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例 如图①，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且能够完全重合。边OA在数轴上，OA=3。长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后的长方形O'D'E'F'与OABC重叠部分的面积记为S。
(1)如图①，求出数轴上点F表示的数；
(2)当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O'表示的数。
【解析】(1)$OF × 3 =12$，$OF=4$，点F表示的数为$-4$；
(2)①如图②所示，若点O'在OA上，则$3 × OO' =6$，$OO'=2$；
②如图③所示，若点O'在点A右侧，F'在OA上，则$3 × F'A =6$，$F'A=2$，
$\therefore OF'=1$，$\therefore OO'=5$。
$\therefore O'$表示的数为2或5。
(1)如图①，求出数轴上点F表示的数；
(2)当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O'表示的数。
【解析】(1)$OF × 3 =12$，$OF=4$，点F表示的数为$-4$；
(2)①如图②所示，若点O'在OA上，则$3 × OO' =6$，$OO'=2$；
②如图③所示，若点O'在点A右侧，F'在OA上，则$3 × F'A =6$，$F'A=2$，
$\therefore OF'=1$，$\therefore OO'=5$。
$\therefore O'$表示的数为2或5。
答案
解：
(1) 因为长方形OABC的面积为12，$OA=3$，
所以长方形OABC的竖直边长为$12÷3=4$。
因为长方形ODEF与OABC完全重合，且竖直边长等于$OA=3$，
所以$OF×3=12$，解得$OF=4$。
又因为点F在原点O的左侧，
所以点F表示的数为$-4$。
(2) 由题意得，$S=\frac{1}{2}×12=6$。
重叠部分为长方形，竖直方向的边长恒为3，因此重叠部分的水平长度为$6÷3=2$。
分两种情况讨论：
① 当点$O'$在OA上时，重叠部分的水平长度等于线段$OO'$的长，即$OO'=2$，此时点$O'$表示的数为2；
② 当点$O'$在点A的右侧时，点$F'$落在OA上，重叠部分的水平长度等于线段$F'A$的长，即$F'A=2$。
因为$OA=3$，所以$OF'=OA-F'A=3-2=1$，
又因为$O'F'=OF=4$，所以$OO'=OF'+O'F'=1+4=5$，此时点$O'$表示的数为5。
综上，点$O'$表示的数为2或5。
(1) 因为长方形OABC的面积为12，$OA=3$，
所以长方形OABC的竖直边长为$12÷3=4$。
因为长方形ODEF与OABC完全重合，且竖直边长等于$OA=3$，
所以$OF×3=12$，解得$OF=4$。
又因为点F在原点O的左侧，
所以点F表示的数为$-4$。
(2) 由题意得，$S=\frac{1}{2}×12=6$。
重叠部分为长方形，竖直方向的边长恒为3，因此重叠部分的水平长度为$6÷3=2$。
分两种情况讨论：
① 当点$O'$在OA上时，重叠部分的水平长度等于线段$OO'$的长，即$OO'=2$，此时点$O'$表示的数为2；
② 当点$O'$在点A的右侧时，点$F'$落在OA上，重叠部分的水平长度等于线段$F'A$的长，即$F'A=2$。
因为$OA=3$，所以$OF'=OA-F'A=3-2=1$，
又因为$O'F'=OF=4$，所以$OO'=OF'+O'F'=1+4=5$，此时点$O'$表示的数为5。
综上，点$O'$表示的数为2或5。
解析
【分析】
(1) 求点F表示的数，需先求OF的长度：已知长方形OABC的面积和OA的长，可先算出长方形垂直于OA方向的边长，再结合两个长方形完全重合的性质得到OF的长度，最后根据F在原点左侧确定其表示的数。
(2) 先根据题意算出重叠部分面积S=6，由于重叠部分始终是长方形，且竖直边长恒为3，可求出重叠部分的水平长度为2。再结合长方形移动的位置分两种情况讨论：①移动后O'落在线段OA上，此时重叠部分水平长度等于OO'的长；②移动后O'在点A右侧，F'落在线段OA上，此时重叠部分水平长度等于F'A的长，分别计算两种情况下O'对应的数即可。
【解析】
(1) 因为长方形OABC的面积为12，$OA=3$，
所以长方形OABC的竖直边长为$12÷3=4$。
因为长方形ODEF与OABC完全重合，
所以$OF×3=12$，解得$OF=4$。
又因为点F在原点O的左侧，
所以点F表示的数为$-4$。
(2) 由题意得，$S=\frac{1}{2}×12=6$。
重叠部分为长方形，竖直方向的边长恒为3，因此重叠部分的水平长度为$6÷3=2$。
分两种情况讨论：
① 当点$O'$在OA上时，重叠部分的水平长度等于线段$OO'$的长，即$OO'=2$，此时点$O'$表示的数为2；
② 当点$O'$在点A的右侧时，点$F'$落在OA上，重叠部分的水平长度等于线段$F'A$的长，即$F'A=2$。
因为$OA=3$，所以$OF'=OA-F'A=3-2=1$，
又因为$O'F'=OF=4$，所以$OO'=OF'+O'F'=1+4=5$，此时点$O'$表示的数为5。
综上，点$O'$表示的数为2或5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；
(2) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{5}$
【知识点】
数轴的应用，长方形面积计算，分类讨论
【点评】
本题结合数轴动点与长方形面积知识考查综合分析能力，解题时需根据图形移动的不同位置分类讨论，避免因漏考虑情况导致失分，同时要准确结合数轴上点的位置关系计算线段长度。
【难度系数】
0.7
(1) 求点F表示的数，需先求OF的长度：已知长方形OABC的面积和OA的长，可先算出长方形垂直于OA方向的边长，再结合两个长方形完全重合的性质得到OF的长度，最后根据F在原点左侧确定其表示的数。
(2) 先根据题意算出重叠部分面积S=6，由于重叠部分始终是长方形，且竖直边长恒为3，可求出重叠部分的水平长度为2。再结合长方形移动的位置分两种情况讨论：①移动后O'落在线段OA上，此时重叠部分水平长度等于OO'的长；②移动后O'在点A右侧，F'落在线段OA上，此时重叠部分水平长度等于F'A的长，分别计算两种情况下O'对应的数即可。
【解析】
(1) 因为长方形OABC的面积为12，$OA=3$，
所以长方形OABC的竖直边长为$12÷3=4$。
因为长方形ODEF与OABC完全重合，
所以$OF×3=12$，解得$OF=4$。
又因为点F在原点O的左侧，
所以点F表示的数为$-4$。
(2) 由题意得，$S=\frac{1}{2}×12=6$。
重叠部分为长方形，竖直方向的边长恒为3，因此重叠部分的水平长度为$6÷3=2$。
分两种情况讨论：
① 当点$O'$在OA上时，重叠部分的水平长度等于线段$OO'$的长，即$OO'=2$，此时点$O'$表示的数为2；
② 当点$O'$在点A的右侧时，点$F'$落在OA上，重叠部分的水平长度等于线段$F'A$的长，即$F'A=2$。
因为$OA=3$，所以$OF'=OA-F'A=3-2=1$，
又因为$O'F'=OF=4$，所以$OO'=OF'+O'F'=1+4=5$，此时点$O'$表示的数为5。
综上，点$O'$表示的数为2或5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；
(2) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{5}$
【知识点】
数轴的应用，长方形面积计算，分类讨论
【点评】
本题结合数轴动点与长方形面积知识考查综合分析能力，解题时需根据图形移动的不同位置分类讨论，避免因漏考虑情况导致失分，同时要准确结合数轴上点的位置关系计算线段长度。
【难度系数】
0.7
练习一
1.数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1,则与点A表示的数互为相反数的数是.
2.一只电子虫在一条数轴上,从原点开始,第1次向右跳1个单位长度,紧接着第2次向左跳2个单位长度,第3次向右跳3个单位长度,第4次向左跳4个单位长度……依此规律下去,当它跳第100次落下时,落点在数轴上表示的数是.
3.把一根木棒放在数轴上,数轴的单位长度为1 cm,木棒的左端点与数轴上的点A重合,右端点与数轴上的点B重合.
(1)若将木棒沿数轴水平向右移动,则当它的左端点移动到点B处时,它的右端点在数轴上对应的数为20;若将木棒沿数轴水平向左移动,则当它的右端点移动到点A处时,它的左端点在数轴上所对应的数为5,由此可得到木棒的长为cm;
(2)图中点A表示的数为,点B表示的数为;
(3)根据(1)(2),请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:
一天,小红问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在那么大,你还要40年才出生;你若是我现在这么大,你已经125岁,是老寿星了,哈哈!”请求出爷爷现在的年龄.
1.数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1,则与点A表示的数互为相反数的数是.
2.一只电子虫在一条数轴上,从原点开始,第1次向右跳1个单位长度,紧接着第2次向左跳2个单位长度,第3次向右跳3个单位长度,第4次向左跳4个单位长度……依此规律下去,当它跳第100次落下时,落点在数轴上表示的数是.
3.把一根木棒放在数轴上,数轴的单位长度为1 cm,木棒的左端点与数轴上的点A重合,右端点与数轴上的点B重合.
(1)若将木棒沿数轴水平向右移动,则当它的左端点移动到点B处时,它的右端点在数轴上对应的数为20;若将木棒沿数轴水平向左移动,则当它的右端点移动到点A处时,它的左端点在数轴上所对应的数为5,由此可得到木棒的长为cm;
(2)图中点A表示的数为,点B表示的数为;
(3)根据(1)(2),请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:
一天,小红问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在那么大,你还要40年才出生;你若是我现在这么大,你已经125岁,是老寿星了,哈哈!”请求出爷爷现在的年龄.
答案
解：
1. 设点A表示的数为x，
根据题意列方程：$x - 2 + 5 = 1$，
解得$x=-2$，
-2的相反数是2，
故答案为$\boldsymbol{2}$。
2. 根据题意，落点表示的数为：
$1-2+3-4+\dots+99-100$
$=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)$
$=(-1)×50$
$=-50$
故答案为$\boldsymbol{-50}$。
3. (1) 由题意可知，数轴上5到20的距离等于3倍的木棒长度，
木棒长为$(20-5)÷3=5\ \mathrm{cm}$，
故答案为$\boldsymbol{5}$。
(2) 点A表示的数为$5+5=10$，
点B表示的数为$10+5=15$，
故答案依次为$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{15}$。
(3) 借助数轴，把小红现在的年龄对应点A，爷爷现在的年龄对应点B，两人的年龄差看作木棒AB的长度：
当爷爷是小红现在的年龄时，相当于将木棒右端移动到点A，此时木棒左端对应的数为$-40$（表示小红还要40年才出生）；
当小红是爷爷现在的年龄时，相当于将木棒左端移动到点B，此时木棒右端对应的数为125。
因此两人的年龄差为$[125-(-40)]÷3=55$岁，
爷爷现在的年龄为$125-55=70$岁。
答：爷爷现在的年龄是70岁。
1. 设点A表示的数为x，
根据题意列方程：$x - 2 + 5 = 1$，
解得$x=-2$，
-2的相反数是2，
故答案为$\boldsymbol{2}$。
2. 根据题意，落点表示的数为：
$1-2+3-4+\dots+99-100$
$=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)$
$=(-1)×50$
$=-50$
故答案为$\boldsymbol{-50}$。
3. (1) 由题意可知，数轴上5到20的距离等于3倍的木棒长度，
木棒长为$(20-5)÷3=5\ \mathrm{cm}$，
故答案为$\boldsymbol{5}$。
(2) 点A表示的数为$5+5=10$，
点B表示的数为$10+5=15$，
故答案依次为$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{15}$。
(3) 借助数轴，把小红现在的年龄对应点A，爷爷现在的年龄对应点B，两人的年龄差看作木棒AB的长度：
当爷爷是小红现在的年龄时，相当于将木棒右端移动到点A，此时木棒左端对应的数为$-40$（表示小红还要40年才出生）；
当小红是爷爷现在的年龄时，相当于将木棒左端移动到点B，此时木棒右端对应的数为125。
因此两人的年龄差为$[125-(-40)]÷3=55$岁，
爷爷现在的年龄为$125-55=70$岁。
答：爷爷现在的年龄是70岁。
解析
【分析】
1. 第1题：数轴上点移动遵循“左减右加”的规律，先设点A表示的数为x，根据移动过程列方程求出x，再根据相反数定义计算结果即可。
2. 第2题：电子虫向右跳记为加对应数值，向左跳记为减对应数值，列出算式后观察规律，将相邻两个数分为一组，每组计算结果均为-1，统计组数即可快速求出结果。
3. 第3题：(1) 木棒向右移动时左端点到B、右端点到20，向左移动时右端点到A、左端点到5，可知5到20的距离等于3倍木棒长度，直接计算即可得到木棒长度；(2) 结合木棒长度，左端点对应的数5加木棒长就是点A的数，点A加木棒长就是点B的数；(3) 类比木棒移动问题，把小红和爷爷的年龄差看作木棒长度，爷爷像小红这么大时对应小红的年龄为-40，小红像爷爷这么大时对应爷爷的年龄为125，先算出年龄差，再求爷爷的年龄即可。
【解析】
1. 设点A表示的数为x，
根据题意列方程：$x - 2 + 5 = 1$，
解得$x=-2$，
-2的相反数是2。
2. 根据题意，落点表示的数为：
$1-2+3-4+\dots+99-100$
$=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)$
$=(-1)×50$
$=-50$
3. (1) 由题意可知，数轴上5到20的距离等于3倍的木棒长度，
木棒长为$(20-5)÷3=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 点A表示的数为$5+5=10$，
点B表示的数为$10+5=15$。
(3) 借助数轴，把小红现在的年龄对应点A，爷爷现在的年龄对应点B，两人的年龄差看作木棒AB的长度：
当爷爷是小红现在的年龄时，相当于将木棒右端移动到点A，此时木棒左端对应的数为$-40$（表示小红还要40年才出生）；
当小红是爷爷现在的年龄时，相当于将木棒左端移动到点B，此时木棒右端对应的数为125。
因此两人的年龄差为$[125-(-40)]÷3=55$岁，
爷爷现在的年龄为$125-55=70$岁。
答：爷爷现在的年龄是70岁。
【答案】
1. $\boldsymbol{2}$
2. $\boldsymbol{-50}$
3. (1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{15}$；(3) $\boldsymbol{70}$岁
【知识点】
数轴的应用、相反数的定义、有理数的加减混合运算
【点评】
本组题目将基础运算和数轴工具结合，难度逐层递进，既考察了数轴上点移动的基本规律、有理数运算等基础知识点，又通过木棒移动、年龄问题的转化考察了数形结合和模型转化的思维能力，灵活性较强。
【难度系数】
0.7
1. 第1题：数轴上点移动遵循“左减右加”的规律，先设点A表示的数为x，根据移动过程列方程求出x，再根据相反数定义计算结果即可。
2. 第2题：电子虫向右跳记为加对应数值，向左跳记为减对应数值，列出算式后观察规律，将相邻两个数分为一组，每组计算结果均为-1，统计组数即可快速求出结果。
3. 第3题：(1) 木棒向右移动时左端点到B、右端点到20，向左移动时右端点到A、左端点到5，可知5到20的距离等于3倍木棒长度，直接计算即可得到木棒长度；(2) 结合木棒长度，左端点对应的数5加木棒长就是点A的数，点A加木棒长就是点B的数；(3) 类比木棒移动问题，把小红和爷爷的年龄差看作木棒长度，爷爷像小红这么大时对应小红的年龄为-40，小红像爷爷这么大时对应爷爷的年龄为125，先算出年龄差，再求爷爷的年龄即可。
【解析】
1. 设点A表示的数为x，
根据题意列方程：$x - 2 + 5 = 1$，
解得$x=-2$，
-2的相反数是2。
2. 根据题意，落点表示的数为：
$1-2+3-4+\dots+99-100$
$=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)$
$=(-1)×50$
$=-50$
3. (1) 由题意可知，数轴上5到20的距离等于3倍的木棒长度，
木棒长为$(20-5)÷3=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 点A表示的数为$5+5=10$，
点B表示的数为$10+5=15$。
(3) 借助数轴，把小红现在的年龄对应点A，爷爷现在的年龄对应点B，两人的年龄差看作木棒AB的长度：
当爷爷是小红现在的年龄时，相当于将木棒右端移动到点A，此时木棒左端对应的数为$-40$（表示小红还要40年才出生）；
当小红是爷爷现在的年龄时，相当于将木棒左端移动到点B，此时木棒右端对应的数为125。
因此两人的年龄差为$[125-(-40)]÷3=55$岁，
爷爷现在的年龄为$125-55=70$岁。
答：爷爷现在的年龄是70岁。
【答案】
1. $\boldsymbol{2}$
2. $\boldsymbol{-50}$
3. (1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{15}$；(3) $\boldsymbol{70}$岁
【知识点】
数轴的应用、相反数的定义、有理数的加减混合运算
【点评】
本组题目将基础运算和数轴工具结合，难度逐层递进，既考察了数轴上点移动的基本规律、有理数运算等基础知识点，又通过木棒移动、年龄问题的转化考察了数形结合和模型转化的思维能力，灵活性较强。
【难度系数】
0.7
