12.化简求值：
(1)$64^{\frac{2}{3}} - 9^{-\frac{1}{2}} - (\frac{27}{125})^{-\frac{1}{3}} - \sqrt{(\sqrt{2} - 14)^2}$；
(2)$\log_{4}9 × \log_{3}8 + \ln \mathrm{e}^{-2} + \lg 0.01 + 6^{1 + \log_{6}3}$。

12.解:(1)原式$=(4^3)^{\frac{2}{3}}-(3^2)^{-\frac{1}{2}}-[(\frac{3}{5})^3]^{-\frac{1}{3}}-|\sqrt{2}-14|=16-\frac{1}{3}-\frac{5}{3}-(14-\sqrt{2})=\sqrt{2}.$
(2)原式$=\frac{\lg 9}{\lg 4}×\frac{\lg 8}{\lg 3}+\ln \mathrm{e}^{-2}+\lg 10^{-2}+6×6^{\log_6 3}=\frac{2\lg 3}{2\lg 2}×\frac{3\lg 2}{\lg 3}+(-2)+(-2)+6×3=3+(-2)+(-2)+18=17.$

13.某公司生产某种机器的固定成本为10 000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入R(单位:元)与月产量x(单位:台)满足函数：

(1)将利润P(单位:元)表示为月产量x的函数.
(2)当月产量为多少台时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？

13.解:(1)由题可知,
$P=\begin{cases}300x-\frac{1}{2}x^2-10\ 000-100x,0≤ x＜300,\\60\ 000-10\ 000-100x,x≥300,\end{cases}$
化简,得$P=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+200x-10\ 000,0≤ x＜300,\\-100x+50\ 000,x≥300.\end{cases}$
(2)当$0≤ x＜300$时,$P=-\frac{1}{2}x^2+200x-10\ 000=-\frac{1}{2}(x-200)^2+10\ 000$,
所以当$x=200$时,$P$取得最大值,最大值为$10\ 000$;
当$x≥300$时,$P=-100x+50\ 000$单调递减,
所以$P≤50\ 000-100×300=20\ 000.$
因为$20\ 000＞10\ 000$,
所以当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润为20 000元.

14.函数$f(x)=(\log_{2}\dfrac{x}{2}-3)(\log_{4}\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}).$
(1)当$x\in[1,8]$时，求该函数的值域；
(2)若$f(x)＞m\log_{2}x$对于$∀ x\in[1,8]$恒成立，求$m$的取值范围.

14.解:(1)因为$\log_2 \frac{x}{2}=\log_2 x-1$,$\log_4 \frac{x}{4}=\frac{1}{2}\log_2 \frac{x}{4}=\frac{1}{2}(\log_2 x-2)$,
所以$f(x)=\frac{1}{2}(\log_2 x-4)(\log_2 x-1)=\frac{1}{2}[(\log_2 x)^2-5\log_2 x+4]=\frac{1}{2}[(\log_2 x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4}].$
因为$x\in[1,8]$,所以$\log_2 x\in[0,3]$,
所以当$\log_2 x=\frac{5}{2}$时,$f(x)$有最小值$-\frac{9}{8}$;当$\log_2 x=0$时,$f(x)$有最大值$2$,
所以该函数的值域为$[-\frac{9}{8},2].$
(2)令$t=\log_2 x$,由$x\in[1,8]$,得$t=\log_2 x\in[0,3]$,
所以$f(x)＞m\log_2 x$对于$∀ x\in[1,8]$恒成立等价于$\frac{1}{2}(t^2-5t+4)＞mt$对$t\in[0,3]$恒成立.
(换元,分离参数)
当$t=0$时,$2＞0$恒成立;
当$0＜t≤3$时,$m＜\frac{1}{2}·\frac{t^2-5t+4}{t}=\frac{1}{2}(t+\frac{4}{t}-5).$
因为$t+\frac{4}{t}-5≥2\sqrt{t·\frac{4}{t}}-5=-1$,当且仅当$t=\frac{4}{t}$,即$t=2$时,等号成立,
所以$m＜-\frac{1}{2}$,即$m$的取值范围为$(-∞,-\frac{1}{2}).$