登录
4.(教材改编题)有下列关系:①$-\dfrac{4}{3} \in \mathbf{R}$；②$\sqrt{3} ∉ \mathbf{Q}$；③$|-20| ∉ \mathbf{N}^*$；④$|-\sqrt{2}| \in \mathbf{Q}$；⑤$-5 ∉ \mathbf{Z}$；⑥$0 \in \mathbf{N}$.其中正确的个数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
①$-\frac{4}{3} \in \mathbf{R}$(实数集)，故正确；②$\sqrt{3} ∉ \mathbf{Q}$(有理数集)，$\sqrt{3}$为无理数，故正确；③$|-20|=20 \in \mathbf{N}^*$(正整数集)，故错误；④$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2} ∉ \mathbf{Q}$(有理数集)，故错误；⑤$-5 \in \mathbf{Z}$(整数集)，故错误；⑥$0 \in \mathbf{N}$(自然数集)，故正确。综上，正确的个数为3。
5.(多选)下列说法正确的是 (
A.$\sqrt{2}$的近似值的全体构成一个集合
B.自然数集$\boldsymbol{N}$中最小的元素是0
C.在整数集$\boldsymbol{Z}$中,若$a\in\boldsymbol{Z}$,则$-a\in\boldsymbol{Z}$
D.一个集合中不可以有两个相同的元素
BCD
)A.$\sqrt{2}$的近似值的全体构成一个集合
B.自然数集$\boldsymbol{N}$中最小的元素是0
C.在整数集$\boldsymbol{Z}$中,若$a\in\boldsymbol{Z}$,则$-a\in\boldsymbol{Z}$
D.一个集合中不可以有两个相同的元素
答案
$\sqrt{2}$的近似值的全体不具有确定性，不能构成一个集合，故A错误；由自然数集的定义，得其最小的元素是0，故B正确；若$a \in \boldsymbol{Z}$，则$-a \in \boldsymbol{Z}$，故C正确；由集合中元素的互异性，知一个集合中不可以有两个相同的元素，故D正确。
6.已知集合A中的元素为1,4,a,且实数a满足$a^2 \in A$,则满足条件的a的值为
-2,-1,0,2
.答案
由$a^2 \in A$，分类讨论：当$a^2=1$时，$a=\pm1$，由集合中元素的互异性，得$a=-1$。当$a^2=4$时，$a=\pm2$，都成立。当$a^2=a$时，$a=0$或$a=1$，由集合中元素的互异性，得$a=0$。
综上所述，满足条件的$a$的值为$-2$，$-1$，$0$，$2$。
综上所述，满足条件的$a$的值为$-2$，$-1$，$0$，$2$。
7.已知集合A中的元素为1,2,集合B表示关于x的方程$x^2 + ax + b = 0$的解的集合,且集合A与集合B相等,求a和b的值.
答案
解:根据题意，知1，2为关于x的方程$x^2+ax+b=0$的解。
由韦达定理，
得$\begin{cases} 1+2=-a, \\ 1×2=b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-3, \\ b=2, \end{cases}$
所以$a$的值为$-3$，$b$的值为2。
由韦达定理，
得$\begin{cases} 1+2=-a, \\ 1×2=b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-3, \\ b=2, \end{cases}$
所以$a$的值为$-3$，$b$的值为2。
8.设集合A含有－2,1两个元素，集合B含有－1,2两个元素.定义集合A⊙B满足$x_1 \in A$，$x_2 \in B$且$x_1x_2 \in (A⊙B)$，则A⊙B中所有元素之积为（
A.－8
B.－16
C.8
D.16
C
）A.－8
B.－16
C.8
D.16
答案
由题意，得$-2×(-1)=2$，$-2×2=-4$，$1×(-1)=-1$，$1×2=2$，
所以$A⊙B$中的元素为$-4$，$-1$，$2$，所以$-4×(-1)×2=8$。
所以$A⊙B$中的元素为$-4$，$-1$，$2$，所以$-4×(-1)×2=8$。
9.已知 $ x, y $ 都是非零实数，$ z = \frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|} + \frac{xy}{|xy|} $ 的取值组成集合 $ A $，则下列判断正确的是（
A.$ 3 \in A, -1 ∉ A $
B.$ 3 \in A, -1 \in A $
C.$ 3 ∉ A, -1 \in A $
D.$ 3 ∉ A, -1 ∉ A $
B
）A.$ 3 \in A, -1 ∉ A $
B.$ 3 \in A, -1 \in A $
C.$ 3 ∉ A, -1 \in A $
D.$ 3 ∉ A, -1 ∉ A $
答案
由$x$，$y$都是非零实数，$z=\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{xy}{|xy|}$，得
当$x＞0$，$y＞0$时，$z=1+1+1=3$；
当$x＞0$，$y＜0$时，$z=1-1-1=-1$；
当$x＜0$，$y＞0$时，$z=-1+1-1=-1$；
当$x＜0$，$y＜0$时，$z=-1-1+1=-1$。
故集合A中的元素为$-1$，$3$，所以$3 \in A$，$-1 \in A$。
当$x＞0$，$y＞0$时，$z=1+1+1=3$；
当$x＞0$，$y＜0$时，$z=1-1-1=-1$；
当$x＜0$，$y＞0$时，$z=-1+1-1=-1$；
当$x＜0$，$y＜0$时，$z=-1-1+1=-1$。
故集合A中的元素为$-1$，$3$，所以$3 \in A$，$-1 \in A$。
10.(多选)已知集合$M$中的元素$x$满足$x = a + \sqrt{2}b$，其中$a,b \in \mathbb{Z}$，则下列各数属于集合$M$的是（
A.0
B.$\sqrt{6}$
C.$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
D.$3\sqrt{2}-1$
ACD
）A.0
B.$\sqrt{6}$
C.$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
D.$3\sqrt{2}-1$
答案
当$a=0$，$b=0$时，$x=0$，故A正确；对于任意$a$，$b \in \mathbb{Z}$(注意限制条件：$a,b \in \mathbb{Z}$)，$x=a+\sqrt{2}b ≠ \sqrt{6}$，故B错误；$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}=-1-\sqrt{2}$，当$a=-1$，$b=-1$时，$x=-1-\sqrt{2}$，故C正确；当$a=-1$，$b=3$时，$x=-1+3\sqrt{2}$，故D正确。
11.由$a^2,2-a,4$组成的集合记为A.
(1)是否存在实数a，使得集合A中只含有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
(2)若集合A中只含有两个元素，求a的值.
(提示:(1)根据集合A中只含有一个元素列出方程求解.(2)由集合A中只含有两个元素，得$a^2,2-a,4$这三个数中必有两个数相等，进行分类讨论，列出方程求解，注意最后检验并得出答案)
答案 P01
(1)是否存在实数a，使得集合A中只含有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
(2)若集合A中只含有两个元素，求a的值.
(提示:(1)根据集合A中只含有一个元素列出方程求解.(2)由集合A中只含有两个元素，得$a^2,2-a,4$这三个数中必有两个数相等，进行分类讨论，列出方程求解，注意最后检验并得出答案)
答案 P01
答案
解:(1)存在。
假设存在实数$a$，使得集合A中只含有一个元素，则必然有$a^2=2-a=4$，解得$a=-2$。经检验，符合题意。故存在实数$a$，使得集合A中只含有一个元素。
(2)由题意，知这三个数中必有两个数相等。
①当$2-a=4$，即$a=-2$时，由(1)，知此时集合A中只含有一个元素，不符合题意；
②当$a^2=4$，即$a=2$或$a=-2$(舍去)时，$2-a=0$，此时集合A中含有两个元素0和4，符合题意；
③当$a^2=2-a$，即$a^2+a-2=0$时，由$(a-1)(a+2)=0$，得$a=1$或$a=-2$(舍去)，即$a^2=2-a=1$，此时集合A中含有两个元素1和4，符合题意。
综上，$a$的值为2或1。
假设存在实数$a$，使得集合A中只含有一个元素，则必然有$a^2=2-a=4$，解得$a=-2$。经检验，符合题意。故存在实数$a$，使得集合A中只含有一个元素。
(2)由题意，知这三个数中必有两个数相等。
①当$2-a=4$，即$a=-2$时，由(1)，知此时集合A中只含有一个元素，不符合题意；
②当$a^2=4$，即$a=2$或$a=-2$(舍去)时，$2-a=0$，此时集合A中含有两个元素0和4，符合题意；
③当$a^2=2-a$，即$a^2+a-2=0$时，由$(a-1)(a+2)=0$，得$a=1$或$a=-2$(舍去)，即$a^2=2-a=1$，此时集合A中含有两个元素1和4，符合题意。
综上，$a$的值为2或1。
