10.化简$\frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{4xy}$的结果是.

10.1

【分析】
本题属于分式化简类基础题，解题思路如下：第一步，回忆完全平方公式，将分子中的两个完全平方式分别展开；第二步，对分子去括号、合并同类项得到化简后的分子；第三步，将化简后的分子与分母约分，即可得到最终结果。解题时要注意去括号时的符号变化，避免出现计算错误。
【解析】
首先利用完全平方公式展开分子部分：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
代入原式分子计算：
$\begin{aligned}分子&=(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)\\&=x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2\\&=4xy\end{aligned}$
因此原式可化为$\frac{4xy}{4xy}$（隐含条件$xy≠0$），约分后得结果为$1$。
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式、分式约分、整式加减运算
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心考查完全平方公式的应用以及分式化简的基本规则，计算过程中需注意去括号的符号变化，合并同类项时不要漏项，掌握基础公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85

11.约分.
(1) $\dfrac{-15ab^2}{6a^2bc}$.
(2) $\dfrac{2x+4}{x^2+2x}$.

11.(1)$-\frac{5b}{2ac}$. (2)$\frac{2}{x}$.

【分析】
分式约分的核心是先找到分子与分母的公因式，再依据分式的基本性质，将分子分母同时除以公因式，最终得到最简分式。思考步骤如下：1. 若分子分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者组合即为公因式，同时注意符号的处理；2. 若分子分母是多项式，先对分子、分母分别进行因式分解，再提取公因式，约分时要保证分母不为0。
【解析】
(1) 分式$\dfrac{-15ab^2}{6a^2bc}$的分子、分母均为单项式，公因式为$3ab$：
根据分式的基本性质，分子分母同时除以$3ab$，可得：
$\dfrac{-15ab^2}{6a^2bc}=\dfrac{-15ab^2÷ 3ab}{6a^2bc÷ 3ab}=-\dfrac{5b}{2ac}$
(2) 分式$\dfrac{2x+4}{x^2+2x}$的分子、分母均为多项式，先因式分解：
分子$2x+4=2(x+2)$，分母$x^2+2x=x(x+2)$，公因式为$(x+2)$（隐含$x≠0$且$x≠-2$，保证分式有意义）：
根据分式的基本性质，分子分母同时除以$(x+2)$，可得：
$\dfrac{2x+4}{x^2+2x}=\dfrac{2(x+2)}{x(x+2)}=\dfrac{2}{x}$
【答案】
(1)$-\dfrac{5b}{2ac}$；(2)$\dfrac{2}{x}$
【知识点】
分式约分、因式分解、分式的基本性质
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题的关键是准确找出分子分母的公因式，注意遇到多项式时要先因式分解再约分，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.85

12.通分.
(1) $\frac{x}{4y^2}$与$\frac{x-y}{6xy}$.
(2) $\frac{mn}{4m^2 -n^2}$与$\frac{2m -n}{2m +n}$.

12.(1)$\frac{x}{4y^2}=\frac{3x^2}{12xy^2}$,$\frac{x-y}{6xy}=\frac{2xy-2y^2}{12xy^2}$. (2)$\frac{mn}{4m^2-n^2}$,$\frac{2m-n}{2m+n}=\frac{4m^2-4mn+n^2}{4m^2-n^2}$.

【分析】
通分的核心是先确定各组分式的最简公分母，再依据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都转化为最简公分母。
(1) 对于分母$4y^2$和$6xy$：先找系数4和6的最小公倍数，再取各字母的最高次幂，组合得到最简公分母；
(2) 对于分母$4m^2-n^2$和$2m+n$：先对可因式分解的分母$4m^2-n^2$用平方差公式分解，再取所有不同因式的最高次幂得到最简公分母，再分别变形分子即可。
【解析】
(1) 第一步：确定最简公分母
系数4和6的最小公倍数是12，字母部分x的最高次为1次，y的最高次为2次，因此最简公分母为$12xy^2$。
第二步：变形两个分式
对$\frac{x}{4y^2}$：分子分母同乘$3x$，得$\frac{x·3x}{4y^2·3x}=\frac{3x^2}{12xy^2}$；
对$\frac{x-y}{6xy}$：分子分母同乘$2y$，得$\frac{(x-y)·2y}{6xy·2y}=\frac{2xy-2y^2}{12xy^2}$。
(2) 第一步：因式分解分母，确定最简公分母
$4m^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$，因此两个分式的最简公分母为$(2m+n)(2m-n)=4m^2-n^2$。
第二步：变形两个分式
$\frac{mn}{4m^2-n^2}$的分母已经是最简公分母，无需变形；
对$\frac{2m-n}{2m+n}$：分子分母同乘$(2m-n)$，得$\frac{(2m-n)(2m-n)}{(2m+n)(2m-n)}=\frac{4m^2-4mn+n^2}{4m^2-n^2}$。
【答案】
(1)$\frac{x}{4y^2}=\frac{3x^2}{12xy^2}$,$\frac{x-y}{6xy}=\frac{2xy-2y^2}{12xy^2}$；
(2)$\frac{mn}{4m^2-n^2}$,$\frac{2m-n}{2m+n}=\frac{4m^2-4mn+n^2}{4m^2-n^2}$。
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母确定，通分方法
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是准确找到最简公分母，对于含有多项式的分母，要先因式分解再确定公分母，分子变形时注意不要漏乘每一项，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

13.阅读下列材料.
已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，求$\frac{a+b}{a-b}$的值.
解:设$a=3k,b=2k(k≠0)$，代入$\frac{a+b}{a-b}$，得原式$=\frac{3k+2k}{3k-2k}=\frac{5k}{k}=5$.
解决下列问题.
(1)已知$3a=5b$且$b≠0$，求$\frac{2a-3b}{2a+b}$的值.
(2)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{$$}$，求$\frac{a+b}{a+2b-3c}$的值.
(3)已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{2},\frac{b}{c}=\frac{3}{5}$，求$\frac{bc-ab}{a^2+b^2}$的值.

13.(1)$\frac{1}{13}$. (2)$-\frac{5}{4}$. (3)$\frac{14}{15}$.

【分析】
遇到连比等式时，可参照题干给出的参数法思路解题：先设这个相等的比值为参数k（k≠0），就能把a、b、c都用含k的式子表示，再代入所求分式，分子分母的参数k可以约去，即可求出分式的值，代入前要确认分母化简后不为0，保证分式有意义。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$（$k≠0$），则：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$
将上述关系代入$\frac{a+b}{a+2b-3c}$：
分子：$a+b=2k+3k=5k$
分母：$a+2b-3c=2k + 2×3k - 3×4k=2k+6k-12k=-4k$
$\therefore$原式$=\frac{5k}{-4k}$
$\because k≠0$，约去$k$可得：原式$=-\frac{5}{4}$
【答案】
$-\frac{5}{4}$
【知识点】
等比设参法，分式化简求值，分式基本性质
【点评】
本题是比例类分式求值的典型题型，解题核心是通过设参数将多个未知量转化为同一个参数的表达式，代入后消去参数得到结果，计算时要注意符号问题，避免运算出错。
【难度系数】
0.7