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【学以致用2】(1)$\cos \frac{5π}{12} - \sqrt{3}\sin \frac{5π}{12} =$（
A.0
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
B
）A.0
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
答案
$\cos \frac{5π}{12}-\sqrt{3}\sin \frac{5π}{12}=2( \frac{1}{2}\cos \frac{5π}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{5π}{12}) = 2( \cos \frac{π}{3}\cos \frac{5π}{12}-\sin \frac{π}{3}\sin \frac{5π}{12}) = 2\cos( \frac{π}{3}+\frac{5π}{12})=2\cos \frac{3π}{4}=-\sqrt{2}$，选B。
(2)函数$f(x)=\sin x\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x$的最小正周期是（
A.$π$
B.$\frac{π}{2}$
C.$2π$
D.$\frac{3π}{2}$
过典型例题，学习解题方法
则$\sin \frac{α}{2}＞0,\cos \frac{α}{2}＜0,$
A
）A.$π$
B.$\frac{π}{2}$
C.$2π$
D.$\frac{3π}{2}$
过典型例题，学习解题方法
则$\sin \frac{α}{2}＞0,\cos \frac{α}{2}＜0,$
答案
$f(x)=\sin x \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x = \sin( 2x+\frac{π}{3})$，
故函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\frac{2π}{2}=π$，选A。
故函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\frac{2π}{2}=π$，选A。
【典例1】(一题多解)已知 $\sin(α+\frac{3π}{2})=\frac{3}{5}$，$α\in(π,\frac{3π}{2})$，则 $\tan\frac{α}{2}=$。
解题指导 先由 $\sin(α+\frac{3π}{2})=\frac{3}{5}$，求出 $\cosα$。
方法1:根据半角公式求出 $\sin\frac{α}{2},\cos\frac{α}{2}$，再利用同角三角函数的基本关系求解；
方法2:利用半角公式 $\tan\frac{α}{2}=\frac{\sinα}{1+\cosα}$ 求解。
解析(一题多解)因为 $\sin(α+\frac{3π}{2})=-\cosα=\frac{3}{5}$，所以 $\cosα=-\frac{3}{5}$。
方法1:因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\frac{α}{2}\in(\frac{π}{2},\frac{3π}{4})$，
则 $\sin\frac{α}{2}＞0,\cos\frac{α}{2}＜0$，
所以 $\sin\frac{α}{2}=\sqrt{\frac{1-\cosα}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\frac{α}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cosα}{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则 $\tan\frac{α}{2}=\frac{\sin\frac{α}{2}}{\cos\frac{α}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2$。
方法2:因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\sinα＜0$，所以 $\sinα=-\sqrt{1-\cos^2α}=-\frac{4}{5}$，所以 $\tan\frac{α}{2}=$
答案 $-2$
解题指导 先由 $\sin(α+\frac{3π}{2})=\frac{3}{5}$，求出 $\cosα$。
方法1:根据半角公式求出 $\sin\frac{α}{2},\cos\frac{α}{2}$，再利用同角三角函数的基本关系求解；
方法2:利用半角公式 $\tan\frac{α}{2}=\frac{\sinα}{1+\cosα}$ 求解。
解析(一题多解)因为 $\sin(α+\frac{3π}{2})=-\cosα=\frac{3}{5}$，所以 $\cosα=-\frac{3}{5}$。
方法1:因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\frac{α}{2}\in(\frac{π}{2},\frac{3π}{4})$，
则 $\sin\frac{α}{2}＞0,\cos\frac{α}{2}＜0$，
所以 $\sin\frac{α}{2}=\sqrt{\frac{1-\cosα}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\frac{α}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cosα}{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则 $\tan\frac{α}{2}=\frac{\sin\frac{α}{2}}{\cos\frac{α}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2$。
方法2:因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\sinα＜0$，所以 $\sinα=-\sqrt{1-\cos^2α}=-\frac{4}{5}$，所以 $\tan\frac{α}{2}=$
答案 $-2$
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
解：
由诱导公式得 $\sin(α+\frac{3π}{2})=-\cosα=\frac{3}{5}$，
因此 $\cosα=-\frac{3}{5}$。
方法1：
因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\frac{α}{2}\in(\frac{π}{2},\frac{3π}{4})$，
可得 $\sin\frac{α}{2}＞0$，$\cos\frac{α}{2}＜0$。
根据半角公式：
$\sin\frac{α}{2}=\sqrt{\frac{1-\cosα}{2}}=\sqrt{\frac{1-(-\frac{3}{5})}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5},$
$\cos\frac{α}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cosα}{2}}=-\sqrt{\frac{1+(-\frac{3}{5})}{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5},$
由同角三角函数基本关系：
$\tan\frac{α}{2}=\frac{\sin\frac{α}{2}}{\cos\frac{α}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2.$
方法2：
因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\sinα＜0$，
由同角三角函数基本关系：
$\sinα=-\sqrt{1-\cos^2α}=-\sqrt{1-(-\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5},$
根据半角公式 $\tan\frac{α}{2}=\frac{\sinα}{1+\cosα}$，代入得：
$\tan\frac{α}{2}=\frac{-\frac{4}{5}}{1+(-\frac{3}{5})}=-2.$
最终
由诱导公式得 $\sin(α+\frac{3π}{2})=-\cosα=\frac{3}{5}$，
因此 $\cosα=-\frac{3}{5}$。
方法1：
因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\frac{α}{2}\in(\frac{π}{2},\frac{3π}{4})$，
可得 $\sin\frac{α}{2}＞0$，$\cos\frac{α}{2}＜0$。
根据半角公式：
$\sin\frac{α}{2}=\sqrt{\frac{1-\cosα}{2}}=\sqrt{\frac{1-(-\frac{3}{5})}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5},$
$\cos\frac{α}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cosα}{2}}=-\sqrt{\frac{1+(-\frac{3}{5})}{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5},$
由同角三角函数基本关系：
$\tan\frac{α}{2}=\frac{\sin\frac{α}{2}}{\cos\frac{α}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2.$
方法2：
因为 $α\in(π,\frac{3π}{2})$，所以 $\sinα＜0$，
由同角三角函数基本关系：
$\sinα=-\sqrt{1-\cos^2α}=-\sqrt{1-(-\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5},$
根据半角公式 $\tan\frac{α}{2}=\frac{\sinα}{1+\cosα}$，代入得：
$\tan\frac{α}{2}=\frac{-\frac{4}{5}}{1+(-\frac{3}{5})}=-2.$
最终
