2. 李老师做了一个长方形教具，其中一边长为$a+2b$，另一边长为$b$，则该长方形的面积为（）

A.$a+3b$
B.$ab+2b^2$
C.$ab+2b$
D.$2a+6b$

2. B

【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，结合题目给出的两边长，可列出面积的代数式，再根据单项式乘多项式的运算法则展开计算即可得到结果。
【解析】
根据长方形面积公式可得，该长方形的面积为：
$\begin{aligned}&(a+2b) × b \\=&a× b + 2b× b \\=&ab + 2b^2\end{aligned}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算；单项式乘多项式
【点评】
本题是基础运算应用题，将几何图形面积公式和整式乘法运算结合考查，难度较低，掌握基础的运算法则即可正确求解。
【难度系数】
0.9

3. 若$a^2 - 2a - 2 = 3$，则$3a(a - 2)$的值为（）

A.3
B.5
C.9
D.15

3. D

【分析】
解题时先观察已知等式和待求代数式的联系，首先对已知等式进行移项整理，求出$a^2 - 2a$的值；再利用单项式乘多项式的法则将待求式展开，提取公因式后就能发现待求式和$a^2 - 2a$的倍数关系，最后用整体代入法计算即可得到结果。
【解析】
第一步：整理已知等式求$a^2 - 2a$的值
已知$a^2 - 2a - 2 = 3$，移项可得：
$a^2 - 2a = 3 + 2 = 5$
第二步：化简待求代数式$3a(a - 2)$
根据单项式乘多项式的法则展开：
$3a(a - 2) = 3a · a - 3a · 2 = 3a^2 - 6a$
提取公因式3可得：
$3a^2 - 6a = 3(a^2 - 2a)$
第三步：整体代入计算
把$a^2 - 2a = 5$代入上式：
$3(a^2 - 2a) = 3 × 5 = 15$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式运算；整体代入法求代数式的值
【点评】
本题重点考查代数式求值中的整体思想，解题的核心是先通过已知条件得到公共代数式的取值，再代入化简后的待求式计算，不需要求出a的具体取值就能快速得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

4. 已知$A=x^2+3x-a$，$B=-x$，$C=x^3+3x^2+5$，若$A · B + C$的值与$x$的取值无关，则当$x=-4$时，$A$的值为（）

A.0
B.4
C.$-4$
D.2

4. B

【分析】
解题思路分为三步：第一步，先将A、B、C的表达式代入$A·B + C$中，按照整式运算法则展开并合并同类项；第二步，抓住“值与$x$的取值无关”的核心特征，即化简后所有含$x$的项的系数都为0，据此求出参数$a$的值；第三步，将$a$和$x=-4$代入$A$的表达式，计算得到最终结果。
【解析】
首先计算$A·B + C$：
把$A=x^2+3x-a$，$B=-x$，$C=x^3+3x^2+5$代入得：
$\begin{aligned}A·B + C&=(x^2+3x-a)·(-x)+x^3+3x^2+5\\&=-x^3-3x^2+ax+x^3+3x^2+5\\&=ax+5\end{aligned}$
因为$A·B + C$的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为0，即$a=0$。
因此$A$的表达式为$A=x^2+3x$，将$x=-4$代入得：
$A=(-4)^2+3×(-4)=16-12=4$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式值与字母无关的条件
【点评】
本题是整式运算章节的典型题型，解题核心是理解“代数式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有项的系数为0，掌握这个规律就能快速找到突破口，整体运算量不大，思路清晰明确。
【难度系数】
0.7

5. 计算：$-3x · (x^2 + 2x - 1) = \_\_\_\_\_\_.$

$-3x^3-6x^2+3x$

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加；其次明确运算时要带上每一项的符号，本题中单项式为$-3x$，多项式的三项分别为$x^2$、$+2x$、$-1$，逐一相乘后再求和；计算单项式乘单项式的过程中用到同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，同时注意负号的运算规则，最终得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (-3x)· x^2 + (-3x)· 2x + (-3x)· (-1) \\&= -3x^{1+2} + (-6)x^{1+1} + 3x \\&= -3x^3 -6x^2 + 3x\end{aligned}$
【答案】
$-3x^3-6x^2+3x$
【知识点】
单项式与多项式相乘；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考查单项式乘多项式运算法则的应用，解题时要注意不要漏乘多项式的常数项，同时要准确判断各项乘积的符号，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.85

6. 要使$(x^2 + ax + 5) · (-6x^3) + 6x^4$的结果中不含$x^4$的项，则常数$a$的值为________。

6. 1

【分析】
要解决本题，首先明确“结果中不含$x^4$的项”的含义：即原式展开合并同类项后，$x^4$项的系数为0。解题思路如下：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则展开乘积项；第二步，合并同类项，提取$x^4$项的系数；第三步，令$x^4$项的系数等于0，列一元一次方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
首先按照单项式乘多项式的分配律展开计算：
$\begin{aligned}&(x^2 + ax + 5)·(-6x^3) + 6x^4\\=&x^2·(-6x^3) + ax·(-6x^3) + 5·(-6x^3) + 6x^4\\=&-6x^5 -6ax^4 -30x^3 + 6x^4\end{aligned}$
合并$x^4$的同类项，整理得：
$=-6x^5 + (-6a + 6)x^4 -30x^3$
因为结果中不含$x^4$的项，所以$x^4$项的系数为0，可列方程：
$-6a + 6 = 0$
解方程得：
$-6a = -6 \implies a=1$
【答案】
1
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，核心是掌握“多项式不含某一项等价于该项合并后的系数为0”的规则，运算时要注意符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.75

7. 计算：（1）$2x(xy+y^2)+(-2xy^2+1-x^2y)-1$；
（2）$2x(3y-x^2)+2x· x^2$；
（3）$(a^2-2ab+3)·(-3a^2)^2$。

7. 解 （1）原式$=2x^2y + 2xy^2 - 2xy^2 + 1 - x^2y -1 = x^2 y$.
（2）原式$=6xy - 2x^3 + 2x^3 =6xy$.
（3）原式$=(a^2 - 2ab + 3) · 9a^4 = 9a^6 - 18a^5b + 27a^4$.

【分析】
这三道题均为整式混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有同类项需合并”的运算顺序：
1. 第（1）题先利用单项式乘多项式法则展开第一个括号，再直接去掉第二个括号，最后识别并合并同类项即可，注意合并同类项时仅系数相加减，字母和字母指数不变；
2. 第（2）题先分别计算单项式乘多项式、单项式乘单项式，再合并同类项，注意互为相反数的同类项相加得0；
3. 第（3）题先利用积的乘方、幂的乘方法则计算$(-3a^2)^2$，再用得到的单项式分别乘多项式的每一项，整理得出结果即可，注意不要漏乘多项式的常数项。
【解析】
（1）先展开单项式乘多项式，再去括号合并同类项：
原式$=2x· xy + 2x· y^2 - 2xy^2 + 1 - x^2y -1$
$=2x^2y + 2xy^2 - 2xy^2 + 1 - x^2y -1$
$=(2x^2y - x^2y) + (2xy^2 - 2xy^2) + (1 - 1)$
$=x^2y$
（2）先分别计算乘法运算，再合并同类项：
原式$=2x· 3y - 2x· x^2 + 2x^3$
$=6xy - 2x^3 + 2x^3$
$=6xy$
（3）先计算乘方运算，再计算单项式乘多项式：
原式$=(a^2 - 2ab + 3) · (-3)^2 · (a^2)^2$
$=(a^2 - 2ab + 3) · 9a^4$
$=a^2·9a^4 - 2ab·9a^4 + 3·9a^4$
$=9a^6 - 18a^5b + 27a^4$
【答案】
（1）$\boxed{x^2y}$；（2）$\boxed{6xy}$；（3）$\boxed{9a^6 - 18a^5b + 27a^4}$
【知识点】
单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查整式运算的法则和运算顺序的掌握情况，计算时需注意符号判断、不要漏乘多项式的项，熟练掌握基础运算法则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

8. 计算：$2x(-x^2 + 3x - 4) + 3x^2(\frac{1}{2}x + 1)$，其中$x=1$。

8. 解 $2x(-x^2 + 3x - 4) + 3x^2(\frac{1}{2}x + 1) = -2x^3 + 6x^2 - 8x + \frac{3}{2}x^3 + 3x^2 = -\frac{1}{2}x^3 + 9x^2 - 8x$. 当$x=1$时，原式$=-\frac{1}{2}×1^3 +9×1^2 -8×1 = -\frac{1}{2}+9-8=\frac{1}{2}$.

【分析】
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路如下：第一步先利用单项式与多项式相乘的法则，分别去掉两个括号，注意单项式要乘多项式的每一项，不要漏乘，同时注意符号的处理；第二步将展开后的项合并同类项，得到最简整式；第三步把x=1代入化简后的整式计算结果，相比直接代入原式计算，先化简再求值能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
首先根据单项式乘多项式法则展开式子：
$2x(-x^2 + 3x - 4) = 2x·(-x^2) + 2x·3x + 2x·(-4) = -2x^3 + 6x^2 - 8x$
$3x^2(\frac{1}{2}x + 1) = 3x^2·\frac{1}{2}x + 3x^2·1 = \frac{3}{2}x^3 + 3x^2$
将两部分相加，合并同类项：
原式$= -2x^3 + 6x^2 - 8x + \frac{3}{2}x^3 + 3x^2$
$= (-2x^3 + \frac{3}{2}x^3) + (6x^2 + 3x^2) - 8x$
$= -\frac{1}{2}x^3 + 9x^2 - 8x$
再代入$x=1$计算：
当$x=1$时，原式$= -\frac{1}{2}×1^3 + 9×1^2 - 8×1 = -\frac{1}{2} + 9 - 8 = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是正确运用单项式乘多项式的运算法则，运算时需注意不要漏乘多项式的项、不要弄错符号，合并同类项时准确计算系数，化简后再代入求值可提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

9. 如图，一张长方形硬纸片ABCD，长AD为$(5a^2 + 4b^2)\ \mathrm{m}$，宽AB为$6a^4\ \mathrm{m}$，在它的四个角上分别剪去一个边长为$2a^3\ \mathrm{m}$的小正方形（阴影部分），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积.

9. 解 $6a^4(5a^2 + 4b^2) - 4 × (2a^3)^2 = 30a^6 + 24a^4b^2 - 16a^6 =14a^6 + 24a^4b^2$.
答：折成无盖盒子所用硬纸片的面积为$(14a^6 + 24a^4b^2)\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
要求折成无盖盒子所用硬纸片的面积，可利用“剩余面积=原长方形面积 - 4个剪去的小正方形面积”的等量关系求解。第一步先计算原长方形ABCD的面积，用长乘宽即可；第二步计算4个边长为$2a^3$的小正方形的总面积；第三步将两个面积相减，再根据整式的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
首先计算原长方形ABCD的面积：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 6a^4 · (5a^2 + 4b^2)$
再计算4个剪去的小正方形的总面积：
$S_{\mathrm{四个小正方形}} = 4 × (2a^3)^2$
则所用硬纸片的面积为：
$\begin{aligned}S &= 6a^4(5a^2 + 4b^2) - 4 × (2a^3)^2 \\&= 30a^6 + 24a^4b^2 - 4 × 4a^6 \\&= 30a^6 + 24a^4b^2 - 16a^6 \\&= 14a^6 + 24a^4b^2\end{aligned}$
【答案】
$(14a^6 + 24a^4b^2)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
单项式乘多项式；积的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的实际应用类题目，解题的核心是准确找到面积的数量关系，计算过程中需熟练掌握整式的各类运算法则，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8