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【典例2】已知集合$A$中有三个元素：$a,\frac{b}{a},1$.
集合$B$中也有三个元素：$a^2,a+b,0$.若$A=B$,则$a^{2026}+b^{2026}$的值为.
解题指导 第1步:首先由“$A=B$”,分析集合$A$中的哪个元素和集合$B$中的元素0相等.
第2步:由集合$A$中的元素$\frac{b}{a}$,得出$a≠0$,故$\frac{b}{a}=0$,即$b=0$.
第3步:将$b=0$代入集合$A$和集合$B$,再根据“$A=B$”列出方程求解.
第4步:最后注意检验是否满足集合中元素的互异性.
解析 由集合$A$中的元素为$a,\frac{b}{a},1$,知$a≠0$.
因为集合$B$中的元素为$a^2,a+b,0$,且$A=B$,所以$\frac{b}{a}=0$,即$b=0$.(集合$A,B$中各有两个待定元素,确定集合$A$中$a$的取值范围后就只需要考虑一个待定元素)
此时集合$A$中的元素为$a,0,1$;
集合$B$中的元素为$a^2,a,0$.
易得$a^2=1$,解得$a=±1$.
经检验,当$a=1$时,
集合$A$与集合$B$不满足元素的互异性,故舍去;
当$a=-1$时,符合题意.
故$a=-1,b=0$,
所以$a^{2026}+b^{2026}=1$.
答案 1
集合$B$中也有三个元素：$a^2,a+b,0$.若$A=B$,则$a^{2026}+b^{2026}$的值为.
解题指导 第1步:首先由“$A=B$”,分析集合$A$中的哪个元素和集合$B$中的元素0相等.
第2步:由集合$A$中的元素$\frac{b}{a}$,得出$a≠0$,故$\frac{b}{a}=0$,即$b=0$.
第3步:将$b=0$代入集合$A$和集合$B$,再根据“$A=B$”列出方程求解.
第4步:最后注意检验是否满足集合中元素的互异性.
解析 由集合$A$中的元素为$a,\frac{b}{a},1$,知$a≠0$.
因为集合$B$中的元素为$a^2,a+b,0$,且$A=B$,所以$\frac{b}{a}=0$,即$b=0$.(集合$A,B$中各有两个待定元素,确定集合$A$中$a$的取值范围后就只需要考虑一个待定元素)
此时集合$A$中的元素为$a,0,1$;
集合$B$中的元素为$a^2,a,0$.
易得$a^2=1$,解得$a=±1$.
经检验,当$a=1$时,
集合$A$与集合$B$不满足元素的互异性,故舍去;
当$a=-1$时,符合题意.
故$a=-1,b=0$,
所以$a^{2026}+b^{2026}=1$.
答案 1
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：由集合$A$中的元素为$a,\frac{b}{a},1$，可知$a≠0$。
因为$A=B$，集合$B$中含有元素$0$，所以集合$A$中必有元素等于$0$，只能是$\frac{b}{a}=0$，解得$b=0$。
将$b=0$代入集合$A,B$，可得：
集合$A=\{a,0,1\}$，集合$B=\{a^2,a,0\}$。
由$A=B$，剩余非零元素对应相等，得$a^2=1$，解得$a=\pm1$。
根据集合元素的互异性检验：
当$a=1$时，集合$A=\{1,0,1\}$，集合$B=\{1,1,0\}$，均存在重复元素，不满足互异性，舍去；
当$a=-1$时，集合$A=\{-1,0,1\}$，集合$B=\{1,-1,0\}$，满足$A=B$且元素互异，符合题意。
因此$a=-1$，$b=0$，代入得：
$a^{2026}+b^{2026}=(-1)^{2026}+0^{2026}=1$。
最终
因为$A=B$，集合$B$中含有元素$0$，所以集合$A$中必有元素等于$0$，只能是$\frac{b}{a}=0$，解得$b=0$。
将$b=0$代入集合$A,B$，可得：
集合$A=\{a,0,1\}$，集合$B=\{a^2,a,0\}$。
由$A=B$，剩余非零元素对应相等，得$a^2=1$，解得$a=\pm1$。
根据集合元素的互异性检验：
当$a=1$时，集合$A=\{1,0,1\}$，集合$B=\{1,1,0\}$，均存在重复元素，不满足互异性，舍去；
当$a=-1$时，集合$A=\{-1,0,1\}$，集合$B=\{1,-1,0\}$，满足$A=B$且元素互异，符合题意。
因此$a=-1$，$b=0$，代入得：
$a^{2026}+b^{2026}=(-1)^{2026}+0^{2026}=1$。
最终
【变式3】已知集合A中有三个元素：$x,y,1$.集合B中也有三个元素：$1,x^2,2y$.若$A=B$,求$x-y$的值.
答案
解:因为集合A和集合B相等，所以分两种情况讨论：
①$\begin{cases} x=x^2, \\ y=2y, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=0, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1, \\ y=0. \end{cases}$
经检验，不满足集合中元素的互异性，舍去。
②$\begin{cases} x=2y, \\ y=x^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=0, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=\frac{1}{2}, \\ y=\frac{1}{4}. \end{cases}$
经检验，$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$符合题意。
所以$x-y=\frac{1}{4}$。
①$\begin{cases} x=x^2, \\ y=2y, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=0, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1, \\ y=0. \end{cases}$
经检验，不满足集合中元素的互异性，舍去。
②$\begin{cases} x=2y, \\ y=x^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=0, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=\frac{1}{2}, \\ y=\frac{1}{4}. \end{cases}$
经检验，$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$符合题意。
所以$x-y=\frac{1}{4}$。
1.下列各对象可以组成集合的是（
A.较小的实数
B.某中学2026～2027学年度第一学期全体高一学生
C.高一年级视力比较好的同学
D.高一学生中的游泳高手
B
）A.较小的实数
B.某中学2026～2027学年度第一学期全体高一学生
C.高一年级视力比较好的同学
D.高一学生中的游泳高手
答案
“较小的”不具有确定性，故A错误；具有确定性，故B正确；“比较好”不具有确定性，故C错误；“高手”不具有确定性，故D错误。
2.由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（
A.3
B.4
C.5
D.2
B
）A.3
B.4
C.5
D.2
答案
根据集合中元素的互异性，知集合A中的元素为“h，a，p，y”，所以集合A中的元素个数为4。
3.由实数$x,-x,|x|,\sqrt{x^2},-\sqrt[3]{x^3}$所组成的集合,所含元素的个数最多为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
(注意需对$\sqrt{x^2}=|x|$进一步化简)当$x＞0$时，$x=|x|=\sqrt{x^2}$，$-\sqrt[3]{x^3}=-x$，此时集合中共有2个元素；
当$x=0$时，$x=-x=|x|=\sqrt{x^2}=-\sqrt[3]{x^3}=0$，此时集合中共有1个元素；
当$x＜0$时，$\sqrt{x^2}=|x|=-\sqrt[3]{x^3}=-x$，此时集合中共有2个元素。
综上，所含元素的个数最多为2。
当$x=0$时，$x=-x=|x|=\sqrt{x^2}=-\sqrt[3]{x^3}=0$，此时集合中共有1个元素；
当$x＜0$时，$\sqrt{x^2}=|x|=-\sqrt[3]{x^3}=-x$，此时集合中共有2个元素。
综上，所含元素的个数最多为2。
