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3. 如图,已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE=
√3
.答案
3.√3
解析
【分析】
解题时先结合等边三角形的性质分析已知条件：首先等边三角形内角为60°，中线兼具高、角平分线的功能（三线合一），可先求出BD的长度，再通过等腰三角形性质和三角形外角性质推导∠DBC=∠E，得到BD=DE，即可求出DE的长。具体思路：1. 利用等边三角形三线合一，得BD⊥AC，BC=2CD=2，用勾股定理求BD；2. 由CE=CD得△CDE为等腰，结合∠ACB是△CDE的外角，求出∠E=30°；3. 对比∠DBC=30°，得BD=DE，得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BD为中线
∴∠ACB=60°，BD⊥AC（三线合一），∠DBC=1/2∠ABC=30°，AC=BC=2CD
∵CD=1
∴BC=2×1=2
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2 - CD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
∵CE=CD
∴∠CDE=∠E
又
∵∠ACB是△CDE的外角
∴∠ACB=∠CDE + ∠E=2∠E=60°
解得∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°
∴BD=DE
∴DE=$\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题型，解题核心是通过等边三角形三线合一和外角性质完成角的等量推导，实现线段的转化，不需要复杂的辅助线，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合等边三角形的性质分析已知条件：首先等边三角形内角为60°，中线兼具高、角平分线的功能（三线合一），可先求出BD的长度，再通过等腰三角形性质和三角形外角性质推导∠DBC=∠E，得到BD=DE，即可求出DE的长。具体思路：1. 利用等边三角形三线合一，得BD⊥AC，BC=2CD=2，用勾股定理求BD；2. 由CE=CD得△CDE为等腰，结合∠ACB是△CDE的外角，求出∠E=30°；3. 对比∠DBC=30°，得BD=DE，得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BD为中线
∴∠ACB=60°，BD⊥AC（三线合一），∠DBC=1/2∠ABC=30°，AC=BC=2CD
∵CD=1
∴BC=2×1=2
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2 - CD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
∵CE=CD
∴∠CDE=∠E
又
∵∠ACB是△CDE的外角
∴∠ACB=∠CDE + ∠E=2∠E=60°
解得∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°
∴BD=DE
∴DE=$\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题型，解题核心是通过等边三角形三线合一和外角性质完成角的等量推导，实现线段的转化，不需要复杂的辅助线，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1.已知:如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,点$D$是$BC$边的中点,作$∠ EAB = ∠ BAD$,AE边交CB的延长线于点$E$,延长$AD$到点$F$,使$AF = AE$,连接$CF$.
(1)求证:$BE = CF$
(2)若$∠ ABC = 60°$,求$∠ F$的度数
1.已知:如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,点$D$是$BC$边的中点,作$∠ EAB = ∠ BAD$,AE边交CB的延长线于点$E$,延长$AD$到点$F$,使$AF = AE$,连接$CF$.
(1)求证:$BE = CF$
(2)若$∠ ABC = 60°$,求$∠ F$的度数
答案
1.(1)证$△ ABE ≌ △ ACF$ (2)$∠ F = 30°$
解析
【分析】
(1) 要证BE=CF，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等：BE属于△ABE，CF属于△ACF，先利用等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，结合已知∠EAB=∠BAD可推出两组三角形的夹角∠EAB=∠CAF，再搭配已知的AB=AC、AE=AF，即可用SAS判定△ABE≌△ACF，进而得到对应边相等。
(2) 先根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，再结合角平分线性质求出∠EAB=30°，最后利用三角形外角性质求∠E的度数，结合全等三角形对应角相等即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，点D是BC的中点，
∴ $∠BAD=∠CAD$（等腰三角形三线合一），
又
∵ $∠EAB=∠BAD$，
∴ $∠EAB=∠CAF$，
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}AB=AC（已知）\\∠EAB=∠CAF（已证）\\AE=AF（已知）\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACF$（SAS），
∴ $BE=CF$（全等三角形对应边相等）。
(2) 解：
∵ $AB=AC$，$∠ABC=60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ $∠BAC=60°$，
∵ D是BC中点，AD平分$∠BAC$，
∴ $∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=30°$，
∴ $∠EAB=∠BAD=30°$，
∵ $∠ABC$是$△ ABE$的外角，
∴ $∠ABC=∠E + ∠EAB$，
代入数值解得：$∠E=∠ABC - ∠EAB=60°-30°=30°$，
由(1)知$△ ABE≌△ ACF$，
∴ $∠F=∠E=30°$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE=CF$；
(2) $\boldsymbol{∠F=30°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查全等三角形的判定和特殊三角形的性质，解题的关键是结合等腰三角形三线合一的性质推导角相等，找到全等三角形的判定条件，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证BE=CF，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等：BE属于△ABE，CF属于△ACF，先利用等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，结合已知∠EAB=∠BAD可推出两组三角形的夹角∠EAB=∠CAF，再搭配已知的AB=AC、AE=AF，即可用SAS判定△ABE≌△ACF，进而得到对应边相等。
(2) 先根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，再结合角平分线性质求出∠EAB=30°，最后利用三角形外角性质求∠E的度数，结合全等三角形对应角相等即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，点D是BC的中点，
∴ $∠BAD=∠CAD$（等腰三角形三线合一），
又
∵ $∠EAB=∠BAD$，
∴ $∠EAB=∠CAF$，
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}AB=AC（已知）\\∠EAB=∠CAF（已证）\\AE=AF（已知）\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACF$（SAS），
∴ $BE=CF$（全等三角形对应边相等）。
(2) 解：
∵ $AB=AC$，$∠ABC=60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ $∠BAC=60°$，
∵ D是BC中点，AD平分$∠BAC$，
∴ $∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=30°$，
∴ $∠EAB=∠BAD=30°$，
∵ $∠ABC$是$△ ABE$的外角，
∴ $∠ABC=∠E + ∠EAB$，
代入数值解得：$∠E=∠ABC - ∠EAB=60°-30°=30°$，
由(1)知$△ ABE≌△ ACF$，
∴ $∠F=∠E=30°$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE=CF$；
(2) $\boldsymbol{∠F=30°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查全等三角形的判定和特殊三角形的性质，解题的关键是结合等腰三角形三线合一的性质推导角相等，找到全等三角形的判定条件，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，某地利用城市空地建设一处“口袋公园”供市民休闲娱乐，公园外轮廓为四边形，其中$AB = 20\sqrt{10}$米，$AD = 20\sqrt{15}$米，$BC = 80$米，$CD = 60$米，$BC ⊥ CD$，$BD$为公园内的一条小路.
(1)求证:$AB ⊥ AD$
(2)为保证市民安全，计划在点A处安装一监控，监控可监视小路EF处的情况。若监控可视范围为50米(即$AE = AF = 50$米)，求EF的长.
(1)求证:$AB ⊥ AD$
(2)为保证市民安全，计划在点A处安装一监控，监控可监视小路EF处的情况。若监控可视范围为50米(即$AE = AF = 50$米)，求EF的长.
答案
2.(1)利用勾股定理求出$BD$,再用勾股定理的逆定理判定即可$△ ABD$是直角三角形 (2)20米
解析
【分析】
(1) 要证明AB⊥AD，只需证明△ABD是直角三角形且∠BAD=90°即可。首先已知BC⊥CD，可先在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长度，再计算AB²、AD²的和，验证是否等于BD²，用勾股定理的逆定理即可判定△ABD的形状。
(2) 要求EF的长，已知AE=AF=50米，△AEF为等腰三角形，可过A作BD的垂线AH，利用等腰三角形三线合一的性质可知EF=2EH，因此只需求出EH的长度即可。首先用面积法求出△ABD中BD边上的高AH，再在Rt△AEH中用勾股定理求出EH，进而得到EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ BC⊥CD，
∴ ∠C=90°
在Rt△BCD中，BC=80米，CD=60米，由勾股定理得：
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$
∴ $BD=100$米（长度为正，舍去负解）
在△ABD中，$AB=20\sqrt{10}$米，$AD=20\sqrt{15}$米
∴ $AB^2 = (20\sqrt{10})^2 = 4000$，$AD^2 = (20\sqrt{15})^2 = 6000$
∴ $AB^2 + AD^2 = 4000 + 6000 = 10000 = BD^2$
由勾股定理的逆定理可得，△ABD是直角三角形，且∠BAD=90°
∴ AB⊥AD，得证。
(2) 解：过点A作AH⊥BD，垂足为H
∵ $S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB·AD = \frac{1}{2}BD·AH$
代入数值：$\frac{1}{2}×20\sqrt{10}×20\sqrt{15} = \frac{1}{2}×100×AH$
计算得：$AH = 20\sqrt{6}$米
∵ AE=AF=50米，AH⊥EF
∴ EH=HF（等腰三角形三线合一）
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
$EH^2 = AE^2 - AH^2 = 50^2 - (20\sqrt{6})^2 = 2500 - 2400 = 100$
∴ EH=10米（长度为正，舍去负解）
∴ $EF = 2EH = 2×10 = 20$米
【答案】
(1) AB⊥AD得证；(2) EF的长为20米
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是先通过勾股定理求出BD的长度作为衔接条件，再灵活运用面积法、等腰三角形性质和勾股定理求解线段长度，能较好地考查学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB⊥AD，只需证明△ABD是直角三角形且∠BAD=90°即可。首先已知BC⊥CD，可先在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长度，再计算AB²、AD²的和，验证是否等于BD²，用勾股定理的逆定理即可判定△ABD的形状。
(2) 要求EF的长，已知AE=AF=50米，△AEF为等腰三角形，可过A作BD的垂线AH，利用等腰三角形三线合一的性质可知EF=2EH，因此只需求出EH的长度即可。首先用面积法求出△ABD中BD边上的高AH，再在Rt△AEH中用勾股定理求出EH，进而得到EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ BC⊥CD，
∴ ∠C=90°
在Rt△BCD中，BC=80米，CD=60米，由勾股定理得：
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$
∴ $BD=100$米（长度为正，舍去负解）
在△ABD中，$AB=20\sqrt{10}$米，$AD=20\sqrt{15}$米
∴ $AB^2 = (20\sqrt{10})^2 = 4000$，$AD^2 = (20\sqrt{15})^2 = 6000$
∴ $AB^2 + AD^2 = 4000 + 6000 = 10000 = BD^2$
由勾股定理的逆定理可得，△ABD是直角三角形，且∠BAD=90°
∴ AB⊥AD，得证。
(2) 解：过点A作AH⊥BD，垂足为H
∵ $S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB·AD = \frac{1}{2}BD·AH$
代入数值：$\frac{1}{2}×20\sqrt{10}×20\sqrt{15} = \frac{1}{2}×100×AH$
计算得：$AH = 20\sqrt{6}$米
∵ AE=AF=50米，AH⊥EF
∴ EH=HF（等腰三角形三线合一）
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
$EH^2 = AE^2 - AH^2 = 50^2 - (20\sqrt{6})^2 = 2500 - 2400 = 100$
∴ EH=10米（长度为正，舍去负解）
∴ $EF = 2EH = 2×10 = 20$米
【答案】
(1) AB⊥AD得证；(2) EF的长为20米
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是先通过勾股定理求出BD的长度作为衔接条件，再灵活运用面积法、等腰三角形性质和勾股定理求解线段长度，能较好地考查学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
