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三、解答题
1. 将$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ DAE$按如图所示的方式摆放，延长$DE$交$BC$于点$F$，连接$AF$，其中$∠ ACB = ∠ DEA = 90°$，$AD = AB$，$BC = BF + EF$.
(1)证明:$AE = AC$;
(2)若$AE = 5$，$AD = 13$，求$CF$长.
1. 将$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ DAE$按如图所示的方式摆放，延长$DE$交$BC$于点$F$，连接$AF$，其中$∠ ACB = ∠ DEA = 90°$，$AD = AB$，$BC = BF + EF$.
(1)证明:$AE = AC$;
(2)若$AE = 5$，$AD = 13$，求$CF$长.
答案
1. (1)证$△ AEF ≌ △ ACF$ (2)$\dfrac{10}{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明AE=AC，观察两条线段分别位于Rt△AEF和Rt△ACF中，首先根据BC的线段和差关系：BC=BF+CF，结合已知BC=BF+EF，可推出EF=CF；再结合两个三角形均为直角三角形、公共斜边AF，利用HL即可证明两三角形全等，得到对应边相等。
(2) 求CF长时，先在Rt△ADE和Rt△ABC中用勾股定理分别算出DE、BC的长度，再根据对顶角相等得到∠BEF=90°，算出BE的长度，设CF为x，用含x的式子表示EF和BF，最后在Rt△BEF中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 线段BC可分为BF和CF两段，即$BC = BF + CF$，
又已知$BC = BF + EF$，
∴ $EF = CF$。
∵ $∠DEA = 90°$，
∴ $∠AEF = 180° - ∠DEA = 90°$，
∴ $∠AEF = ∠C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△AEF$和$\mathrm{Rt}△ACF$中：
$\begin{cases} AF = AF\quad (\mathrm{公共边}) \\ EF = CF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△AEF ≌ \mathrm{Rt}△ACF\ (\mathrm{HL})$，
∴ $AE = AC$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AD=13$，$AE=5$，由勾股定理得：
$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$。
∵ $AD=AB=13$，由(1)得$AE=AC=5$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$。
∵ $∠BEF$与$∠DEA$是对顶角，
∴ $∠BEF = ∠DEA = 90°$，且$BE = AB - AE = 13 - 5 = 8$。
设$CF = x$，由(1)知$EF = CF = x$，则$BF = BC - CF = 12 - x$。
在$\mathrm{Rt}△BEF$中，由勾股定理得：
$BE^2 + EF^2 = BF^2$，
代入得$8^2 + x^2 = (12 - x)^2$，
展开：$64 + x^2 = 144 - 24x + x^2$，
化简得$24x = 80$，
解得$x = \frac{10}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\dfrac{10}{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问的关键是通过线段和差得到相等的边，找到全等的条件；第二问考查了用方程思想解决几何线段求解问题，需要熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AE=AC，观察两条线段分别位于Rt△AEF和Rt△ACF中，首先根据BC的线段和差关系：BC=BF+CF，结合已知BC=BF+EF，可推出EF=CF；再结合两个三角形均为直角三角形、公共斜边AF，利用HL即可证明两三角形全等，得到对应边相等。
(2) 求CF长时，先在Rt△ADE和Rt△ABC中用勾股定理分别算出DE、BC的长度，再根据对顶角相等得到∠BEF=90°，算出BE的长度，设CF为x，用含x的式子表示EF和BF，最后在Rt△BEF中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 线段BC可分为BF和CF两段，即$BC = BF + CF$，
又已知$BC = BF + EF$，
∴ $EF = CF$。
∵ $∠DEA = 90°$，
∴ $∠AEF = 180° - ∠DEA = 90°$，
∴ $∠AEF = ∠C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△AEF$和$\mathrm{Rt}△ACF$中：
$\begin{cases} AF = AF\quad (\mathrm{公共边}) \\ EF = CF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△AEF ≌ \mathrm{Rt}△ACF\ (\mathrm{HL})$，
∴ $AE = AC$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AD=13$，$AE=5$，由勾股定理得：
$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$。
∵ $AD=AB=13$，由(1)得$AE=AC=5$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$。
∵ $∠BEF$与$∠DEA$是对顶角，
∴ $∠BEF = ∠DEA = 90°$，且$BE = AB - AE = 13 - 5 = 8$。
设$CF = x$，由(1)知$EF = CF = x$，则$BF = BC - CF = 12 - x$。
在$\mathrm{Rt}△BEF$中，由勾股定理得：
$BE^2 + EF^2 = BF^2$，
代入得$8^2 + x^2 = (12 - x)^2$，
展开：$64 + x^2 = 144 - 24x + x^2$，
化简得$24x = 80$，
解得$x = \frac{10}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\dfrac{10}{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问的关键是通过线段和差得到相等的边，找到全等的条件；第二问考查了用方程思想解决几何线段求解问题，需要熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
2.已知:如图,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.
(1)求证:AC=BE;
(2)若BE⊥DC,求∠BDC的度数.
(1)求证:AC=BE;
(2)若BE⊥DC,求∠BDC的度数.
答案
2. (1)证$△ ACD ≌ △ BED$ (2)$30°$
解析
【分析】
(1) 要证AC=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知两个等边三角形，可得到对应边相等、内角均为60°，通过角的和差推导得到相等的夹角，用SAS即可判定三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 已知BE⊥DC，结合△DCE是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质可得BE是DC的垂直平分线，推出BD=BC，再结合等边△ABD的性质得到△BDC为等腰三角形，结合平角定义和等腰三角形内角和性质即可计算∠BDC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABD和△DCE都是等边三角形，
∴AD=BD，DC=DE，∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，
在△ACD和△BED中：
$\{\begin{array}{l}AD=BD \\∠ADC=∠BDE \\DC=DE\end{array} $
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴AC=BE。
(2) 解：
∵△DCE是等边三角形，BE⊥DC，
∴BE垂直平分DC（等边三角形三线合一），
∴BD=BC，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，∠ABD=60°，
∴BD=BC，△BDC为等腰三角形，
又
∵∠DBC=180°-∠ABD=180°-60°=120°，
∴∠BDC=$\frac{180°-∠DBC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】
(1) 证明△ACD≌△BED即可得AC=BE；(2) $30°$
【知识点】
1. 等边三角形性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题核心是利用等边三角形的性质推导全等判定条件和边的等量关系，能够较好地考察学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AC=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知两个等边三角形，可得到对应边相等、内角均为60°，通过角的和差推导得到相等的夹角，用SAS即可判定三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 已知BE⊥DC，结合△DCE是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质可得BE是DC的垂直平分线，推出BD=BC，再结合等边△ABD的性质得到△BDC为等腰三角形，结合平角定义和等腰三角形内角和性质即可计算∠BDC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABD和△DCE都是等边三角形，
∴AD=BD，DC=DE，∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，
在△ACD和△BED中：
$\{\begin{array}{l}AD=BD \\∠ADC=∠BDE \\DC=DE\end{array} $
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴AC=BE。
(2) 解：
∵△DCE是等边三角形，BE⊥DC，
∴BE垂直平分DC（等边三角形三线合一），
∴BD=BC，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，∠ABD=60°，
∴BD=BC，△BDC为等腰三角形，
又
∵∠DBC=180°-∠ABD=180°-60°=120°，
∴∠BDC=$\frac{180°-∠DBC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】
(1) 证明△ACD≌△BED即可得AC=BE；(2) $30°$
【知识点】
1. 等边三角形性质
2. 全等三角形判定与性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题核心是利用等边三角形的性质推导全等判定条件和边的等量关系，能够较好地考察学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
