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10. 已知 $ x = 4 $，$ y = -\dfrac{1}{8} $，求 $ \dfrac{1}{7}xy^2 · 14(xy)^2 · \dfrac{1}{4}x^5 $ 的值。
答案
10. 解 原式$=\frac{1}{7}xy^2 · 14x^2y^2 · \frac{1}{4}x^5=\frac{1}{2}x^8y^4$.
当$x=4$，$y=-\frac{1}{8}$时，原式$=\frac{1}{2}(x^2y)^4=\frac{1}{2}×[16×(-\frac{1}{8})]^4=8$.
当$x=4$，$y=-\frac{1}{8}$时，原式$=\frac{1}{2}(x^2y)^4=\frac{1}{2}×[16×(-\frac{1}{8})]^4=8$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题更简便。第一步先处理积的乘方运算，将$(xy)^2$展开为$x^2y^2$；第二步根据单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数的乘积、同底数幂的乘积，将原式化简为最简整式；第三步代入$x$、$y$的数值计算，计算时可逆用积的乘方公式，把高次幂转化为低次幂的乘方，避免直接计算高次幂出现错误，简化运算过程。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{7}xy^2 · 14x^2y^2 · \frac{1}{4}x^5 \\&=(\frac{1}{7}×14×\frac{1}{4})·(x·x^2·x^5)·(y^2·y^2) \\&=\frac{1}{2}x^8y^4\end{aligned}$
再代入$x=4$，$y=-\dfrac{1}{8}$求值：
逆用积的乘方公式，将$\dfrac{1}{2}x^8y^4$变形为$\dfrac{1}{2}(x^2y)^4$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×[4^2×(-\frac{1}{8})]^4 \\&=\frac{1}{2}×[16×(-\frac{1}{8})]^4 \\&=\frac{1}{2}×(-2)^4 \\&=\frac{1}{2}×16 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
$8$
【知识点】
单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查整式乘法的基础运算能力，先化简后代入求值是解决这类问题的通用方法，合理逆用幂的运算公式变形化简式，能大幅降低计算量，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题更简便。第一步先处理积的乘方运算，将$(xy)^2$展开为$x^2y^2$；第二步根据单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数的乘积、同底数幂的乘积，将原式化简为最简整式；第三步代入$x$、$y$的数值计算，计算时可逆用积的乘方公式，把高次幂转化为低次幂的乘方，避免直接计算高次幂出现错误，简化运算过程。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{7}xy^2 · 14x^2y^2 · \frac{1}{4}x^5 \\&=(\frac{1}{7}×14×\frac{1}{4})·(x·x^2·x^5)·(y^2·y^2) \\&=\frac{1}{2}x^8y^4\end{aligned}$
再代入$x=4$，$y=-\dfrac{1}{8}$求值：
逆用积的乘方公式，将$\dfrac{1}{2}x^8y^4$变形为$\dfrac{1}{2}(x^2y)^4$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×[4^2×(-\frac{1}{8})]^4 \\&=\frac{1}{2}×[16×(-\frac{1}{8})]^4 \\&=\frac{1}{2}×(-2)^4 \\&=\frac{1}{2}×16 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
$8$
【知识点】
单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查整式乘法的基础运算能力，先化简后代入求值是解决这类问题的通用方法，合理逆用幂的运算公式变形化简式，能大幅降低计算量，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
11. 小李的住房结构如图所示（单位：m）.
（1）小李打算把卧室和客厅铺上地板，请你帮他算一算，他至少需要买多少平方米的地板？
（2）当$x＝4$，$y＝2$时，小李住房的总面积是多少平方米？
（1）小李打算把卧室和客厅铺上地板，请你帮他算一算，他至少需要买多少平方米的地板？
（2）当$x＝4$，$y＝2$时，小李住房的总面积是多少平方米？
答案
11. 解 （1）客厅的面积为$4y·2x=8xy$（$\mathrm{m}^2$），卧室的面积为$2y·2x=4xy$（$\mathrm{m}^2$），$8xy+4xy=12xy$.
答：他至少需要买$12xy\ \mathrm{m}^2$的地板.
（2）小李住房的总面积是$4x·4y-xy=15xy$（$\mathrm{m}^2$），当$x=4$，$y=2$时，$15xy=15×4×2=120$.
答：小李住房的总面积是$120\ \mathrm{m}^2$.
答：他至少需要买$12xy\ \mathrm{m}^2$的地板.
（2）小李住房的总面积是$4x·4y-xy=15xy$（$\mathrm{m}^2$），当$x=4$，$y=2$时，$15xy=15×4×2=120$.
答：小李住房的总面积是$120\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
（1）要计算卧室和客厅的地板总面积，首先明确两个区域均为矩形，需先分别找到两个矩形对应的长和宽，利用矩形面积公式“面积=长×宽”分别计算面积，再求和即可。
（2）计算住房总面积时，可先求出包含空缺区域的完整大矩形的面积，再减去左上角空缺的小矩形面积，得到总面积的代数式，再将$x=4$、$y=2$代入代数式求值即可。
【解析】
（1）首先计算客厅面积：客厅的长为$4y\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$，面积为$4y·2x=8xy\ (\mathrm{m}^2)$；
再计算卧室面积：卧室的长为$2y\ \mathrm{m}$，宽为$x+x=2x\ \mathrm{m}$，面积为$2y·2x=4xy\ (\mathrm{m}^2)$；
所需地板总面积为$8xy+4xy=12xy\ (\mathrm{m}^2)$。
（2）先计算完整大矩形的面积：大矩形长为$4y\ \mathrm{m}$，总宽为$2x+x+x=4x\ \mathrm{m}$，面积为$4x·4y=16xy\ (\mathrm{m}^2)$；
左上角空缺小矩形的面积为$x· y=xy\ (\mathrm{m}^2)$，因此住房总面积为$16xy-xy=15xy\ (\mathrm{m}^2)$；
当$x=4$，$y=2$时，代入得$15xy=15×4×2=120\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
（1）$12xy\ \mathrm{m}^2$；
（2）$120\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
单项式乘单项式；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查几何面积与整式运算的综合应用，解题关键是准确识别各矩形的边长参数，正确列出代数式并按运算法则计算。
【难度系数】
0.8
（1）要计算卧室和客厅的地板总面积，首先明确两个区域均为矩形，需先分别找到两个矩形对应的长和宽，利用矩形面积公式“面积=长×宽”分别计算面积，再求和即可。
（2）计算住房总面积时，可先求出包含空缺区域的完整大矩形的面积，再减去左上角空缺的小矩形面积，得到总面积的代数式，再将$x=4$、$y=2$代入代数式求值即可。
【解析】
（1）首先计算客厅面积：客厅的长为$4y\ \mathrm{m}$，宽为$2x\ \mathrm{m}$，面积为$4y·2x=8xy\ (\mathrm{m}^2)$；
再计算卧室面积：卧室的长为$2y\ \mathrm{m}$，宽为$x+x=2x\ \mathrm{m}$，面积为$2y·2x=4xy\ (\mathrm{m}^2)$；
所需地板总面积为$8xy+4xy=12xy\ (\mathrm{m}^2)$。
（2）先计算完整大矩形的面积：大矩形长为$4y\ \mathrm{m}$，总宽为$2x+x+x=4x\ \mathrm{m}$，面积为$4x·4y=16xy\ (\mathrm{m}^2)$；
左上角空缺小矩形的面积为$x· y=xy\ (\mathrm{m}^2)$，因此住房总面积为$16xy-xy=15xy\ (\mathrm{m}^2)$；
当$x=4$，$y=2$时，代入得$15xy=15×4×2=120\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
（1）$12xy\ \mathrm{m}^2$；
（2）$120\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
单项式乘单项式；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查几何面积与整式运算的综合应用，解题关键是准确识别各矩形的边长参数，正确列出代数式并按运算法则计算。
【难度系数】
0.8
