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10. (2026·无锡期末)如图所示,把正方体纸盒沿棱剪开后平铺,原来与点A重合的顶点是点
I
。答案
10. I 解析:如图,2 与 4 是相对面;1 与 5 是相对面;3 与 6 是相对面.可以得出 A 与 I 重合.
配图
11. 如图，图①为一个长方体，$AD=AB=8\ \mathrm{cm}$，$AE=5\ \mathrm{cm}$，$M$为所在棱的中点，图②为图①的表面展开图，则图②中$△ ABM$的面积为
16或68
$\mathrm{cm}^2$.答案
11. 16 或 68 解析:由长方体的展开图可分类讨论:①当点 M 的位置如图①,且为所在线段 EF 中点时,连接 AM,BM,所以 $EM=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{1}{2}AD=4\ \mathrm{cm}$,所以 $S_{△ ABM}=\dfrac{1}{2}AB· EM=\dfrac{1}{2}×8×4=16\ (\mathrm{cm}^2)$;②当点 M 的位置如图②,且为线段 PQ 中点时,连接 BM,所以 $AM=AD+DP+PM=AD+AE+\dfrac{1}{2}AD=8+5+4=17(\mathrm{cm})$,所以 $S_{△ ABM}=\dfrac{1}{2}AB· AM=\dfrac{1}{2}×8×17=68(\mathrm{cm}^2)$.综上,$△ ABM$ 的面积为 $16\ \mathrm{cm}^2$ 或 $68\ \mathrm{cm}^2$.
配图
12. 如图,已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数,且每两个相对面上的数的和都相等,图中所能看到的数是16,19和20.
(1)画出这个正方体的表面展开图(只需画出一个即可);
(2)求这6个整数的和.
(1)画出这个正方体的表面展开图(只需画出一个即可);
(2)求这6个整数的和.
答案
12. (1)答案不唯一,如图.
(2)因为正方体的六个面上是六个连续的整数,能看到的数是 16,19 和 20,所以可能的情况有①15,16,17,18,19,20;②16,17,18,19,20,21.由于题目要求每两个相对面上的数的和都相等,当和相等且为 35 时,16 的对面应该是 19,与题图不符,所以第一种情况不可能,故可能的情况只有第二种.所以 6 个整数的和为 16+17+18+19+20+21=111.
13. 已知三棱柱如图①所示,其底面边长都是2 cm,侧棱长为8 cm.
(1)若将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,在以下四幅展开图中,可能是该三棱柱表面展开图的有
(2)图②是已知三棱柱的一种表面展开图,请你求出图②的外围周长;
(3)请你画出一种该已知三棱柱的表面展开图,使其外围周长最大,并直接写出它的外围周长.
(1)若将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,在以下四幅展开图中,可能是该三棱柱表面展开图的有
AD
(填序号);(2)图②是已知三棱柱的一种表面展开图,请你求出图②的外围周长;
(3)请你画出一种该已知三棱柱的表面展开图,使其外围周长最大,并直接写出它的外围周长.
答案
13. (1)AD 解析:根据三棱柱的特点可得 AD 为展开图.
(2)题图②的外围周长为 2×6+8×4=44(cm).
(3)图形画法不唯一,例如:
其外围周长为 2×4+8×6=56(cm).
14. 观察与思考:我们知道 $1+2+3+\dots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$,那么 $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3$ 结果等于多少呢？请你仔细观察,找出下面图形与算式的关系,解决下列问题:
$1^3=1^2$；$1^3+2^3=3^2$；$1^3+2^3+3^3=6^2$；$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$.
(1)规律观察:$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\_\_\_\_\_\_^2$；
(2)推算概括:用含$n$的式子表示出 $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\_\_\_\_\_\_$；
(3)拓展应用:$\dfrac{1^3+2^3+3^3+\dots +100^3}{1+2+3+\dots +100}=\_\_\_\_\_\_$.
$1^3=1^2$；$1^3+2^3=3^2$；$1^3+2^3+3^3=6^2$；$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$.
(1)规律观察:$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\_\_\_\_\_\_^2$；
(2)推算概括:用含$n$的式子表示出 $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\_\_\_\_\_\_$；
(3)拓展应用:$\dfrac{1^3+2^3+3^3+\dots +100^3}{1+2+3+\dots +100}=\_\_\_\_\_\_$.
答案
14. (1)15 解析:因为 $1^3=1^2$,$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$,$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2$,$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2$,所以 $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2$.
(2)$[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$ 解析:由(1)得 $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=(1+2+3+\dots +n)^2=[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$.
(3)5 050 解析:$\dfrac{1^3+2^3+3^3+\dots +100^3}{1+2+3+\dots +100}=\dfrac{(1+2+3+\dots +100)^2}{1+2+3+\dots +100}=1+2+3+\dots +100=\dfrac{100×(100+1)}{2}=5\ 050$.
(2)$[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$ 解析:由(1)得 $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=(1+2+3+\dots +n)^2=[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$.
(3)5 050 解析:$\dfrac{1^3+2^3+3^3+\dots +100^3}{1+2+3+\dots +100}=\dfrac{(1+2+3+\dots +100)^2}{1+2+3+\dots +100}=1+2+3+\dots +100=\dfrac{100×(100+1)}{2}=5\ 050$.
