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知识点 列举法和描述法 ★☆☆
| | 定义 | 示例 | 答案 |
| --- | --- | --- | --- |
| 列举法 | 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 | (1)表示方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的所有实数根组成的集合；(2)表示方程组$\begin{cases}x - y = -4 \\x + y = 2\end{cases}$的解组成的集合；(3)表示中国古代四大发明组成的集合 | (1)$\{-1,3\}$；(2)$\{(-1,3)\}$；(3)$\{造纸术,印刷术,指南针,火药\}$ |
| 描述法 | 一般地，设$A$是一个集合，我们把集合$A$中所有具有共同特征$P(x)$的元素$x$所组成的集合表示为$\{x \in A | P(x)\}$，这种表示集合的方法称为描述法 |
| (1)$\{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2x - 3 = 0\}$；(2)$\{(x,y) | \begin{cases}x - y = -4 \\x + y = 2\end{cases}\}$；(3)$\{x | x为中国古代四大发明\}$ |
▶名师点拨
(1)列举法适合表示有限集或者有一定规律的无限集，不是所有的集合都可以用列举法表示，如不等式$x - 1 ＜ 0$的解集，就无法一一列出。
(2)花括号“{ }”本身就具有“所有”的含义，故实数集$\mathbb{R}$可以表示为$\{实数\}$，不能写成$\{实数集\}$、$\{全体实数\}$、$\{R\}$等。
(3)当元素的所属范围为实数集时，“∈R”常省略不写，如上述$\{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2x - 3 = 0\}$也可写成$\{x | x^2 - 2x - 3 = 0\}$，但必须写清楚描述该集合代表元素的符号，不能写成$\{x^2 - 2x - 3 = 0\}$。
(4)同一个集合在使用描述法表示时，可以有不同的表示形式，如$\{y | y ≥ 0\}$，$\{y | y = k^2, k \in \mathbb{R}\}$表示的是同一个集合。
【学以致用】分别用列举法和描述法表示下列给定的集合。
(1)方程$2x^2 - x - 3 = 0$的实数根组成的集合。
列举法：；
描述法：。
(2)二次函数$y = 2x^2 - x - 3$的图象与$x$轴的交点组成的集合。
列举法：；
描述法：。
| | 定义 | 示例 | 答案 |
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| 列举法 | 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 | (1)表示方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的所有实数根组成的集合；(2)表示方程组$\begin{cases}x - y = -4 \\x + y = 2\end{cases}$的解组成的集合；(3)表示中国古代四大发明组成的集合 | (1)$\{-1,3\}$；(2)$\{(-1,3)\}$；(3)$\{造纸术,印刷术,指南针,火药\}$ |
| 描述法 | 一般地，设$A$是一个集合，我们把集合$A$中所有具有共同特征$P(x)$的元素$x$所组成的集合表示为$\{x \in A | P(x)\}$，这种表示集合的方法称为描述法 |
| (1)$\{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2x - 3 = 0\}$；(2)$\{(x,y) | \begin{cases}x - y = -4 \\x + y = 2\end{cases}\}$；(3)$\{x | x为中国古代四大发明\}$ |▶名师点拨
(1)列举法适合表示有限集或者有一定规律的无限集，不是所有的集合都可以用列举法表示，如不等式$x - 1 ＜ 0$的解集，就无法一一列出。
(2)花括号“{ }”本身就具有“所有”的含义，故实数集$\mathbb{R}$可以表示为$\{实数\}$，不能写成$\{实数集\}$、$\{全体实数\}$、$\{R\}$等。
(3)当元素的所属范围为实数集时，“∈R”常省略不写，如上述$\{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2x - 3 = 0\}$也可写成$\{x | x^2 - 2x - 3 = 0\}$，但必须写清楚描述该集合代表元素的符号，不能写成$\{x^2 - 2x - 3 = 0\}$。
(4)同一个集合在使用描述法表示时，可以有不同的表示形式，如$\{y | y ≥ 0\}$，$\{y | y = k^2, k \in \mathbb{R}\}$表示的是同一个集合。
【学以致用】分别用列举法和描述法表示下列给定的集合。
(1)方程$2x^2 - x - 3 = 0$的实数根组成的集合。
列举法：；
描述法：。
(2)二次函数$y = 2x^2 - x - 3$的图象与$x$轴的交点组成的集合。
列举法：；
描述法：。
答案
(1)由$2x^2 - x - 3 = 0$，得$x=-1$或$x=\frac{3}{2}$，故用列举法表示为$\{-1,\frac{3}{2}\}$，用描述法表示为$\{x | 2x^2 - x - 3 = 0\}$。
(2)二次函数$y=2x^2 - x - 3$的图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(\frac{3}{2},0)$，故用列举法表示为$\{(-1,0),(\frac{3}{2},0)\}$，用描述法表示为$\{(x,y) ∣ \begin{cases}y=2x^2-x-3,\\y=0\end{cases}\}$。
(2)二次函数$y=2x^2 - x - 3$的图象与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(\frac{3}{2},0)$，故用列举法表示为$\{(-1,0),(\frac{3}{2},0)\}$，用描述法表示为$\{(x,y) ∣ \begin{cases}y=2x^2-x-3,\\y=0\end{cases}\}$。
【典例1】(1)用列举法表示下列集合：
①大于－2且小于2的所有整数组成的集合；
②方程组$\begin{cases}x+y=0, \\x^2+y^2=2\end{cases}$的解组成的集合.
(2)用描述法表示下列集合：
①大于7的所有奇数组成的集合；
②二次函数$y=x^2-2$图象上的所有点组成的集合.
解题指导 第1步:首先明确集合中的元素是数、点还是其他元素.
第2步:列举法需要求解集合中的每一个元素,将其用逗号隔开,并一一列举置于花括号“$\{\}$”中;描述法按照$\{x\in A|P(x)\}$的形式书写,竖线左边标明元素所属范围,竖线右边写清楚元素所具有的特征条件.
答案 解:(1)①大于－2且小于2的整数有－1,0,1,故集合表示为$\{-1,0,1\}$.(整数包括正整数,0,负整数)
② 解方程组$\begin{cases}x+y=0, \\x^2+y^2=2\end{cases}$得$\begin{cases}x=-1, \\y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=1, \\y=-1\end{cases}$表示集合时写成有序数对的形式,故集合表示为$\{(-1,1),(1,-1)\}$.
(2)①所有的正奇数组成的集合可表示为$\{x|x=2n+1,n\in\mathbf{N}\}$,故大于7的所有奇数组成的集合可表示为$\{x|x=2n+1,n≥4,且n\in\mathbf{N}^*\}$或$\{x|x=2n+7,n\in\mathbf{N}^*\}$或$\{x|x=2n+1,x＞7,且n\in\mathbf{N}^*\}$等.
②$\{(x,y)|y=x^2-2\}$.
①大于－2且小于2的所有整数组成的集合；
②方程组$\begin{cases}x+y=0, \\x^2+y^2=2\end{cases}$的解组成的集合.
(2)用描述法表示下列集合：
①大于7的所有奇数组成的集合；
②二次函数$y=x^2-2$图象上的所有点组成的集合.
解题指导 第1步:首先明确集合中的元素是数、点还是其他元素.
第2步:列举法需要求解集合中的每一个元素,将其用逗号隔开,并一一列举置于花括号“$\{\}$”中;描述法按照$\{x\in A|P(x)\}$的形式书写,竖线左边标明元素所属范围,竖线右边写清楚元素所具有的特征条件.
答案 解:(1)①大于－2且小于2的整数有－1,0,1,故集合表示为$\{-1,0,1\}$.(整数包括正整数,0,负整数)
② 解方程组$\begin{cases}x+y=0, \\x^2+y^2=2\end{cases}$得$\begin{cases}x=-1, \\y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=1, \\y=-1\end{cases}$表示集合时写成有序数对的形式,故集合表示为$\{(-1,1),(1,-1)\}$.
(2)①所有的正奇数组成的集合可表示为$\{x|x=2n+1,n\in\mathbf{N}\}$,故大于7的所有奇数组成的集合可表示为$\{x|x=2n+1,n≥4,且n\in\mathbf{N}^*\}$或$\{x|x=2n+7,n\in\mathbf{N}^*\}$或$\{x|x=2n+1,x＞7,且n\in\mathbf{N}^*\}$等.
②$\{(x,y)|y=x^2-2\}$.
答案
解：
(1)① 大于$-2$且小于$2$的整数有$-1,0,1$，
故该集合用列举法表示为$\{-1,0,1\}$。
② 解方程组$\begin{cases}x+y=0 \\x^2+y^2=2\end{cases}$，
将$x=-y$代入$x^2+y^2=2$，得$2y^2=2$，解得$y=\pm1$，
对应得到两组解$\begin{cases}x=-1 \\y=1\end{cases}$和$\begin{cases}x=1 \\y=-1\end{cases}$，
方程组的解为有序数对，因此该集合用列举法表示为$\{(-1,1),(1,-1)\}$。
(2)① 大于7的奇数均为满足特征$x=2n+1$且$x＞7$的整数，其中$n\in\mathbf{N}^*$，
故该集合用描述法可表示为$\{x∣ x=2n+1,x＞7,n\in\mathbf{N}^*\}$（形式合理即可）。
② 二次函数图象上的元素为平面内的点，用有序数对$(x,y)$表示，所有点的坐标都满足$y=x^2-2$，
因此该集合用描述法表示为$\{(x,y)∣ y=x^2-2\}$。
(1)① 大于$-2$且小于$2$的整数有$-1,0,1$，
故该集合用列举法表示为$\{-1,0,1\}$。
② 解方程组$\begin{cases}x+y=0 \\x^2+y^2=2\end{cases}$，
将$x=-y$代入$x^2+y^2=2$，得$2y^2=2$，解得$y=\pm1$，
对应得到两组解$\begin{cases}x=-1 \\y=1\end{cases}$和$\begin{cases}x=1 \\y=-1\end{cases}$，
方程组的解为有序数对，因此该集合用列举法表示为$\{(-1,1),(1,-1)\}$。
(2)① 大于7的奇数均为满足特征$x=2n+1$且$x＞7$的整数，其中$n\in\mathbf{N}^*$，
故该集合用描述法可表示为$\{x∣ x=2n+1,x＞7,n\in\mathbf{N}^*\}$（形式合理即可）。
② 二次函数图象上的元素为平面内的点，用有序数对$(x,y)$表示，所有点的坐标都满足$y=x^2-2$，
因此该集合用描述法表示为$\{(x,y)∣ y=x^2-2\}$。
