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一、选择题
1. 尺规作图要求:已知$△ ABC$,直线$l$和点$M$,作$△ A'B'C'$,使其与$△ ABC$全等且一条边在直线$l$上,一条边过点$M$,下图是小红的作图痕迹,小林说:“小红的作图完全正确,作图依据是AAS.”下列判断正确的是 (
A.小林说的完全正确
B.小林只说对一半,作图依据应是HL
C.小林只说对一半,作图依据应是SAS
D.小林说的完全不正确
1. 尺规作图要求:已知$△ ABC$,直线$l$和点$M$,作$△ A'B'C'$,使其与$△ ABC$全等且一条边在直线$l$上,一条边过点$M$,下图是小红的作图痕迹,小林说:“小红的作图完全正确,作图依据是AAS.”下列判断正确的是 (
C
)A.小林说的完全正确
B.小林只说对一半,作图依据应是HL
C.小林只说对一半,作图依据应是SAS
D.小林说的完全不正确
答案
1.C
解析
【分析】
首先需要先判断作图是否正确，再确定全等的判定依据，进而判断小林的说法是否正确。首先观察原△ABC是直角三角形，∠B=90°：第一步作图是在直线l上截取与BC等长的线段B'C'，得到一组对应边相等；第二步过B'作直线l的垂线，得到∠A'B'C'=∠B=90°，得到一组对应角相等；第三步在垂线上截取与AB等长的线段A'B'，得到另一组对应边相等。此时两个三角形满足两边及其夹角相等，符合SAS的全等判定条件，作图是正确的。小林说作图正确是对的，但说依据是AAS是错的，因此小林只说对一半，依据为SAS。
【解析】
解：观察作图痕迹和原三角形特征：
1. 原△ABC中，∠B=90°，作图时先在直线l上截取$B'C'=BC$，得到一组对应边相等；
2. 过$B'$作直线l的垂线，可得$∠A'B'C'=∠B=90°$，得到一组对应角相等；
3. 在垂线上截取$A'B'=AB$，得到另一组对应边相等。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\{\begin{array}{l}AB=A'B'\\∠B=∠A'B'C'\\BC=B'C'\end{array} $
∴$△ ABC≌△ A'B'C'(\mathrm{SAS})$，可知小红的作图完全正确，但全等依据是SAS，不是AAS。
因此小林的说法中“作图完全正确”是对的，“依据是AAS”是错的，即小林只说对一半，作图依据是SAS，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；尺规作图；SAS判定
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题的关键是通过作图痕迹梳理出相等的边和角，准确对应全等判定的条件，注意区分不同全等判定定理的适用场景，避免混淆各定理的条件要求。
【难度系数】
0.7
首先需要先判断作图是否正确，再确定全等的判定依据，进而判断小林的说法是否正确。首先观察原△ABC是直角三角形，∠B=90°：第一步作图是在直线l上截取与BC等长的线段B'C'，得到一组对应边相等；第二步过B'作直线l的垂线，得到∠A'B'C'=∠B=90°，得到一组对应角相等；第三步在垂线上截取与AB等长的线段A'B'，得到另一组对应边相等。此时两个三角形满足两边及其夹角相等，符合SAS的全等判定条件，作图是正确的。小林说作图正确是对的，但说依据是AAS是错的，因此小林只说对一半，依据为SAS。
【解析】
解：观察作图痕迹和原三角形特征：
1. 原△ABC中，∠B=90°，作图时先在直线l上截取$B'C'=BC$，得到一组对应边相等；
2. 过$B'$作直线l的垂线，可得$∠A'B'C'=∠B=90°$，得到一组对应角相等；
3. 在垂线上截取$A'B'=AB$，得到另一组对应边相等。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\{\begin{array}{l}AB=A'B'\\∠B=∠A'B'C'\\BC=B'C'\end{array} $
∴$△ ABC≌△ A'B'C'(\mathrm{SAS})$，可知小红的作图完全正确，但全等依据是SAS，不是AAS。
因此小林的说法中“作图完全正确”是对的，“依据是AAS”是错的，即小林只说对一半，作图依据是SAS，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；尺规作图；SAS判定
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定，解题的关键是通过作图痕迹梳理出相等的边和角，准确对应全等判定的条件，注意区分不同全等判定定理的适用场景，避免混淆各定理的条件要求。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 （
A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
C
）A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先抓住题干核心要求：凉亭到三角形三条边的距离相等。首先回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若要同时到三条边距离相等，该点需同时在三个内角的角平分线上，也就是三角形三条角平分线的交点。接下来逐一分析各选项对应交点的性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项对应的交点性质：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不具备到三边距离相等的特点，不符合要求；
B. 三角形三边中垂线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边距离相等，不符合要求；
C. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点，到三角形三条边的距离都相等，符合题意；
D. 三角形三条高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查三角形不同特殊线段交点的性质区分，只要准确记忆各特殊点的对应性质，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干核心要求：凉亭到三角形三条边的距离相等。首先回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若要同时到三条边距离相等，该点需同时在三个内角的角平分线上，也就是三角形三条角平分线的交点。接下来逐一分析各选项对应交点的性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项对应的交点性质：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不具备到三边距离相等的特点，不符合要求；
B. 三角形三边中垂线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边距离相等，不符合要求；
C. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点，到三角形三条边的距离都相等，符合题意；
D. 三角形三条高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查三角形不同特殊线段交点的性质区分，只要准确记忆各特殊点的对应性质，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 弓箭是一种威力大、射程远的兵器，如图，已知箭杆CD垂直平分弓弦AB.当$∠ ACB$的度数为$120°$时$∠ ACD$的度数为
1. 弓箭是一种威力大、射程远的兵器，如图，已知箭杆CD垂直平分弓弦AB.当$∠ ACB$的度数为$120°$时$∠ ACD$的度数为
60°
.答案
1.60°
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“CD垂直平分AB”入手，先根据线段垂直平分线的性质可得点C到A、B的距离相等，即AC=BC，由此判断△ACB是等腰三角形；再结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知CD是顶角∠ACB的角平分线，因此∠ACD是∠ACB的一半，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵CD垂直平分AB，
∴AC=BC，且CD⊥AB，
∴△ACB是等腰三角形，CD为等腰△ACB底边AB上的高。
根据等腰三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB，
又
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD = $\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
60°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何填空题，侧重考察核心几何性质的直接应用，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的相关性质，是几何学习中常见的基础考点题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件“CD垂直平分AB”入手，先根据线段垂直平分线的性质可得点C到A、B的距离相等，即AC=BC，由此判断△ACB是等腰三角形；再结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知CD是顶角∠ACB的角平分线，因此∠ACD是∠ACB的一半，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵CD垂直平分AB，
∴AC=BC，且CD⊥AB，
∴△ACB是等腰三角形，CD为等腰△ACB底边AB上的高。
根据等腰三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB，
又
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD = $\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
60°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何填空题，侧重考察核心几何性质的直接应用，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的相关性质，是几何学习中常见的基础考点题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$CF$是斜边$AB$上的高,角平分线$BD$交$CF$于点$G$,$DE ⊥ AB$于点$E$,则下列结论:①$∠ A = ∠ BCF$;②$CD = CG$;③$AD = BD$;④$BC = BE$. 正确结论的序号是________.
答案
2.①②④
解析
【分析】
解题时我们结合直角三角形性质、角平分线性质，逐一判断每个结论：1. 结论①可利用同角的余角相等推导；2. 结论②通过角平分线定义结合余角性质推导角相等，再用等角对等边得到边相等；3. 结论③需判断是否有条件推出∠A=∠ABD，无相关特殊条件则不成立；4. 结论④利用角平分线性质结合HL证明三角形全等，推导边相等。
【解析】
我们逐个验证结论：
1. 验证①：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，故$∠ A + ∠ ABC = 90°$。
因为$CF⊥ AB$，$∠ BFC=90°$，故$∠ BCF + ∠ ABC = 90°$。
根据同角的余角相等，得$∠ A = ∠ BCF$，①正确。
2. 验证②：
$BD$是$∠ ABC$的角平分线，故$∠ CBD = ∠ ABD$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ CDB + ∠ CBD = 90°$；在$\mathrm{Rt}△BGF$中，$∠ BGF + ∠ ABD = 90°$，因此$∠ CDB = ∠ BGF$。
又$∠ BGF=∠ CGD$（对顶角相等），故$∠ CDB = ∠ CGD$，根据等角对等边得$CD = CG$，②正确。
3. 验证③：
若$AD=BD$，则$∠ A=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$，可推出$∠ A=30°$，但题目未给出$∠ A$的特殊度数，也无相关推导条件，因此该结论不一定成立，③错误。
4. 验证④：
$BD$是角平分线，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质得$CD=DE$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△BED$中，$\begin{cases}BD=BD \\ CD=DE\end{cases}$，由HL判定得$\mathrm{Rt}△BCD ≌ \mathrm{Rt}△BED$，故$BC=BE$，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是直角三角形背景下的结论判断题，需要结合相关几何性质逐一推导验证，注意没有给出特殊角度或边的限制条件时，不能默认特殊相等关系成立。
【难度系数】
0.7
解题时我们结合直角三角形性质、角平分线性质，逐一判断每个结论：1. 结论①可利用同角的余角相等推导；2. 结论②通过角平分线定义结合余角性质推导角相等，再用等角对等边得到边相等；3. 结论③需判断是否有条件推出∠A=∠ABD，无相关特殊条件则不成立；4. 结论④利用角平分线性质结合HL证明三角形全等，推导边相等。
【解析】
我们逐个验证结论：
1. 验证①：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，故$∠ A + ∠ ABC = 90°$。
因为$CF⊥ AB$，$∠ BFC=90°$，故$∠ BCF + ∠ ABC = 90°$。
根据同角的余角相等，得$∠ A = ∠ BCF$，①正确。
2. 验证②：
$BD$是$∠ ABC$的角平分线，故$∠ CBD = ∠ ABD$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ CDB + ∠ CBD = 90°$；在$\mathrm{Rt}△BGF$中，$∠ BGF + ∠ ABD = 90°$，因此$∠ CDB = ∠ BGF$。
又$∠ BGF=∠ CGD$（对顶角相等），故$∠ CDB = ∠ CGD$，根据等角对等边得$CD = CG$，②正确。
3. 验证③：
若$AD=BD$，则$∠ A=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$，可推出$∠ A=30°$，但题目未给出$∠ A$的特殊度数，也无相关推导条件，因此该结论不一定成立，③错误。
4. 验证④：
$BD$是角平分线，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质得$CD=DE$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△BED$中，$\begin{cases}BD=BD \\ CD=DE\end{cases}$，由HL判定得$\mathrm{Rt}△BCD ≌ \mathrm{Rt}△BED$，故$BC=BE$，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是直角三角形背景下的结论判断题，需要结合相关几何性质逐一推导验证，注意没有给出特殊角度或边的限制条件时，不能默认特殊相等关系成立。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在点O处用钉子将木条AB,CD钉在一起,P是木条CD上一点,用橡皮筋连接AP,BP,固定木条AB,把木条CD绕O转动.若O是AB的中点,当$△ PAB$的面积最大时,$∠ PAO$与$∠ PBO$之间存在的数量关系为
∠PAO=∠PBO
.答案
3.∠PAO=∠PBO
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先确定△PAB面积的影响因素：因为木条AB固定，所以AB的长度是定值，根据三角形面积公式，△PAB的面积大小由点P到AB的距离（即AB边上的高）决定，高越大，面积越大。第二步，找高最大的位置：木条CD绕O转动，点P在CD上，当CD垂直于AB时，点P到AB的距离达到最大值，此时△PAB的面积最大。第三步，推导角的关系：此时CD垂直平分AB，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，再结合等腰三角形的性质就能得到两个角的数量关系。
【解析】
∵ 木条AB固定，
∴ AB的长度为定值，
△PAB的面积$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × h$，其中$h$是点P到AB的垂线段长度，
∴ 当$h$最大时，$S_{△ PAB}$最大。
∵ CD绕点O转动，
∴ 当CD⊥AB时，点P到AB的距离$h$取得最大值，此时△PAB的面积最大。
又
∵ O是AB的中点，CD⊥AB，
∴ CD是线段AB的垂直平分线，
∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ △PAB是等腰三角形，
∴ ∠PAB=∠PBA，即$∠ PAO=∠ PBO$。
【答案】
$∠ PAO=∠ PBO$
【知识点】
三角形面积计算，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是动态几何中的最值与角度关系结合的题型，解题的关键是先抓住不变量，明确面积最大的位置，再结合基础几何性质推导结论，能有效考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先确定△PAB面积的影响因素：因为木条AB固定，所以AB的长度是定值，根据三角形面积公式，△PAB的面积大小由点P到AB的距离（即AB边上的高）决定，高越大，面积越大。第二步，找高最大的位置：木条CD绕O转动，点P在CD上，当CD垂直于AB时，点P到AB的距离达到最大值，此时△PAB的面积最大。第三步，推导角的关系：此时CD垂直平分AB，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，再结合等腰三角形的性质就能得到两个角的数量关系。
【解析】
∵ 木条AB固定，
∴ AB的长度为定值，
△PAB的面积$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × h$，其中$h$是点P到AB的垂线段长度，
∴ 当$h$最大时，$S_{△ PAB}$最大。
∵ CD绕点O转动，
∴ 当CD⊥AB时，点P到AB的距离$h$取得最大值，此时△PAB的面积最大。
又
∵ O是AB的中点，CD⊥AB，
∴ CD是线段AB的垂直平分线，
∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ △PAB是等腰三角形，
∴ ∠PAB=∠PBA，即$∠ PAO=∠ PBO$。
【答案】
$∠ PAO=∠ PBO$
【知识点】
三角形面积计算，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是动态几何中的最值与角度关系结合的题型，解题的关键是先抓住不变量，明确面积最大的位置，再结合基础几何性质推导结论，能有效考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
