 （
C
）A.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B.有两边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路如下：首先回忆三角形全等的通用判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）和直角三角形特有的HL判定定理，明确全等三角形的判定必须有边对应相等，再逐一验证每个选项是否符合判定条件，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们结合直角三角形全等的判定规则逐一分析选项：
A选项：斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形，本身已有直角相等，结合已知的一组锐角相等、斜边相等，符合AAS判定条件，因此两个三角形全等，该选项表述正确，不符合题意。
B选项：有两边对应相等的两个直角三角形，若两边为两条直角边，结合直角相等，符合SAS判定条件；若两边为一条直角边和斜边，符合HL判定条件，均能证明全等，该选项表述正确，不符合题意。
C选项：有两个锐角相等的两个直角三角形，只能证明三个角对应相等，没有边对应相等的条件，只能判定两个三角形相似，无法判定全等，该选项表述错误，符合题意。
D选项：有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形，结合直角相等，符合ASA或AAS判定条件，可证明全等，该选项表述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是熟记全等三角形的判定规则，注意全等判定必须有边的参与，仅角对应相等无法判定三角形全等。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路如下：首先回忆三角形全等的通用判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）和直角三角形特有的HL判定定理，明确全等三角形的判定必须有边对应相等，再逐一验证每个选项是否符合判定条件，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们结合直角三角形全等的判定规则逐一分析选项：
A选项：斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形，本身已有直角相等，结合已知的一组锐角相等、斜边相等，符合AAS判定条件，因此两个三角形全等，该选项表述正确，不符合题意。
B选项：有两边对应相等的两个直角三角形，若两边为两条直角边，结合直角相等，符合SAS判定条件；若两边为一条直角边和斜边，符合HL判定条件，均能证明全等，该选项表述正确，不符合题意。
C选项：有两个锐角相等的两个直角三角形，只能证明三个角对应相等，没有边对应相等的条件，只能判定两个三角形相似，无法判定全等，该选项表述错误，符合题意。
D选项：有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形，结合直角相等，符合ASA或AAS判定条件，可证明全等，该选项表述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是熟记全等三角形的判定规则，注意全等判定必须有边的参与，仅角对应相等无法判定三角形全等。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法中正确的是 （
A.每个命题都有逆命题
B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题是真命题
D.假命题的逆命题是假命题
A
）A.每个命题都有逆命题
B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题是真命题
D.假命题的逆命题是假命题
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先要明确命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，再结合反例逐一判断选项：第一步，先根据逆命题的定义判断A选项；第二步，结合逆定理的成立条件（逆命题需为真命题）判断B选项；第三步，通过举反例分别验证C、D选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们结合概念和反例逐一分析选项：
1. 分析选项A：命题由题设和结论两部分组成，将任意一个命题的题设和结论互换，就能得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题，A说法正确。
2. 分析选项B：定理是已经被证明为真的命题，只有当定理的逆命题也被证明为真命题时，才称其为原定理的逆定理。例如定理“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，这是假命题，因此该定理没有逆定理，说明不是所有定理都有逆定理，B说法错误。
3. 分析选项C：真命题的逆命题不一定是真命题，比如上述例子中，原命题“对顶角相等”是真命题，它的逆命题是假命题，C说法错误。
4. 分析选项D：假命题的逆命题不一定是假命题，比如原命题“相等的角是对顶角”是假命题，它的逆命题“对顶角相等”是真命题，D说法错误。
综上，正确答案选A。
【答案】
A
【知识点】
命题与逆命题；定理与逆定理；命题真假判断
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，核心考查对命题相关基本概念的理解，解题的关键是掌握“所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理”的规律，学会通过举反例快速判断命题的真假。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，再结合反例逐一判断选项：第一步，先根据逆命题的定义判断A选项；第二步，结合逆定理的成立条件（逆命题需为真命题）判断B选项；第三步，通过举反例分别验证C、D选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们结合概念和反例逐一分析选项：
1. 分析选项A：命题由题设和结论两部分组成，将任意一个命题的题设和结论互换，就能得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题，A说法正确。
2. 分析选项B：定理是已经被证明为真的命题，只有当定理的逆命题也被证明为真命题时，才称其为原定理的逆定理。例如定理“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，这是假命题，因此该定理没有逆定理，说明不是所有定理都有逆定理，B说法错误。
3. 分析选项C：真命题的逆命题不一定是真命题，比如上述例子中，原命题“对顶角相等”是真命题，它的逆命题是假命题，C说法错误。
4. 分析选项D：假命题的逆命题不一定是假命题，比如原命题“相等的角是对顶角”是假命题，它的逆命题“对顶角相等”是真命题，D说法错误。
综上，正确答案选A。
【答案】
A
【知识点】
命题与逆命题；定理与逆定理；命题真假判断
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，核心考查对命题相关基本概念的理解，解题的关键是掌握“所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理”的规律，学会通过举反例快速判断命题的真假。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$∠ B = ∠ D = 90°$，$AC = EC$，$AB = 4$，$ED = 2$，点$C$在线段$BD$上，若$∠ ACE = 90°$，则$△ ACE$的面积是（
A.8
B.25
C.10
D.20
C
）A.8
B.25
C.10
D.20
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：存在多个直角、边AC=EC，可优先考虑证明三角形全等。第一步利用直角三角形两锐角互余和平角的性质，推导得到相等的锐角，证明△ABC和△CDE全等，得到BC的长度；第二步在Rt△ABC中用勾股定理求出AC²的值；最后结合△ACE是等腰直角三角形的特点，用面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴∠BAC + ∠ACB = 90°，
又
∵∠ACE=90°，B、C、D共线，
∴∠ACB + ∠ECD = 180° - 90° = 90°，
∴∠BAC = ∠ECD（同角的余角相等）。
在△ABC和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠D = 90° \\∠BAC = ∠ECD \\AC = EC\end{array} $
∴△ABC ≌ △CDE（AAS），
∴BC = DE = 2。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 2^2 = 20$。
∵AC=EC，∠ACE=90°，
∴$S_{△ACE} = \frac{1}{2} × AC × EC = \frac{1}{2}AC^2 = \frac{1}{2} × 20 = 10$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是通过角的互余关系找到三角形全等的条件，将已知边长转化为直角三角形ABC的边长，再利用等腰直角三角形的面积特点简化计算，避免求AC的具体长度，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：存在多个直角、边AC=EC，可优先考虑证明三角形全等。第一步利用直角三角形两锐角互余和平角的性质，推导得到相等的锐角，证明△ABC和△CDE全等，得到BC的长度；第二步在Rt△ABC中用勾股定理求出AC²的值；最后结合△ACE是等腰直角三角形的特点，用面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴∠BAC + ∠ACB = 90°，
又
∵∠ACE=90°，B、C、D共线，
∴∠ACB + ∠ECD = 180° - 90° = 90°，
∴∠BAC = ∠ECD（同角的余角相等）。
在△ABC和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠D = 90° \\∠BAC = ∠ECD \\AC = EC\end{array} $
∴△ABC ≌ △CDE（AAS），
∴BC = DE = 2。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 2^2 = 20$。
∵AC=EC，∠ACE=90°，
∴$S_{△ACE} = \frac{1}{2} × AC × EC = \frac{1}{2}AC^2 = \frac{1}{2} × 20 = 10$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是通过角的互余关系找到三角形全等的条件，将已知边长转化为直角三角形ABC的边长，再利用等腰直角三角形的面积特点简化计算，避免求AC的具体长度，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理. 定理：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是
1. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理. 定理：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是
有两个角相等的三角形是等腰三角形
. 它们是互逆定理吗？是
（填“是”或“不是”）答案
1. 有两个角相等的三角形是等腰三角形；是
解析
【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先需要拆分原命题的题设（条件）和结论，再将题设和结论互换位置即可得到逆命题；判断两个定理是否为互逆定理，只需验证逆命题是否为真命题，若逆命题为真，则二者是互逆定理。首先找原定理“等腰三角形两底角相等”的题设：一个三角形是等腰三角形，结论：它的两个底角相等，互换后得到逆命题，再根据等腰三角形的判定定理判断逆命题的真假即可。
【解析】
1. 拆分原定理的题设和结论：
原定理“等腰三角形两底角相等”中，题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”。
2. 互换题设和结论得到逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
3. 判断逆命题真假：根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，可知该逆命题是真命题，因此这两个定理是互逆定理。
【答案】
有两个角相等的三角形是等腰三角形；是
【知识点】
逆命题的概念，互逆定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查逆命题的书写和互逆定理的判断，解题核心是准确区分原命题的条件和结论，同时需熟练掌握等腰三角形的性质与判定相关知识，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要写出一个命题的逆命题，首先需要拆分原命题的题设（条件）和结论，再将题设和结论互换位置即可得到逆命题；判断两个定理是否为互逆定理，只需验证逆命题是否为真命题，若逆命题为真，则二者是互逆定理。首先找原定理“等腰三角形两底角相等”的题设：一个三角形是等腰三角形，结论：它的两个底角相等，互换后得到逆命题，再根据等腰三角形的判定定理判断逆命题的真假即可。
【解析】
1. 拆分原定理的题设和结论：
原定理“等腰三角形两底角相等”中，题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”。
2. 互换题设和结论得到逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
3. 判断逆命题真假：根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，可知该逆命题是真命题，因此这两个定理是互逆定理。
【答案】
有两个角相等的三角形是等腰三角形；是
【知识点】
逆命题的概念，互逆定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查逆命题的书写和互逆定理的判断，解题核心是准确区分原命题的条件和结论，同时需熟练掌握等腰三角形的性质与判定相关知识，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
2. 如图是某车站地下通道入口的设计示意图，其中AD是运送行人和物品的电动扶梯，点D在BC的延长线上，BC = 1 m，AD = 14 m，AB // CM // DN，AB ⊥ BD，CE ⊥ AD，∠BAD = 30°. 地下通道入口的最大高度CE =
$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
.答案
2. $3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据AB⊥BD、∠BAD=30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出BD的长度；再结合BC的长度算出CD的长度；接着根据直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，最后在Rt△CDE中，利用30°角的性质和勾股定理求出CE的长度即可。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=14m，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×14=7\ \mathrm{m}$，
∵BC=1m，
∴$CD=BD-BC=7-1=6\ \mathrm{m}$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°-∠ BAD=90°-30°=60°$，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，$∠ DCE=90°-∠ CDE=90°-60°=30°$，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理：$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查直角三角形的相关计算，解题的关键是找准各直角三角形之间的边长、角度关联，熟练运用30°直角三角形的性质和勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据AB⊥BD、∠BAD=30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出BD的长度；再结合BC的长度算出CD的长度；接着根据直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，最后在Rt△CDE中，利用30°角的性质和勾股定理求出CE的长度即可。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=14m，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×14=7\ \mathrm{m}$，
∵BC=1m，
∴$CD=BD-BC=7-1=6\ \mathrm{m}$，
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°-∠ BAD=90°-30°=60°$，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，$∠ DCE=90°-∠ CDE=90°-60°=30°$，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理：$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查直角三角形的相关计算，解题的关键是找准各直角三角形之间的边长、角度关联，熟练运用30°直角三角形的性质和勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
3. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 根据
HL
判定$△ AA'B ≌ BB'A$，所以$AA'=$$BB'$
.答案
3. HL；$BB'$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：横板的中点O，可得A'B=AB'；AA'、BB'均垂直于地面AB，因此△AA'B和△BB'A都是直角三角形。要判定两个直角三角形全等，结合已有的边的条件：两个三角形有公共边AB=BA，且斜边A'B=AB'，符合直角三角形全等的HL判定条件。全等后对应边相等，即可得到AA'的对应边为BB'。
【解析】
∵O是横板A'B与AB'的中点，
∴OA'=OB，OB'=OA，
∴OA'+OB'=OA+OB，即$A'B=AB'$。
又
∵$AA'⊥ AB$，$BB'⊥ AB$，
∴$∠ A'AB=∠ B'BA=90°$，△AA'B和△BB'A均为直角三角形。
在$Rt△ AA'B$和$Rt△ BB'A$中：
$\{\begin{array}{l}A'B=B'A\\AB=BA\end{array} $
∴$Rt△ AA'B≌ Rt△ BB'A(\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$AA'=BB'$。
【答案】
HL；$BB'$
【知识点】
HL判定定理，全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中跷跷板的场景考查几何知识，解题的关键是结合中点性质得到对应边相等，再利用直角三角形全等判定定理证明全等，难度不大，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：横板的中点O，可得A'B=AB'；AA'、BB'均垂直于地面AB，因此△AA'B和△BB'A都是直角三角形。要判定两个直角三角形全等，结合已有的边的条件：两个三角形有公共边AB=BA，且斜边A'B=AB'，符合直角三角形全等的HL判定条件。全等后对应边相等，即可得到AA'的对应边为BB'。
【解析】
∵O是横板A'B与AB'的中点，
∴OA'=OB，OB'=OA，
∴OA'+OB'=OA+OB，即$A'B=AB'$。
又
∵$AA'⊥ AB$，$BB'⊥ AB$，
∴$∠ A'AB=∠ B'BA=90°$，△AA'B和△BB'A均为直角三角形。
在$Rt△ AA'B$和$Rt△ BB'A$中：
$\{\begin{array}{l}A'B=B'A\\AB=BA\end{array} $
∴$Rt△ AA'B≌ Rt△ BB'A(\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$AA'=BB'$。
【答案】
HL；$BB'$
【知识点】
HL判定定理，全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中跷跷板的场景考查几何知识，解题的关键是结合中点性质得到对应边相等，再利用直角三角形全等判定定理证明全等，难度不大，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
