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17. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，边AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，并且BE平分$∠ ABC$.
(1)求$∠ A$的度数；
(2)若$CE=1$，求AB的长.
(1)求$∠ A$的度数；
(2)若$CE=1$，求AB的长.
答案
17.(1) $30°$
(2) $2\sqrt{3}$
(2) $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 先利用线段垂直平分线的性质得到$EA=EB$，推出$∠ A=∠ EBA$；再结合$BE$是$∠ ABC$的角平分线，得到$∠ ABC=2∠ A$；最后在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出$∠ A$的度数。
(2) 先根据角平分线的性质得到$ED=CE=1$；结合(1)中$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ADE$中利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出$AE$的长度，进而得到$AC$的长度；最后在$\mathrm{Rt}△ABC$中结合30°直角三角形的边角关系和勾股定理，即可求出$AB$的长。
【解析】
(1)
∵$DE$是$AB$的垂直平分线，
∴$EA=EB$，
∴$∠ A=∠ EBA$，
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ EBA=∠ EBC$，
∴$∠ ABC=∠ EBA+∠ EBC=2∠ A$，
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ A+∠ ABC=90°$，
代入$∠ ABC=2∠ A$得：$∠ A+2∠ A=90°$，
解得$∠ A=30°$。
(2)
∵$BE$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$ED⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$ED=CE=1$，
由(1)知$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ ADE=90°$，
∴$AE=2ED=2×1=2$，
∴$AC=AE+CE=2+1=3$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，设$BC=x$，则$AB=2x$，
由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
即$3^2+x^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2=9$，解得$x=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根），
∴$AB=2x=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) $\boxed{2\sqrt{3}}$
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形的特殊边角关系，通过等量代换逐步推导角和边的关系，对逻辑推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用线段垂直平分线的性质得到$EA=EB$，推出$∠ A=∠ EBA$；再结合$BE$是$∠ ABC$的角平分线，得到$∠ ABC=2∠ A$；最后在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出$∠ A$的度数。
(2) 先根据角平分线的性质得到$ED=CE=1$；结合(1)中$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ADE$中利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出$AE$的长度，进而得到$AC$的长度；最后在$\mathrm{Rt}△ABC$中结合30°直角三角形的边角关系和勾股定理，即可求出$AB$的长。
【解析】
(1)
∵$DE$是$AB$的垂直平分线，
∴$EA=EB$，
∴$∠ A=∠ EBA$，
∵$BE$平分$∠ ABC$，
∴$∠ EBA=∠ EBC$，
∴$∠ ABC=∠ EBA+∠ EBC=2∠ A$，
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ A+∠ ABC=90°$，
代入$∠ ABC=2∠ A$得：$∠ A+2∠ A=90°$，
解得$∠ A=30°$。
(2)
∵$BE$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$ED⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$ED=CE=1$，
由(1)知$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ ADE=90°$，
∴$AE=2ED=2×1=2$，
∴$AC=AE+CE=2+1=3$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，设$BC=x$，则$AB=2x$，
由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
即$3^2+x^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2=9$，解得$x=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根），
∴$AB=2x=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) $\boxed{2\sqrt{3}}$
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形的特殊边角关系，通过等量代换逐步推导角和边的关系，对逻辑推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.7
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF=DE，连接AE，AF，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若BE=1，EC=4，求EF的长.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若BE=1，EC=4，求EF的长.
答案
18.(1) 证明：因为D是AC的中点，所以AD=CD，因为DF=DE，所以四边形AECF是平行四边形，因为DE⊥AC，所以平行四边形AECF是菱形.
(2) $2\sqrt{6}$
(2) $2\sqrt{6}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AECF是菱形，可按“先证平行四边形，再证对角线垂直”的思路推导：已知D是AC中点得AD=CD，结合DF=DE，可先根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再利用DE⊥AC的条件，根据对角线垂直的平行四边形是菱形完成证明。
(2) 求EF的长，可先利用菱形性质得AE=EC=4，在Rt△ABE中用勾股定理求AB的长度，再在Rt△ABC中求AC的长度，最后在Rt△EDC中用勾股定理求DE的长度，结合EF=2DE即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ D是AC的中点，
∴ AD = CD，
又
∵ DF = DE，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵ DE⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ AE = EC = 4，
在Rt△ABE中，∠B=90°，BE=1，AE=4，
由勾股定理得：$AB^2 = AE^2 - BE^2 = 4^2 - 1^2 = 15$，
又
∵ $BC = BE + EC = 1 + 4 = 5$，
在Rt△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15 + 5^2 = 40$，
∴ $AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$，则 $DC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{10}$，
在Rt△EDC中，∠EDC=90°，EC=4，DC=√10，
由勾股定理得：$DE^2 = EC^2 - DC^2 = 4^2 - (\sqrt{10})^2 = 6$，
∴ $DE = \sqrt{6}$，
∵ DF=DE，
∴ $EF = 2DE = 2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2\sqrt{6}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定
【点评】
本题是四边形与勾股定理结合的典型题型，第一问侧重基础判定定理的应用，第二问需要灵活运用菱形的性质，结合勾股定理逐步推导边长，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明四边形AECF是菱形，可按“先证平行四边形，再证对角线垂直”的思路推导：已知D是AC中点得AD=CD，结合DF=DE，可先根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再利用DE⊥AC的条件，根据对角线垂直的平行四边形是菱形完成证明。
(2) 求EF的长，可先利用菱形性质得AE=EC=4，在Rt△ABE中用勾股定理求AB的长度，再在Rt△ABC中求AC的长度，最后在Rt△EDC中用勾股定理求DE的长度，结合EF=2DE即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ D是AC的中点，
∴ AD = CD，
又
∵ DF = DE，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵ DE⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ AE = EC = 4，
在Rt△ABE中，∠B=90°，BE=1，AE=4，
由勾股定理得：$AB^2 = AE^2 - BE^2 = 4^2 - 1^2 = 15$，
又
∵ $BC = BE + EC = 1 + 4 = 5$，
在Rt△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15 + 5^2 = 40$，
∴ $AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$，则 $DC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{10}$，
在Rt△EDC中，∠EDC=90°，EC=4，DC=√10，
由勾股定理得：$DE^2 = EC^2 - DC^2 = 4^2 - (\sqrt{10})^2 = 6$，
∴ $DE = \sqrt{6}$，
∵ DF=DE，
∴ $EF = 2DE = 2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2\sqrt{6}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定
【点评】
本题是四边形与勾股定理结合的典型题型，第一问侧重基础判定定理的应用，第二问需要灵活运用菱形的性质，结合勾股定理逐步推导边长，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
