15. (2025·南京期末)按图示切割正方体就可以切割出正六边形(正六边形的各顶点恰是其棱的中点),以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有.(填序号)


① ② ③ ④

15. ①③④ 解析:对于①,将展开图重新折叠可得出原来的正方体(含切割线),符合题意;对于②,将展开图重新折叠不能得出原来的正方体(含切割线),不符合题意;对于③,将展开图重新折叠可得出原来的正方体(含切割线),符合题意;对于④,将展开图重新折叠可得出原来的正方体(含切割线),符合题意.故答案为①③④.

16. 新趋势 项目式学习（2025·龙岩期末）【综合与实践】
“好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动.他们利用边长为$a$ cm的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒,甲种纸盒是无盖的纸盒,乙种纸盒是有盖的纸盒.

【动手操作】好学小组:根据图①方式制作一个甲种无盖的长方体盒子.方法是先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为$b$ cm的小正方形,再沿虚线折合起来.乐学小组:根据图②方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒.方法是先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为$b$ cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来.

【问题解决】
(1) ①无盖长方体纸盒的底面积为$\mathrm{cm}^2$(用含$a$和$b$的代数式表示);
②有盖长方体纸盒的底面周长为$\mathrm{cm}$(用含$a$和$b$的代数式表示).
【拓展探究】
(2)两小组探究发现:按照上面的制作方案,甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比$\dfrac{V_{\mathrm{甲}}}{V_{\mathrm{乙}}}$与$a,b$取值无关.请你写出$\dfrac{V_{\mathrm{甲}}}{V_{\mathrm{乙}}}$的值,并说明理由.
【实际应用】
(3)春节临近,杭城某纸箱厂接到一笔订单,需要赶制长、宽、高分别为40 cm、30 cm、10 cm的有盖长方体盒子若干.为了降低成本,提高效率,厂方决定购买大小合适的长方形纸板,采用乙种纸盒的制作方案,并且一张纸板制作一个纸盒.
①请分别在图③、图④虚线框内画出两种不同的设计图,并标上相应的尺寸;
②求厂方采购的长方形纸板的最小面积.

16. (1)①$(a-2b)^2$ 解析:无盖长方体纸盒的底面为正方形,边长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$,则底面积为$(a-2b)^2\ \mathrm{cm}^2$.
②$3(a-2b)$ 解析:底面长方形的宽为$(a-2b)÷2=\dfrac{1}{2}(a-2b)=(\dfrac{1}{2}a-b)\mathrm{cm}$,底面周长为 $2(a-2b+\dfrac{1}{2}a-b)=2(\dfrac{3}{2}a-3b)=3(a-2b)(\mathrm{cm})$.
(2)$V_\mathrm{甲}:V_\mathrm{乙}=2:1$.理由如下:依题意得 $V_\mathrm{甲}=(a-2b)^2· b$,$V_\mathrm{乙}=(a-2b)· \dfrac{1}{2}(a-2b)· b=\dfrac{1}{2}(a-2b)^2· b$,所以 $\dfrac{V_\mathrm{甲}}{V_\mathrm{乙}}=\dfrac{(a-2b)^2· b}{\dfrac{1}{2}(a-2b)^2· b}=2$,所以 $V_\mathrm{甲}:V_\mathrm{乙}=2:1$.
(3)①两种不同的设计图如下(合理即可):
②图①中长方形纸板的面积为 $S_3=60×80=4\ 800(\mathrm{cm}^2)$,图②中长方形纸板的面积为 $S_4=50×100=5\ 000(\mathrm{cm}^2)$,因为 4 800＜5 000,所以厂方采购的长方形纸板的最小面积为 $4\ 800\ \mathrm{cm}^2$.