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知识点 单项式与多项式相乘
一般地，单项式与多项式相乘，就是用
例1 计算$(x^2+ax+5)·(-2x)$.
解 $(x^2+ax+5)·(-2x)$
$=x^2·(-2x)+ax·(-2x)+5·(-2x)$
$=-2x^3-2ax^2-10x$.
一般地，单项式与多项式相乘，就是用
单项式
去乘多项式的每一项
，再把所得的积相加
.例1 计算$(x^2+ax+5)·(-2x)$.
解 $(x^2+ax+5)·(-2x)$
$=x^2·(-2x)+ax·(-2x)+5·(-2x)$
$=-2x^3-2ax^2-10x$.
答案
单项式 每一项 相加
解析
【分析】
这道题是对单项式与多项式相乘的基本运算法则的直接考查，解题时可结合乘法分配律理解该法则：我们可以把多项式看作多个单项式的和，根据乘法分配律，需要用括号外的单项式分别和多项式内的每个单项式（也就是多项式的每一项）相乘，最后再把所有乘得的结果相加，就能得到最终运算结果，对应法则表述即可填出三个空。
【解析】
根据单项式与多项式相乘的运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
单项式 每一项 相加
【知识点】
1.单项式与多项式相乘法则 2.乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，该法则是整式乘法的重要基础，后续多项式乘多项式、整式混合运算都会用到该知识点，需准确记忆并熟练应用。
【难度系数】
0.9
这道题是对单项式与多项式相乘的基本运算法则的直接考查，解题时可结合乘法分配律理解该法则：我们可以把多项式看作多个单项式的和，根据乘法分配律，需要用括号外的单项式分别和多项式内的每个单项式（也就是多项式的每一项）相乘，最后再把所有乘得的结果相加，就能得到最终运算结果，对应法则表述即可填出三个空。
【解析】
根据单项式与多项式相乘的运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
单项式 每一项 相加
【知识点】
1.单项式与多项式相乘法则 2.乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，该法则是整式乘法的重要基础，后续多项式乘多项式、整式混合运算都会用到该知识点，需准确记忆并熟练应用。
【难度系数】
0.9
例2 一个长方形的长和宽分别是$3a+1$，$2a$，这个长方形的面积是（
A.$6a^2+2$
B.$6a+2a$
C.$6a^2+2a^2$
D.$6a^2+2a$
解析 长方形的面积=长×宽=$(3a+1)·2a=3a·2a+1·2a=6a^2+2a$。
答案 D
D
）A.$6a^2+2$
B.$6a+2a$
C.$6a^2+2a^2$
D.$6a^2+2a$
解析 长方形的面积=长×宽=$(3a+1)·2a=3a·2a+1·2a=6a^2+2a$。
答案 D
答案
D
解析
【分析】
要计算长方形的面积，首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽。题目已经给出长为$3a+1$、宽为$2a$，代入公式后会得到单项式乘多项式的运算式，接下来按照单项式乘多项式的运算法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，算出结果后和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据长方形面积公式列式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{长方形面积}&=\mathrm{长}×\mathrm{宽}\\&=(3a+1)·2a\\&=3a·2a + 1·2a \quad \mathrm{（单项式乘多项式法则）}\\&=6a^2+2a\end{aligned}$
对比选项，计算结果与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积公式、单项式乘多项式、单项式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查单项式与多项式相乘的法则应用，熟练掌握运算法则，代入公式逐步计算即可得到正确结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
要计算长方形的面积，首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽。题目已经给出长为$3a+1$、宽为$2a$，代入公式后会得到单项式乘多项式的运算式，接下来按照单项式乘多项式的运算法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，算出结果后和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据长方形面积公式列式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{长方形面积}&=\mathrm{长}×\mathrm{宽}\\&=(3a+1)·2a\\&=3a·2a + 1·2a \quad \mathrm{（单项式乘多项式法则）}\\&=6a^2+2a\end{aligned}$
对比选项，计算结果与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积公式、单项式乘多项式、单项式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查单项式与多项式相乘的法则应用，熟练掌握运算法则，代入公式逐步计算即可得到正确结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
例3 已知$m-2n=1$，则$2n(m+1)-m(1+2n)+3$的值为（
A.4
B.2
C.$-4$
D.$-2$
解析 因为$m-2n=1$，所以$2n - m = -1$。
所以原式$=2mn + 2n - m - 2mn +3 =2n -m +3 = -1 +3=2$。
答案 B
特别提醒
可以用分配律理解单项式与多项式相乘的乘法法则。
解题要点
把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题。
解题要点
本题主要考查单项式乘多项式的法则，对已知条件进行变形是解题的关键，解题的核心是整体代入思想，将要求的结果转化为含有已知条件的形式。
B
）A.4
B.2
C.$-4$
D.$-2$
解析 因为$m-2n=1$，所以$2n - m = -1$。
所以原式$=2mn + 2n - m - 2mn +3 =2n -m +3 = -1 +3=2$。
答案 B
特别提醒
可以用分配律理解单项式与多项式相乘的乘法法则。
解题要点
把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题。
解题要点
本题主要考查单项式乘多项式的法则，对已知条件进行变形是解题的关键，解题的核心是整体代入思想，将要求的结果转化为含有已知条件的形式。
答案
B
解析
【分析】
遇到已知一个代数式的值、求另一个代数式值的问题时，无需单独求解m、n的具体数值。首先利用单项式乘多项式的运算法则将所求代数式展开，再合并同类项化简，观察化简结果与已知条件的关联，将已知条件适当变形后整体代入计算即可。
【解析】
已知$m-2n=1$，变形可得$2n - m = -1$。
先展开化简原式：
$\begin{aligned}2n(m+1)-m(1+2n)+3&=2mn + 2n - m - 2mn + 3\\&=(2mn-2mn)+(2n - m)+3\\&=2n - m + 3\end{aligned}$
将$2n - m = -1$代入上式，得：
$原式=-1 + 3 = 2$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；整式化简求值；整体代入
【点评】
本题核心是利用整体代入思想简化计算，无需单独求解未知数的值，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，准确对所求代数式进行化简，再结合已知条件变形代入即可。
【难度系数】
0.8
遇到已知一个代数式的值、求另一个代数式值的问题时，无需单独求解m、n的具体数值。首先利用单项式乘多项式的运算法则将所求代数式展开，再合并同类项化简，观察化简结果与已知条件的关联，将已知条件适当变形后整体代入计算即可。
【解析】
已知$m-2n=1$，变形可得$2n - m = -1$。
先展开化简原式：
$\begin{aligned}2n(m+1)-m(1+2n)+3&=2mn + 2n - m - 2mn + 3\\&=(2mn-2mn)+(2n - m)+3\\&=2n - m + 3\end{aligned}$
将$2n - m = -1$代入上式，得：
$原式=-1 + 3 = 2$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；整式化简求值；整体代入
【点评】
本题核心是利用整体代入思想简化计算，无需单独求解未知数的值，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，准确对所求代数式进行化简，再结合已知条件变形代入即可。
【难度系数】
0.8
1. 下列式子计算正确的是 （
A.$(6xy^2 - 4x^2y) · 3xy = 18xy^2 - 12x^2y$
B.$(-x)(2x + x^2 - 1) = -x^3 - 2x^2 + 1$
C.$(-3x^2y)(-2xy + 3yz - 1) = 6x^3 · y^2 - 9x^2y^2z^2 - 3x^2y$
D.$( \frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{1}{2}b ) · 2ab = \frac{3}{2}a^{n+2}b - ab^2$
D
）A.$(6xy^2 - 4x^2y) · 3xy = 18xy^2 - 12x^2y$
B.$(-x)(2x + x^2 - 1) = -x^3 - 2x^2 + 1$
C.$(-3x^2y)(-2xy + 3yz - 1) = 6x^3 · y^2 - 9x^2y^2z^2 - 3x^2y$
D.$( \frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{1}{2}b ) · 2ab = \frac{3}{2}a^{n+2}b - ab^2$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所有的积相加，运算时要注意符号的正负、同底数幂相乘时指数相加，还要注意不能漏乘多项式里的常数项，逐一计算四个选项的结果，和选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则逐个分析选项：
A选项：$(6xy^2 - 4x^2y) · 3xy = 6xy^2·3xy + (-4x^2y)·3xy = 18x^2y^3 - 12x^3y^2$，选项未正确计算x、y的指数，错误；
B选项：$(-x)(2x + x^2 - 1) = (-x)·2x + (-x)·x^2 + (-x)·(-1) = -x^3 - 2x^2 + x$，选项漏乘最后一项的x，错误；
C选项：$(-3x^2y)(-2xy + 3yz - 1) = (-3x^2y)·(-2xy) + (-3x^2y)·3yz + (-3x^2y)·(-1) = 6x^3y^2 - 9x^2y^2z + 3x^2y$，选项z的指数计算错误、最后一项符号错误，错误；
D选项：$(\frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{1}{2}b) · 2ab = \frac{3}{4}a^{n+1}·2ab + (-\frac{1}{2}b)·2ab = \frac{3}{2}a^{n+2}b - ab^2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式与多项式相乘、同底数幂的乘法、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，运算时要格外注意不要漏乘多项式的常数项，同时要准确判断每一项乘积的符号、正确计算同底数幂的指数，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所有的积相加，运算时要注意符号的正负、同底数幂相乘时指数相加，还要注意不能漏乘多项式里的常数项，逐一计算四个选项的结果，和选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则逐个分析选项：
A选项：$(6xy^2 - 4x^2y) · 3xy = 6xy^2·3xy + (-4x^2y)·3xy = 18x^2y^3 - 12x^3y^2$，选项未正确计算x、y的指数，错误；
B选项：$(-x)(2x + x^2 - 1) = (-x)·2x + (-x)·x^2 + (-x)·(-1) = -x^3 - 2x^2 + x$，选项漏乘最后一项的x，错误；
C选项：$(-3x^2y)(-2xy + 3yz - 1) = (-3x^2y)·(-2xy) + (-3x^2y)·3yz + (-3x^2y)·(-1) = 6x^3y^2 - 9x^2y^2z + 3x^2y$，选项z的指数计算错误、最后一项符号错误，错误；
D选项：$(\frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{1}{2}b) · 2ab = \frac{3}{4}a^{n+1}·2ab + (-\frac{1}{2}b)·2ab = \frac{3}{2}a^{n+2}b - ab^2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式与多项式相乘、同底数幂的乘法、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，运算时要格外注意不要漏乘多项式的常数项，同时要准确判断每一项乘积的符号、正确计算同底数幂的指数，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
