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7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何.”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（
A.10尺
B.11尺
C.12尺
D.13尺
C
）A.10尺
B.11尺
C.12尺
D.13尺
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道实际场景结合几何的应用题，解题思路如下：首先将问题转化为直角三角形的计算问题，我们可以设水深为未知数，芦苇的总长度就是水深加上高出水面的1尺；其次明确直角三角形的三条边：水深是一条直角边，水池正中央到岸边中点的水平距离是另一条直角边（水池边长为10尺，因此水平距离为5尺），拉直后的芦苇是斜边；最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设水深为$ x $尺，则芦苇的总长度为$ (x+1) $尺。
由题意可知，芦苇根部到水池一边中点的水平距离为$ 10÷2=5 $尺，将芦苇拉到岸边后，水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$ x^2 + 5^2 = (x+1)^2 $
展开并化简方程：
$ x^2 +25 = x^2 + 2x +1 $
消去等式两边的$ x^2 $，得：
$ 25 = 2x +1 $
解得：$ x=12 $
即水深为12尺。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；正方形性质
【点评】
本题是我国古代数学经典问题，将实际生活场景转化为直角三角形模型，既考查了勾股定理的基础应用，也体现了数学的实用性，解题的核心是准确对应直角三角形各边的实际长度，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
这是一道实际场景结合几何的应用题，解题思路如下：首先将问题转化为直角三角形的计算问题，我们可以设水深为未知数，芦苇的总长度就是水深加上高出水面的1尺；其次明确直角三角形的三条边：水深是一条直角边，水池正中央到岸边中点的水平距离是另一条直角边（水池边长为10尺，因此水平距离为5尺），拉直后的芦苇是斜边；最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设水深为$ x $尺，则芦苇的总长度为$ (x+1) $尺。
由题意可知，芦苇根部到水池一边中点的水平距离为$ 10÷2=5 $尺，将芦苇拉到岸边后，水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$ x^2 + 5^2 = (x+1)^2 $
展开并化简方程：
$ x^2 +25 = x^2 + 2x +1 $
消去等式两边的$ x^2 $，得：
$ 25 = 2x +1 $
解得：$ x=12 $
即水深为12尺。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；正方形性质
【点评】
本题是我国古代数学经典问题，将实际生活场景转化为直角三角形模型，既考查了勾股定理的基础应用，也体现了数学的实用性，解题的核心是准确对应直角三角形各边的实际长度，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
8. 一次函数 $ y=ax+b $ 的自变量和函数值的部分对应值如下表所示，则关于 $ x $ 的不等式 $ ax+b＞x $ 的解集是 （
A.$ x＜5 $
B.$ x＞5 $
C.$ x＜0 $
D.$ x＞0 $
A
）A.$ x＜5 $
B.$ x＞5 $
C.$ x＜0 $
D.$ x＞0 $
答案
8.A
解析
【分析】要解不等式$ax+b＞x$，首先需要确定一次函数$y=ax+b$中系数$a$和$b$的值。我们可以从表格中提取两组自变量和对应函数值，用待定系数法求出$a$、$b$，再代入不等式求解即可。
【解析】首先从表格中获取两组对应值：当$x=0$时，$y=3$；当$x=5$时，$y=5$。
将两组值代入$y=ax+b$：
① 把$x=0,y=3$代入，得$b=3$；
② 把$x=5,y=5,b=3$代入，得$5a+3=5$，解得$a=\frac{2}{5}$。
将$a=\frac{2}{5},b=3$代入不等式$ax+b＞x$，得：
$\frac{2}{5}x + 3 ＞ x$
移项得：$\frac{2}{5}x - x ＞ -3$
合并同类项得：$-\frac{3}{5}x ＞ -3$
两边同时除以$-\frac{3}{5}$，不等号方向改变，得：$x ＜ 5$。
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解一元一次不等式；一次函数的性质
【点评】本题属于基础题型，解题关键是正确从表格中提取对应值求出一次函数的系数，解不等式时要注意系数为负时不等号方向要改变。
【难度系数】0.7
【解析】首先从表格中获取两组对应值：当$x=0$时，$y=3$；当$x=5$时，$y=5$。
将两组值代入$y=ax+b$：
① 把$x=0,y=3$代入，得$b=3$；
② 把$x=5,y=5,b=3$代入，得$5a+3=5$，解得$a=\frac{2}{5}$。
将$a=\frac{2}{5},b=3$代入不等式$ax+b＞x$，得：
$\frac{2}{5}x + 3 ＞ x$
移项得：$\frac{2}{5}x - x ＞ -3$
合并同类项得：$-\frac{3}{5}x ＞ -3$
两边同时除以$-\frac{3}{5}$，不等号方向改变，得：$x ＜ 5$。
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解一元一次不等式；一次函数的性质
【点评】本题属于基础题型，解题关键是正确从表格中提取对应值求出一次函数的系数，解不等式时要注意系数为负时不等号方向要改变。
【难度系数】0.7
9. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.C
解析
【分析】
遇到等腰三角形（PM=PN）首先考虑等腰三角形三线合一的性质，我们可以过点P作OB的垂线，既可以得到MN的中点，也能构造出含60°角的直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出OD的长度，再减去MD的长度就能得到OM的长。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D。
∵ PM=PN，PD⊥MN，
∴ 根据等腰三角形三线合一，D为MN的中点，
∵ MN=2，
∴ MD=$\frac{1}{2}$MN=1。
在Rt△OPD中，∠PDO=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPD=30°，
∴ 30°角所对的直角边OD=$\frac{1}{2}$OP，
∵ OP=12，
∴ OD=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴ OM=OD - MD=6 - 1=5。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造特殊三角形，结合等腰三角形和直角三角形的性质求解，解题思路清晰，是几何性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
遇到等腰三角形（PM=PN）首先考虑等腰三角形三线合一的性质，我们可以过点P作OB的垂线，既可以得到MN的中点，也能构造出含60°角的直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出OD的长度，再减去MD的长度就能得到OM的长。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D。
∵ PM=PN，PD⊥MN，
∴ 根据等腰三角形三线合一，D为MN的中点，
∵ MN=2，
∴ MD=$\frac{1}{2}$MN=1。
在Rt△OPD中，∠PDO=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPD=30°，
∴ 30°角所对的直角边OD=$\frac{1}{2}$OP，
∵ OP=12，
∴ OD=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴ OM=OD - MD=6 - 1=5。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造特殊三角形，结合等腰三角形和直角三角形的性质求解，解题思路清晰，是几何性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，矩形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，BC=2CD，CD=11DE，若线段OB，BC的长是正整数，则矩形ABCD面积的最小值是（
A.$\frac{81}{2}$
B.81
C.$\frac{121}{2}$
D.121
A
）A.$\frac{81}{2}$
B.81
C.$\frac{121}{2}$
D.121
答案
10.A
解析
【分析】
矩形是中心对称图形，平分矩形面积的直线一定经过矩形的对称中心（对角线交点）。我们可以先设OB、BC的长度为正整数未知数，结合E点的位置关系表示出E点和矩形对称中心的坐标，再利用对称中心在直线OE上的关系推导OB和BC的数量关系，最后找到BC的最小值即可求出矩形面积的最小值。
【解析】
设$OB=a$（$a$为正整数），$BC=b$（$b$为正整数），$CD=m$。
1. 根据题意推导边长关系：
由$BC=2CD$得$b=2m$，即$m=\frac{b}{2}$；
由$CD=11DE$得$DE=\frac{m}{11}$，因此E点纵坐标为$m-\frac{m}{11}=\frac{10m}{11}$，E点横坐标为$a+b$。
2. 表示矩形对称中心坐标：
矩形ABCD的对称中心横坐标为$\frac{a+(a+b)}{2}=a+\frac{b}{2}$，纵坐标为$\frac{m}{2}$。
3. 利用对称中心在OE上列方程：
直线OE过原点，解析式为$y=\frac{10m}{11(a+b)}x$，将对称中心坐标代入得：
$\frac{m}{2}=\frac{10m}{11(a+b)}·(a+\frac{b}{2})$
约去不为0的$m$，交叉相乘化简：
$11(a+b)=20(a+\frac{b}{2})$
$11a+11b=20a+10b$
整理得$b=9a$。
4. 求最小面积：
因为$a、b$都是正整数，$a$最小取1时$b$最小为9，矩形面积$S=BC· CD=b·\frac{b}{2}=\frac{b^2}{2}$，代入$b=9$得$S_{\mathrm{最小}}=\frac{81}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形性质，一次函数的应用，矩形面积计算
【点评】
本题的解题突破口是理解平分中心对称图形面积的直线必定经过图形的对称中心，结合坐标法和一次函数的性质推导边长关系，再根据正整数的限制求最值，整体难度适中，侧重对几何性质和代数计算的综合考查。
【难度系数】
0.6
矩形是中心对称图形，平分矩形面积的直线一定经过矩形的对称中心（对角线交点）。我们可以先设OB、BC的长度为正整数未知数，结合E点的位置关系表示出E点和矩形对称中心的坐标，再利用对称中心在直线OE上的关系推导OB和BC的数量关系，最后找到BC的最小值即可求出矩形面积的最小值。
【解析】
设$OB=a$（$a$为正整数），$BC=b$（$b$为正整数），$CD=m$。
1. 根据题意推导边长关系：
由$BC=2CD$得$b=2m$，即$m=\frac{b}{2}$；
由$CD=11DE$得$DE=\frac{m}{11}$，因此E点纵坐标为$m-\frac{m}{11}=\frac{10m}{11}$，E点横坐标为$a+b$。
2. 表示矩形对称中心坐标：
矩形ABCD的对称中心横坐标为$\frac{a+(a+b)}{2}=a+\frac{b}{2}$，纵坐标为$\frac{m}{2}$。
3. 利用对称中心在OE上列方程：
直线OE过原点，解析式为$y=\frac{10m}{11(a+b)}x$，将对称中心坐标代入得：
$\frac{m}{2}=\frac{10m}{11(a+b)}·(a+\frac{b}{2})$
约去不为0的$m$，交叉相乘化简：
$11(a+b)=20(a+\frac{b}{2})$
$11a+11b=20a+10b$
整理得$b=9a$。
4. 求最小面积：
因为$a、b$都是正整数，$a$最小取1时$b$最小为9，矩形面积$S=BC· CD=b·\frac{b}{2}=\frac{b^2}{2}$，代入$b=9$得$S_{\mathrm{最小}}=\frac{81}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形性质，一次函数的应用，矩形面积计算
【点评】
本题的解题突破口是理解平分中心对称图形面积的直线必定经过图形的对称中心，结合坐标法和一次函数的性质推导边长关系，再根据正整数的限制求最值，整体难度适中，侧重对几何性质和代数计算的综合考查。
【难度系数】
0.6
11. 已知一次函数$y=(2-m)x - 3m +9$的图象经过第一、二、四象限，则$m$的取值范围为
$2＜m＜3$
。答案
11.$2＜m＜3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数的关系：当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限；当$b＞0$时，直线与y轴的交点在正半轴，会经过第一象限。题目中函数图象过第一、二、四象限，因此需要同时满足$k＜0$、$b＞0$两个条件，我们先对应找到本题中$k$和$b$的表达式，再分别列不等式求解，最后取两个不等式解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一次函数$y=(2-m)x - 3m +9$，其中一次项系数$k=2-m$，常数项（截距）$b=-3m+9$。
∵ 函数图象经过第一、二、四象限，
∴ 需满足$\begin{cases}k＜0 \\ b＞0\end{cases}$，即：
1. 解不等式$2-m＜0$，
移项得：$-m＜-2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m＞2$。
2. 解不等式$-3m+9＞0$，
移项得：$-3m＞-9$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m＜3$。
综合两个不等式的解集，取公共部分可得$2＜m＜3$。
【答案】
$2＜m＜3$
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数性质的基础综合题，核心是掌握一次函数中$k$、$b$的符号和图象经过象限的对应规律，解题时要注意解不等式时两边乘（或除以）负数，不等号方向需要改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数的关系：当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限；当$b＞0$时，直线与y轴的交点在正半轴，会经过第一象限。题目中函数图象过第一、二、四象限，因此需要同时满足$k＜0$、$b＞0$两个条件，我们先对应找到本题中$k$和$b$的表达式，再分别列不等式求解，最后取两个不等式解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一次函数$y=(2-m)x - 3m +9$，其中一次项系数$k=2-m$，常数项（截距）$b=-3m+9$。
∵ 函数图象经过第一、二、四象限，
∴ 需满足$\begin{cases}k＜0 \\ b＞0\end{cases}$，即：
1. 解不等式$2-m＜0$，
移项得：$-m＜-2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m＞2$。
2. 解不等式$-3m+9＞0$，
移项得：$-3m＞-9$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m＜3$。
综合两个不等式的解集，取公共部分可得$2＜m＜3$。
【答案】
$2＜m＜3$
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数性质的基础综合题，核心是掌握一次函数中$k$、$b$的符号和图象经过象限的对应规律，解题时要注意解不等式时两边乘（或除以）负数，不等号方向需要改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
