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1. $27^{-\frac{2}{3}} = ( )$
A.$\frac{1}{9}$
B.$9$
C.$3$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$9$
C.$3$
D.$\frac{1}{3}$
答案
1.A $27^{-\frac{2}{3}}=(3^3)^{-\frac{2}{3}}=3^{-2}=\frac{1}{9}.$
2.已知$a^x=4,\log_a 3=y$,则$a^{x+y}=$（
A.5
B.6
C.7
D.12
D
）A.5
B.6
C.7
D.12
答案
2.D 因为$\log_a 3=y$,所以$a^y=3$,
所以$a^{x+y}=a^x · a^y=4×3=12.$
所以$a^{x+y}=a^x · a^y=4×3=12.$
3.设集合$A=\{y|y=2^x\}, B=\{x|\log_2|x|≤2\}$,则$A∩ B=$（
A.$[0,4]$
B.$(0,4]$
C.$[-4,0)\cup(0,4]$
D.$[0,1]$
B
）A.$[0,4]$
B.$(0,4]$
C.$[-4,0)\cup(0,4]$
D.$[0,1]$
答案
3.B 因为$A=\{y|y=2^x\}=[0,+∞)$,
$B=\{x|\log_2 |x|≤2\}=[-4,0)\cup(0,4]$,
所以$A∩ B=(0,4].$
$B=\{x|\log_2 |x|≤2\}=[-4,0)\cup(0,4]$,
所以$A∩ B=(0,4].$
4.已知函数$y=f(x)$的图象与$y=\lg x$的图象关于直线$y=x$对称，则$f(\lg 3)· f(\lg 4)=$（
A.$\lg 7$
B.$10$
C.$12$
D.$10^7$
C
）A.$\lg 7$
B.$10$
C.$12$
D.$10^7$
答案
4.C 因为函数$y=f(x)$的图象与$y=\lg x$的图象关于直线$y=x$对称，
所以函数$y=f(x)$与函数$y=\lg x$互为反函数，
所以$f(x)=10^x$,所以$f(\lg 3) · f(\lg 4)=10^{\lg 3} × 10^{\lg 4}=3×4=12.$
所以函数$y=f(x)$与函数$y=\lg x$互为反函数，
所以$f(x)=10^x$,所以$f(\lg 3) · f(\lg 4)=10^{\lg 3} × 10^{\lg 4}=3×4=12.$
5.函数$f(x)=\frac{3^x - 3^{-x}}{2|x|}$的大致图象是 （
B
）答案
5.B 由函数$f(x)=\frac{3^x - 3^{-x}}{2|x|}$可得,其定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,关于原点对称.
又因为$f(-x)=\frac{3^{-x}-3^x}{2|-x|}=\frac{-(3^x-3^{-x})}{2|x|}=-f(x)$,所以函数$f(x)$为奇函数,排除A,D选项;
当$x\in(0,+∞)$时,$3^x＞1,0＜3^{-x}＜1$,所以$3^x-3^{-x}＞0$,此时$f(x)＞0$,
当$x\in(-∞,0)$时,$0＜3^x＜1,3^{-x}＞1$,所以$3^x-3^{-x}＜0$,此时$f(x)＜0$,
所以B选项符合题意.
又因为$f(-x)=\frac{3^{-x}-3^x}{2|-x|}=\frac{-(3^x-3^{-x})}{2|x|}=-f(x)$,所以函数$f(x)$为奇函数,排除A,D选项;
当$x\in(0,+∞)$时,$3^x＞1,0＜3^{-x}＜1$,所以$3^x-3^{-x}＞0$,此时$f(x)＞0$,
当$x\in(-∞,0)$时,$0＜3^x＜1,3^{-x}＞1$,所以$3^x-3^{-x}＜0$,此时$f(x)＜0$,
所以B选项符合题意.
6.已知$a=0.9^{0.2},b=1.4^{0.9},c=\log_{2}3$，则（
A.$c＞a＞b$
B.$c＞b＞a$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞a＞c$
B
）A.$c＞a＞b$
B.$c＞b＞a$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞a＞c$
答案
6.B 因为指数函数$y=0.9^x$在$\mathbf{R}$上单调递减,所以$a=0.9^{0.2}＜0.9^0=1.$
因为指数函数$y=1.4^x$在$\mathbf{R}$上单调递增,
所以$1=1.4^0＜1.4^{0.9}＜1.4^1=1.4$,即$1＜b＜1.4.$
因为对数函数$y=\log_2 x$在$(0,+∞)$上单调递增,所以$c=\log_2 3＞\log_2 2\sqrt{2}=\frac{3}{2}＞1.4.$故$c＞b＞a.$
因为指数函数$y=1.4^x$在$\mathbf{R}$上单调递增,
所以$1=1.4^0＜1.4^{0.9}＜1.4^1=1.4$,即$1＜b＜1.4.$
因为对数函数$y=\log_2 x$在$(0,+∞)$上单调递增,所以$c=\log_2 3＞\log_2 2\sqrt{2}=\frac{3}{2}＞1.4.$故$c＞b＞a.$
7.若函数$f(x)=\log_{2a}(6-\dfrac{x}{a})$在区间$(-1,2)$上单调递增，则$a$的取值范围是（
A.$(0,\dfrac{1}{3}]$
B.$[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
C.$(0,\dfrac{1}{3})$
D.$(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
B
）A.$(0,\dfrac{1}{3}]$
B.$[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
C.$(0,\dfrac{1}{3})$
D.$(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
答案
7.B 令$g(x)=6-\frac{x}{a}$.由$2a＞0$,且$2a≠1$可得,$a＞0$,且$a≠\frac{1}{2}$,所以$g(x)$是减函数.
因为$f(x)=\log_{2a}g(x)$在区间$(-1,2)$上单调递增,
所以$\begin{cases}0＜2a＜1,\\g(2)=6-\frac{2}{a}≥0,\end{cases}$
解得$\frac{1}{3}≤ a＜\frac{1}{2}$,即$a$的取值范围是$[\frac{1}{3},\frac{1}{2}).$
因为$f(x)=\log_{2a}g(x)$在区间$(-1,2)$上单调递增,
所以$\begin{cases}0＜2a＜1,\\g(2)=6-\frac{2}{a}≥0,\end{cases}$
解得$\frac{1}{3}≤ a＜\frac{1}{2}$,即$a$的取值范围是$[\frac{1}{3},\frac{1}{2}).$
8.函数$f(x)=(\dfrac{1}{a})^x - a^x$，其中$a＞0$，且$a≠1$，则下列结论正确的是（
A.函数$f(x)$是奇函数
B.方程$f(x)=0$在$\mathbb{R}$上有解
C.函数$f(x)$的图象过定点$(0,1)$
D.当$a＞1$时，函数$f(x)$在其定义域上为增函数
AB
）A.函数$f(x)$是奇函数
B.方程$f(x)=0$在$\mathbb{R}$上有解
C.函数$f(x)$的图象过定点$(0,1)$
D.当$a＞1$时，函数$f(x)$在其定义域上为增函数
答案
8.AB $f(x)=(\frac{1}{a})^x - a^x$的定义域为$\mathbf{R}$,且$f(-x)=(\frac{1}{a})^{-x} - a^{-x}=a^x - (\frac{1}{a})^x=-f(x)$,
故$f(x)$是奇函数,A正确;
$f(0)=1-1=0$,故方程$f(x)=0$在$\mathbf{R}$上有解,且$f(x)$的图象过定点$(0,0)$,B正确,C错误;
当$a＞1$时,$y=(\frac{1}{a})^x$在$\mathbf{R}$上单调递减,函数$y=a^x$在$\mathbf{R}$上单调递增,
故$f(x)=(\frac{1}{a})^x - a^x$在$\mathbf{R}$上单调递减,D错误.
故$f(x)$是奇函数,A正确;
$f(0)=1-1=0$,故方程$f(x)=0$在$\mathbf{R}$上有解,且$f(x)$的图象过定点$(0,0)$,B正确,C错误;
当$a＞1$时,$y=(\frac{1}{a})^x$在$\mathbf{R}$上单调递减,函数$y=a^x$在$\mathbf{R}$上单调递增,
故$f(x)=(\frac{1}{a})^x - a^x$在$\mathbf{R}$上单调递减,D错误.
9.已知函数$f(x)=\ln(x-2)+\ln(8-x)$，则（
A.$f(x)$的定义域为$[2,8]$
B.$f(x)$在$(2,4)$上单调递增
C.$f(x)$在$(4,8)$上单调递减
D.$f(x)$的值域为$(-∞,2\ln 3]$
BD
）A.$f(x)$的定义域为$[2,8]$
B.$f(x)$在$(2,4)$上单调递增
C.$f(x)$在$(4,8)$上单调递减
D.$f(x)$的值域为$(-∞,2\ln 3]$
答案
9.BD 由题可得,$\begin{cases}x-2＞0,\\8-x＞0,\end{cases}$解得$2＜x＜8$,所以函数$f(x)$的定义域为$(2,8)$,故A错误.
$f(x)=\ln(x-2)+\ln(8-x)=\ln [(x-2)(8-x)].$
设$t=(x-2)(8-x)$,
因为函数$y=\ln t$在定义域内为增函数,
函数$t=(x-2)(8-x)=-(x-5)^2+9$在$(2,4)$上单调递增且大于零,
所以$f(x)$在$(2,4)$上单调递增,故B正确.
根据B选项的分析可知,$f(x)$在$(4,5)$上单调递增,在$(5,8)$上单调递减,
故函数$f(x)$在$(4,8)$上不单调,C错误.
当$x\in(2,8)$时,$y=(x-2)(8-x)=-(x-5)^2+9\in(0,9]$,
所以$f(x)$的值域为$(-∞,\ln 9]$,即$(-∞,2\ln 3]$,故D正确.
$f(x)=\ln(x-2)+\ln(8-x)=\ln [(x-2)(8-x)].$
设$t=(x-2)(8-x)$,
因为函数$y=\ln t$在定义域内为增函数,
函数$t=(x-2)(8-x)=-(x-5)^2+9$在$(2,4)$上单调递增且大于零,
所以$f(x)$在$(2,4)$上单调递增,故B正确.
根据B选项的分析可知,$f(x)$在$(4,5)$上单调递增,在$(5,8)$上单调递减,
故函数$f(x)$在$(4,8)$上不单调,C错误.
当$x\in(2,8)$时,$y=(x-2)(8-x)=-(x-5)^2+9\in(0,9]$,
所以$f(x)$的值域为$(-∞,\ln 9]$,即$(-∞,2\ln 3]$,故D正确.
10.已知 $3^a = 2$，则 $9^a = \_\_\_\_\_\_$，$a\log_{4}3 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
10.$4\ \ \frac{1}{2}$ 因为$3^a=2$,
所以$9^a=(3^a)^2=2^2=4$,$a\log_4 3=\log_4 3^a=\log_4 2=\frac{1}{2}.$
所以$9^a=(3^a)^2=2^2=4$,$a\log_4 3=\log_4 3^a=\log_4 2=\frac{1}{2}.$
11.已知函数$f(x)=\begin{cases}| \lg x |, & 0＜x≤10, \\ -\dfrac{1}{2}x + 6, & x＞10,\end{cases}$若$a,b,c$互不相等，且$f(a)=f(b)=f(c)$，则$abc$的取值范围是________。
(提示:画出函数的图象,根据$f(a)=f(b)=f(c)$,不妨令$a＜b＜c$,进而求出$abc$的取值范围)
(提示:画出函数的图象,根据$f(a)=f(b)=f(c)$,不妨令$a＜b＜c$,进而求出$abc$的取值范围)
答案
11.$(10,12)$ 由$\begin{cases}\lg x＞0,\\0＜x≤10,\end{cases}$解得$1＜x≤10.$
由$\begin{cases}\lg x≤0,\\0＜x≤10,\end{cases}$解得$0＜x≤1$,
则$f(x)=\begin{cases}-\lg x,0＜x≤1,\\\lg x,1＜x≤10,\\-\frac{1}{2}x+6,x＞10.\end{cases}$
由题意,$f(a)=f(b)=f(c)$,不妨设$a＜b＜c$.
如图,作出$f(x)$的图象
.(作图象,发现$a,b$间的关系是解题的关键)
因为$f(a)=f(b)$,所以$-\lg a=\lg b$,得到$\lg a+\lg b=0$,
即$\lg ab=0$,解得$ab=1.$
由图象,得$c\in(10,12)$,所以$abc=c\in(10,12).$
