【变式1】已知$\sin(-\frac{π}{2}+α)=-\frac{3}{5}$，$α\in(-\frac{π}{2},0)$，则$\sin(\frac{α}{2}+\frac{π}{3})=\_\_\_\_\_\_$。

因为 $\sin( -\frac{π}{2}+α) = -\cos α = -\frac{3}{5}$，所以 $\cos α=\frac{3}{5}$。
因为 $α \in ( -\frac{π}{2},0)$，所以 $\frac{α}{2}\in ( -\frac{π}{4},0)$，
所以 $\sin \frac{α}{2} = -\sqrt{\frac{1-\cos α}{2}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos α}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以 $\sin( \frac{α}{2}+\frac{π}{3}) = \sin \frac{α}{2}\cos \frac{π}{3} + \cos \frac{α}{2}\sin \frac{π}{3} = -\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{10}$。

【典例2】化简：

解题指导 根据倍角公式，将角$α$化成半角，通过升幂去根式化简求得正确答案。
答案 解:因为$-π＜α＜0$,所以$-\frac{π}{2}＜\frac{α}{2}＜0$,
所以$\sin \frac{α}{2}＜0$,
所以$\frac{(1-\sin α-\cos α)(\sin \frac{α}{2}+\cos \frac{α}{2})}{\sqrt{2-2\cos α}}$
$=\frac{(2 \sin^2 \frac{α}{2}-2\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2})(\sin \frac{α}{2}+\cos \frac{α}{2})}{\sqrt{2-2×(1-2 \sin^2 \frac{α}{2})}}$
$=\frac{2\sin \frac{α}{2}(\sin \frac{α}{2}-\cos \frac{α}{2})(\sin \frac{α}{2}+\cos \frac{α}{2})}{\sqrt{4 \sin^2 \frac{α}{2}}}$
$=\frac{2\sin \frac{α}{2}(\sin^2 \frac{α}{2}-\cos^2 \frac{α}{2})}{2\left|\sin \frac{α}{2}\right|}$
$=\frac{2\sin \frac{α}{2}(-\cos α)}{-2\sin \frac{α}{2}}$
$=\cos α.$

解：
因为$-π＜α＜0$，所以$-\frac{π}{2}＜\frac{α}{2}＜0$，
所以$\sin\frac{α}{2}＜0$。
$\begin{aligned}\frac{(1-\sin α-\cos α)(\sin \frac{α}{2}+\cos \frac{α}{2})}{\sqrt{2-2\cos α}}&=\frac{(2\sin^2\frac{α}{2}-2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2})(\sin\frac{α}{2}+\cos\frac{α}{2})}{\sqrt{2-2×(1-2\sin^2\frac{α}{2})}}\\&=\frac{2\sin\frac{α}{2}(\sin\frac{α}{2}-\cos\frac{α}{2})(\sin\frac{α}{2}+\cos\frac{α}{2})}{\sqrt{4\sin^2\frac{α}{2}}}\\&=\frac{2\sin\frac{α}{2}(\sin^2\frac{α}{2}-\cos^2\frac{α}{2})}{2\left|\sin\frac{α}{2}\right|}\\&=\frac{2\sin\frac{α}{2}·(-\cos α)}{-2\sin\frac{α}{2}}\\&=\cos α\end{aligned}$

【变式2】（一题多解）化简：$\sin^2(α - \frac{π}{6}) + \sin^2(α + \frac{π}{6}) - \sin^2α.$

方法1：$\sin^2( α-\frac{π}{6})+\sin^2( α+\frac{π}{6})-\sin^2α = \frac{1-\cos( 2α-\frac{π}{3})}{2}+\frac{1-\cos( 2α+\frac{π}{3})}{2}-\frac{1-\cos 2α}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}[ \cos( 2α-\frac{π}{3})+\cos( 2α+\frac{π}{3})-\cos 2α] = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}( 2\cos 2α\cos \frac{π}{3}-\cos 2α)=\frac{1}{2}$。
方法2：$\sin^2( α-\frac{π}{6})+\sin^2( α+\frac{π}{6})-\sin^2α = ( \frac{\sqrt{3}}{2}\sinα-\frac{1}{2}\cosα)^2+( \frac{\sqrt{3}}{2}\sinα+\frac{1}{2}\cosα)^2-\sin^2α = \frac{3}{2}\sin^2α+\frac{1}{2}\cos^2α-\sin^2α=\frac{1}{2}$。