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12. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，顶点B落在CD边上点F处.若AB=3，BC=2，则DF=
$\sqrt{5}$
. 答案
12.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题是矩形折叠求线段长的问题，解题思路如下：首先回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得折叠后AF与AB长度相等；再结合矩形的性质，矩形对边相等且四个角都是直角，可得AD的长度和∠D为直角；最后在直角三角形ADF中，利用勾股定理即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠D=90°，
∵将矩形沿AE折叠，顶点B落在CD边的F处，
∴AF=AB=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{AF^2 - AD^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将折叠的性质与矩形、勾股定理结合考查，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等，找到直角三角形的已知边长，再用勾股定理计算未知线段。
【难度系数】
0.8
本题是矩形折叠求线段长的问题，解题思路如下：首先回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得折叠后AF与AB长度相等；再结合矩形的性质，矩形对边相等且四个角都是直角，可得AD的长度和∠D为直角；最后在直角三角形ADF中，利用勾股定理即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠D=90°，
∵将矩形沿AE折叠，顶点B落在CD边的F处，
∴AF=AB=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{AF^2 - AD^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将折叠的性质与矩形、勾股定理结合考查，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等，找到直角三角形的已知边长，再用勾股定理计算未知线段。
【难度系数】
0.8
13. 如图是“赵爽弦图”，其中△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，AH=6，那么EF等于
第13题图第15题图
2
.第13题图第15题图答案
13.2
解析
【分析】
解题思路：首先根据全等三角形的性质得到对应边相等，即AH=BG；再在Rt△ABH中利用勾股定理求出直角边BH的长度；接着通过线段和差关系求出小正方形的边长GH；最后根据正方形的性质，EF和GH相等，即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴△ABH≌△BCG，可得AH=BG=6。
在Rt△ABH中，AB=10，AH=6，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
∴GH=BH - BG=8 - 6=2。
又
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=GH=2。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查了全等三角形、勾股定理及正方形性质的综合应用，解题的关键是明确各线段之间的数量关系，难度不大。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据全等三角形的性质得到对应边相等，即AH=BG；再在Rt△ABH中利用勾股定理求出直角边BH的长度；接着通过线段和差关系求出小正方形的边长GH；最后根据正方形的性质，EF和GH相等，即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴△ABH≌△BCG，可得AH=BG=6。
在Rt△ABH中，AB=10，AH=6，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
∴GH=BH - BG=8 - 6=2。
又
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=GH=2。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查了全等三角形、勾股定理及正方形性质的综合应用，解题的关键是明确各线段之间的数量关系，难度不大。
【难度系数】
0.8
14. 已知四边形ABCD是菱形，周长是40厘米，如果AC=16厘米，那么菱形ABCD的面积为
96平方厘米
。答案
14.96平方厘米
解析
【分析】
解题时先从菱形的基本性质入手思考：首先菱形四条边长度相等，可通过周长先算出边长；其次菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线会把菱形分割成4个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别是两条对角线的一半，斜边为菱形的边长，结合已知的AC长度，用勾股定理就能算出另一条对角线的一半长度，进而得到另一条对角线的总长；最后用菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，即可算出最终面积。
【解析】
解：设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为40厘米
∴ 菱形边长AB = 40÷4 = 10厘米，且AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$
∵ AC = 16厘米
∴ $AO=\frac{1}{2}×16=8$厘米
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$厘米
∴ $BD=2×BO=12$厘米
∴ 菱形ABCD的面积 = $\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×16×12=96$平方厘米
【答案】
96平方厘米
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是考察菱形相关性质的灵活应用，解题关键是牢记菱形边长相等、对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理求出未知对角线的长度，再套用面积公式即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从菱形的基本性质入手思考：首先菱形四条边长度相等，可通过周长先算出边长；其次菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线会把菱形分割成4个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别是两条对角线的一半，斜边为菱形的边长，结合已知的AC长度，用勾股定理就能算出另一条对角线的一半长度，进而得到另一条对角线的总长；最后用菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，即可算出最终面积。
【解析】
解：设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为40厘米
∴ 菱形边长AB = 40÷4 = 10厘米，且AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$
∵ AC = 16厘米
∴ $AO=\frac{1}{2}×16=8$厘米
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$厘米
∴ $BD=2×BO=12$厘米
∴ 菱形ABCD的面积 = $\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×16×12=96$平方厘米
【答案】
96平方厘米
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是考察菱形相关性质的灵活应用，解题关键是牢记菱形边长相等、对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理求出未知对角线的长度，再套用面积公式即可得到结果。
【难度系数】
0.8
15. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$P$为$AB$上任意一点，$PF⊥ AC$于$F$，$PE⊥ BC$于$E$，则$EF$的最小值是
4.8
。答案
15.4.8
解析
【分析】
要解决EF最小值的问题，首先观察四边形CEPF的特征：已知∠C=90°，PF⊥AC、PE⊥BC，可判定四边形CEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=CP，因此求EF的最小值可转化为求点C到AB上点P的最短距离。根据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”，可知当CP⊥AB时CP长度最小，即EF最小，最后通过勾股定理和面积法计算出斜边上的高即可。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 推导EF与CP的关系：
$\because PF⊥ AC$，$PE⊥ BC$，$∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形CEPF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
$\therefore EF=CP$（矩形的对角线相等）。
3. 计算CP的最小值：
当$CP⊥ AB$时，CP的长度最小（垂线段最短），此时用三角形面积法计算CP：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，
解得：$CP=\frac{48}{10}=4.8$，因此EF的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类常规题型，解题的核心是利用矩形性质将未知的EF最值问题转化为熟悉的点到线段的最短距离问题，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握矩形性质、勾股定理及面积法求三角形高的方法。
【难度系数】
0.6
要解决EF最小值的问题，首先观察四边形CEPF的特征：已知∠C=90°，PF⊥AC、PE⊥BC，可判定四边形CEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=CP，因此求EF的最小值可转化为求点C到AB上点P的最短距离。根据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”，可知当CP⊥AB时CP长度最小，即EF最小，最后通过勾股定理和面积法计算出斜边上的高即可。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 推导EF与CP的关系：
$\because PF⊥ AC$，$PE⊥ BC$，$∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形CEPF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
$\therefore EF=CP$（矩形的对角线相等）。
3. 计算CP的最小值：
当$CP⊥ AB$时，CP的长度最小（垂线段最短），此时用三角形面积法计算CP：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CP$，
解得：$CP=\frac{48}{10}=4.8$，因此EF的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类常规题型，解题的核心是利用矩形性质将未知的EF最值问题转化为熟悉的点到线段的最短距离问题，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握矩形性质、勾股定理及面积法求三角形高的方法。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16. 主题演讲比赛，比赛的成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图。
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)被抽取的学生共有
(2)本次演讲成绩的中位数落在
(3)若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩不低于90分的学生共有多少名？
16. 主题演讲比赛，比赛的成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图。
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)被抽取的学生共有
20
人，B等级的学生有5
人；(2)本次演讲成绩的中位数落在
C
等级，扇形图中D组对应扇形的圆心角为72
度；(3)若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩不低于90分的学生共有多少名？
答案
16.(1) 20 5
(2) C 72
(3) 40
(2) C 72
(3) 40
解析
【分析】
这是条形统计图与扇形统计图结合的统计题，解题思路如下：
1. 先找两个统计图共有的信息：A等级人数为3名，占总人数的15%，由此可先算出抽取的总人数，再用总人数减去其余等级人数得到B等级人数；
2. 求中位数需先排序，总人数为20，中位数是第10、11名成绩的平均值，按等级从高到低累计人数即可判断中位数所在等级；求D组圆心角，用D组人数占总人数的比例乘360°即可；
3. 不低于90分即A、B等级，先算抽取样本中A、B等级的占比，再乘总参赛人数即可完成估算。
【解析】
(1) 已知A等级有3人，占总抽取人数的15%，因此被抽取的学生总人数为：$3÷15\%=20$（人）
B等级的学生人数为：$20-3-8-4=5$（人）
(2) 20个成绩从小到大排列后，中位数是第10个和第11个成绩的平均数：
A等级共3人（对应第1~3名），B等级共5人（对应第4~8名），C等级共8人（对应第9~16名），因此第10、11个成绩都属于C等级，即中位数落在C等级。
D组人数占总人数的比例为$\frac{4}{20}=20\%$，对应扇形的圆心角为：$360°×20\%=72°$
(3) 抽取的学生中成绩不低于90分的是A、B等级，共$3+5=8$人，占比为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
因此估计全校100名参赛学生中，成绩不低于90分的人数为：$100×\frac{8}{20}=40$（名）
【答案】
(1) 20；5
(2) C；72
(3) 40名
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题，需要结合两种统计图的关联信息求解总人数，再依次推导其余未知量，核心是掌握统计图的信息读取方法、中位数的定义、扇形圆心角的计算方法以及样本估计总体的思想。
【难度系数】
0.7
这是条形统计图与扇形统计图结合的统计题，解题思路如下：
1. 先找两个统计图共有的信息：A等级人数为3名，占总人数的15%，由此可先算出抽取的总人数，再用总人数减去其余等级人数得到B等级人数；
2. 求中位数需先排序，总人数为20，中位数是第10、11名成绩的平均值，按等级从高到低累计人数即可判断中位数所在等级；求D组圆心角，用D组人数占总人数的比例乘360°即可；
3. 不低于90分即A、B等级，先算抽取样本中A、B等级的占比，再乘总参赛人数即可完成估算。
【解析】
(1) 已知A等级有3人，占总抽取人数的15%，因此被抽取的学生总人数为：$3÷15\%=20$（人）
B等级的学生人数为：$20-3-8-4=5$（人）
(2) 20个成绩从小到大排列后，中位数是第10个和第11个成绩的平均数：
A等级共3人（对应第1~3名），B等级共5人（对应第4~8名），C等级共8人（对应第9~16名），因此第10、11个成绩都属于C等级，即中位数落在C等级。
D组人数占总人数的比例为$\frac{4}{20}=20\%$，对应扇形的圆心角为：$360°×20\%=72°$
(3) 抽取的学生中成绩不低于90分的是A、B等级，共$3+5=8$人，占比为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
因此估计全校100名参赛学生中，成绩不低于90分的人数为：$100×\frac{8}{20}=40$（名）
【答案】
(1) 20；5
(2) C；72
(3) 40名
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题，需要结合两种统计图的关联信息求解总人数，再依次推导其余未知量，核心是掌握统计图的信息读取方法、中位数的定义、扇形圆心角的计算方法以及样本估计总体的思想。
【难度系数】
0.7
