登录
三、解答题
1. 如图，点F在线段AB上，AD//BC，AC交DF于点E，∠BAC = ∠ADF，AE = BC。
求证：△ACD是等腰三角形.
1. 如图，点F在线段AB上，AD//BC，AC交DF于点E，∠BAC = ∠ADF，AE = BC。
求证：△ACD是等腰三角形.
答案
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$。
在$△ ADE$和$△ CAB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ADF = ∠ BAC \\∠ DAE = ∠ BCA \\AE = BC\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CAB$（AAS）。
∴ $AD = AC$。
∴ $△ ACD$是等腰三角形。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$。
在$△ ADE$和$△ CAB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ADF = ∠ BAC \\∠ DAE = ∠ BCA \\AE = BC\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CAB$（AAS）。
∴ $AD = AC$。
∴ $△ ACD$是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形有两条边相等，结合图形特征可优先证明AD=AC。要得到AD=AC，可通过证明包含这两条边的三角形全等来实现：首先由AD//BC可得内错角∠DAC=∠BCA，再结合题目已知的∠ADF=∠BAC、AE=BC两组条件，刚好满足AAS全等判定的要求，可证△ADE≌△CAB，由全等三角形对应边相等即可得AD=AC，最终证明△ACD是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ADE$和$△ CAB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADF = ∠ BAC \\∠ DAE = ∠ BCA \\AE = BC\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CAB$（AAS）。
∴ $AD = AC$（全等三角形对应边相等）。
∴ $△ ACD$是等腰三角形。
【答案】
△ACD是等腰三角形，得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件找到对应全等三角形，利用全等关系实现边相等的转化，能够有效考察学生对基础几何定理的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形有两条边相等，结合图形特征可优先证明AD=AC。要得到AD=AC，可通过证明包含这两条边的三角形全等来实现：首先由AD//BC可得内错角∠DAC=∠BCA，再结合题目已知的∠ADF=∠BAC、AE=BC两组条件，刚好满足AAS全等判定的要求，可证△ADE≌△CAB，由全等三角形对应边相等即可得AD=AC，最终证明△ACD是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ADE$和$△ CAB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADF = ∠ BAC \\∠ DAE = ∠ BCA \\AE = BC\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CAB$（AAS）。
∴ $AD = AC$（全等三角形对应边相等）。
∴ $△ ACD$是等腰三角形。
【答案】
△ACD是等腰三角形，得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件找到对应全等三角形，利用全等关系实现边相等的转化，能够有效考察学生对基础几何定理的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
2. 在$14×4$的网格中,网格线的交点称为格点,直线$l,m$及格点$A,B$的位置如图所示,连接$AB$.
(1)画出线段$AB$关于直线$l$的轴对称线段$A'B'$;
(2)在直线$l$上找出点$C$,使得$AC + BC$最小;
(3)在(1)的基础上,利用尺规在直线$m$上找一点$P$,使得点$P$到点$A',B'$的距离相等(保留作图痕迹,不用写过程)
$A$•——————•$B$
(1)画出线段$AB$关于直线$l$的轴对称线段$A'B'$;
(2)在直线$l$上找出点$C$,使得$AC + BC$最小;
(3)在(1)的基础上,利用尺规在直线$m$上找一点$P$,使得点$P$到点$A',B'$的距离相等(保留作图痕迹,不用写过程)
$A$•——————•$B$
答案
解：
(1) 依据轴对称的性质，分别作出点A、点B关于直线l的对称点$A'$、$B'$，连接$A'B'$，所得线段即为线段AB关于直线l的轴对称线段。
(2) 由轴对称性质得$AC=A'C$，因此$AC+BC=A'C+BC$，根据两点之间线段最短，连接$A'B$，该连线与直线l的交点即为所求的点C，此时$AC+BC$最小。
(3) 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，分别以$A'$、$B'$为圆心，大于$\frac{1}{2}A'B'$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线与直线m的交点即为所求的点P，保留对应尺规作图痕迹即可。
(1) 依据轴对称的性质，分别作出点A、点B关于直线l的对称点$A'$、$B'$，连接$A'B'$，所得线段即为线段AB关于直线l的轴对称线段。
(2) 由轴对称性质得$AC=A'C$，因此$AC+BC=A'C+BC$，根据两点之间线段最短，连接$A'B$，该连线与直线l的交点即为所求的点C，此时$AC+BC$最小。
(3) 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，分别以$A'$、$B'$为圆心，大于$\frac{1}{2}A'B'$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，该直线与直线m的交点即为所求的点P，保留对应尺规作图痕迹即可。
解析
【分析】
要解决这三个作图问题，需结合对应几何性质逐步分析：
(1) 作轴对称线段的核心是找对应点的对称点，根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等、连线与对称轴垂直，只需先确定A、B关于直线l的对称点，连接即可得到所求线段。
(2) 求直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，用将军饮马模型的思路：利用轴对称将其中一个点转移到直线另一侧，根据两点之间线段最短，连接转移后的点与另一个点，和直线的交点即为所求点，可将距离和转化为线段长度实现最小。
(3) 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上，因此只需作出A'B'的垂直平分线，它与直线m的交点就是满足条件的P点，用尺规作线段垂直平分线的标准方法操作即可。
【解析】
(1) 先数出点A到直线l的水平格数，在直线l右侧相同格数位置找到A的对称点A'，同理找到点B关于直线l的对称点B'，连接A'B'，线段A'B'就是线段AB关于直线l的轴对称线段。
(2) 连接A'与B，线段A'B和直线l的交点即为点C，由轴对称性质得AC=A'C，因此AC+BC=A'C+BC，根据两点之间线段最短，此时AC+BC的值最小。
(3) 分别以A'、B'为圆心，取大于$\frac{1}{2}A'B'$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线（即A'B'的垂直平分线），该直线和直线m的交点即为所求的点P，保留所有作图痕迹即可。
【答案】
(1) 线段A'B'即为所求；
(2) A'B与直线l的交点C即为所求；
(3) A'B'的垂直平分线与直线m的交点P即为所求。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础作图题，结合网格考察了多个常见几何作图的应用，解题的关键是熟练掌握对应几何性质，明确每一步作图的依据，就能准确完成作图。
【难度系数】
0.8
要解决这三个作图问题，需结合对应几何性质逐步分析：
(1) 作轴对称线段的核心是找对应点的对称点，根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等、连线与对称轴垂直，只需先确定A、B关于直线l的对称点，连接即可得到所求线段。
(2) 求直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，用将军饮马模型的思路：利用轴对称将其中一个点转移到直线另一侧，根据两点之间线段最短，连接转移后的点与另一个点，和直线的交点即为所求点，可将距离和转化为线段长度实现最小。
(3) 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上，因此只需作出A'B'的垂直平分线，它与直线m的交点就是满足条件的P点，用尺规作线段垂直平分线的标准方法操作即可。
【解析】
(1) 先数出点A到直线l的水平格数，在直线l右侧相同格数位置找到A的对称点A'，同理找到点B关于直线l的对称点B'，连接A'B'，线段A'B'就是线段AB关于直线l的轴对称线段。
(2) 连接A'与B，线段A'B和直线l的交点即为点C，由轴对称性质得AC=A'C，因此AC+BC=A'C+BC，根据两点之间线段最短，此时AC+BC的值最小。
(3) 分别以A'、B'为圆心，取大于$\frac{1}{2}A'B'$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线（即A'B'的垂直平分线），该直线和直线m的交点即为所求的点P，保留所有作图痕迹即可。
【答案】
(1) 线段A'B'即为所求；
(2) A'B与直线l的交点C即为所求；
(3) A'B'的垂直平分线与直线m的交点P即为所求。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础作图题，结合网格考察了多个常见几何作图的应用，解题的关键是熟练掌握对应几何性质，明确每一步作图的依据，就能准确完成作图。
【难度系数】
0.8
