10.(1)若$a=3,|b|=4$,且$a>b$,求$b$的值;
(2)若$a=2,|b|=4$,且$a<b$,求$b$的值;
(3)若$|a|=3,|b|=4$,且$a>b$,求$a,b$的值;
(4)若$|a|=3,|b|=4$,且$a<b$,求$a,b$的值。
(2)若$a=2,|b|=4$,且$a<b$,求$b$的值;
(3)若$|a|=3,|b|=4$,且$a>b$,求$a,b$的值;
(4)若$|a|=3,|b|=4$,且$a<b$,求$a,b$的值。
答案
解:
(1) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=3$,且$a>b$,$3>4$不成立,$3>-4$成立,
所以$b=-4$。
(2) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=2$,且$a<b$,$2<4$成立,$2<-4$不成立,
所以$b=4$。
(3) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a>b$,
当$a=3$时,只有$b=-4$满足$3>-4$;
当$a=-3$时,只有$b=-4$满足$-3>-4$,
所以$\begin{cases}a=3\\b=-4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}$。
(4) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a<b$,
当$b=4$时,$3<4$、$-3<4$均成立;
当$b=-4$时,$3<-4$、$-3<-4$均不成立,
所以$\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=4\end{cases}$。
(1) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=3$,且$a>b$,$3>4$不成立,$3>-4$成立,
所以$b=-4$。
(2) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=2$,且$a<b$,$2<4$成立,$2<-4$不成立,
所以$b=4$。
(3) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a>b$,
当$a=3$时,只有$b=-4$满足$3>-4$;
当$a=-3$时,只有$b=-4$满足$-3>-4$,
所以$\begin{cases}a=3\\b=-4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}$。
(4) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a<b$,
当$b=4$时,$3<4$、$-3<4$均成立;
当$b=-4$时,$3<-4$、$-3<-4$均不成立,
所以$\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=4\end{cases}$。
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路分两步:第一步,根据绝对值的性质,先求出带有绝对值符号的字母的所有可能取值;第二步,结合题目给出的字母大小关系,对所有可能的取值逐一验证,排除不符合条件的,剩下的就是正确结果。解题时要注意不要漏掉绝对值对应的正负两种情况,避免漏解。
【解析】
(1) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=3$,且$a>b$,$3>4$不成立,$3>-4$成立,
所以$b=-4$。
(2) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=2$,且$a<b$,$2<4$成立,$2<-4$不成立,
所以$b=4$。
(3) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a>b$,
当$a=3$时,只有$b=-4$满足$3>-4$;
当$a=-3$时,只有$b=-4$满足$-3>-4$,
所以$\begin{cases}a=3\\b=-4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}$。
(4) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a<b$,
当$b=4$时,$3<4$、$-3<4$均成立;
当$b=-4$时,$3<-4$、$-3<-4$均不成立,
所以$\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=4\end{cases}$。
【答案】
(1) $b=-4$;
(2) $b=4$;
(3) $\begin{cases}a=3\\b=-4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}$;
(4) $\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=4\end{cases}$。
【知识点】
绝对值的性质、有理数大小比较、分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值与有理数大小比较结合的基础题型,解题的关键是先根据绝对值的定义求出字母的所有可能取值,再结合大小约束条件筛选符合要求的解,解题时注意考虑全面,避免漏解或者多解。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心思路分两步:第一步,根据绝对值的性质,先求出带有绝对值符号的字母的所有可能取值;第二步,结合题目给出的字母大小关系,对所有可能的取值逐一验证,排除不符合条件的,剩下的就是正确结果。解题时要注意不要漏掉绝对值对应的正负两种情况,避免漏解。
【解析】
(1) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=3$,且$a>b$,$3>4$不成立,$3>-4$成立,
所以$b=-4$。
(2) 由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a=2$,且$a<b$,$2<4$成立,$2<-4$不成立,
所以$b=4$。
(3) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a>b$,
当$a=3$时,只有$b=-4$满足$3>-4$;
当$a=-3$时,只有$b=-4$满足$-3>-4$,
所以$\begin{cases}a=3\\b=-4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}$。
(4) 由$|a|=3$,得$a=3$或$a=-3$;
由$|b|=4$,得$b=4$或$b=-4$。
因为$a<b$,
当$b=4$时,$3<4$、$-3<4$均成立;
当$b=-4$时,$3<-4$、$-3<-4$均不成立,
所以$\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=4\end{cases}$。
【答案】
(1) $b=-4$;
(2) $b=4$;
(3) $\begin{cases}a=3\\b=-4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}$;
(4) $\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3\\b=4\end{cases}$。
【知识点】
绝对值的性质、有理数大小比较、分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值与有理数大小比较结合的基础题型,解题的关键是先根据绝对值的定义求出字母的所有可能取值,再结合大小约束条件筛选符合要求的解,解题时注意考虑全面,避免漏解或者多解。
【难度系数】
0.8
11.已知在数轴上有A,B,C三个点,点A表示的数是-4,点B表示绝对值最小的数,点C表示的数是最大的负整数.
(1)在数轴上把A,B,C三点标出来,并比较这三个点表示的数的大小(用“<”连接);
(2)直接写出如何移动点C,可以使它到点A和点B的距离相等.
(1)在数轴上把A,B,C三点标出来,并比较这三个点表示的数的大小(用“<”连接);
(2)直接写出如何移动点C,可以使它到点A和点B的距离相等.
答案
解:
由题意可知:点B表示的数是绝对值最小的数0,点C表示的数是最大的负整数-1。
(1) 绘制数轴,标注原点、正方向与单位长度,在数轴对应位置标出表示-4的点A、表示-1的点C、表示0的点B。
三个点表示的数的大小关系为:
$-4 < -1 < 0$
(2) 点A表示的数为-4,点B表示的数为0,到A、B距离相等的点表示的数是-2,点C原表示的数为-1,因此将点C沿数轴向左移动1个单位长度,即可使它到点A和点B的距离相等。
由题意可知:点B表示的数是绝对值最小的数0,点C表示的数是最大的负整数-1。
(1) 绘制数轴,标注原点、正方向与单位长度,在数轴对应位置标出表示-4的点A、表示-1的点C、表示0的点B。
三个点表示的数的大小关系为:
$-4 < -1 < 0$
(2) 点A表示的数为-4,点B表示的数为0,到A、B距离相等的点表示的数是-2,点C原表示的数为-1,因此将点C沿数轴向左移动1个单位长度,即可使它到点A和点B的距离相等。
解析
【分析】
解题时首先根据题干给出的特殊有理数的定义确定B、C两点表示的数:绝对值最小的数是0,最大的负整数是-1,结合已知A表示的数是-4,就得到了三个点对应的有理数。第一问先画出具备原点、正方向、单位长度三要素的数轴,标注三个点的位置,再根据“数轴上左边的数总小于右边的数”的规则比较大小即可。第二问先找到到A、B两点距离相等的点,也就是线段AB的中点,计算出中点对应的数,再对比点C原来的数,就能确定移动方向和移动距离。
【解析】
由题意可知:绝对值最小的数是0,故点B表示的数是0;最大的负整数是-1,故点C表示的数是-1,已知点A表示的数是-4。
(1) 绘制数轴,标注出原点、正方向和单位长度,在数轴上对应位置依次标出表示-4的点A、表示-1的点C、表示0的点B。
根据数轴上数的大小规律,可得三个数的大小关系为:$\boldsymbol{-4 < -1 < 0}$
(2) 到点A、点B距离相等的点是线段AB的中点,中点对应的数为$\frac{-4+0}{2}=-2$。
点C原来表示的数是-1,要从-1移动到-2,需要沿数轴向左移动1个单位长度。
【答案】
(1) 数轴标注见解析,数的大小关系为$\boldsymbol{-4 < -1 < 0}$;
(2) 将点C沿数轴向左移动1个单位长度。
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数大小比较
3. 数轴的应用
【点评】
本题侧重考查数轴相关的基础概念,解题的核心是先准确确定三个点对应的有理数,再结合数轴的性质解决排序和动点移动问题,有助于巩固有理数相关的基础概念。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题干给出的特殊有理数的定义确定B、C两点表示的数:绝对值最小的数是0,最大的负整数是-1,结合已知A表示的数是-4,就得到了三个点对应的有理数。第一问先画出具备原点、正方向、单位长度三要素的数轴,标注三个点的位置,再根据“数轴上左边的数总小于右边的数”的规则比较大小即可。第二问先找到到A、B两点距离相等的点,也就是线段AB的中点,计算出中点对应的数,再对比点C原来的数,就能确定移动方向和移动距离。
【解析】
由题意可知:绝对值最小的数是0,故点B表示的数是0;最大的负整数是-1,故点C表示的数是-1,已知点A表示的数是-4。
(1) 绘制数轴,标注出原点、正方向和单位长度,在数轴上对应位置依次标出表示-4的点A、表示-1的点C、表示0的点B。
根据数轴上数的大小规律,可得三个数的大小关系为:$\boldsymbol{-4 < -1 < 0}$
(2) 到点A、点B距离相等的点是线段AB的中点,中点对应的数为$\frac{-4+0}{2}=-2$。
点C原来表示的数是-1,要从-1移动到-2,需要沿数轴向左移动1个单位长度。
【答案】
(1) 数轴标注见解析,数的大小关系为$\boldsymbol{-4 < -1 < 0}$;
(2) 将点C沿数轴向左移动1个单位长度。
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数大小比较
3. 数轴的应用
【点评】
本题侧重考查数轴相关的基础概念,解题的核心是先准确确定三个点对应的有理数,再结合数轴的性质解决排序和动点移动问题,有助于巩固有理数相关的基础概念。
【难度系数】
0.8
12.已知三个有理数$a,b,c$,其中$a=-(-3\frac{1}{2})$,
$b$是$-4$的相反数,$c$是在$-7\frac{1}{13}$与$-6\frac{2}{3}$之间的整数.
请你解答下列问题:
(1)这三个数分别是多少?
(2)将这三个数用“$>$”号连接起来;
(3)这三个数中,哪一个数在数轴上表示的点与原点的距离最近?
$b$是$-4$的相反数,$c$是在$-7\frac{1}{13}$与$-6\frac{2}{3}$之间的整数.
请你解答下列问题:
(1)这三个数分别是多少?
(2)将这三个数用“$>$”号连接起来;
(3)这三个数中,哪一个数在数轴上表示的点与原点的距离最近?
答案
解:
(1) $a=-(-3\frac{1}{2})=3\frac{1}{2}$
因为$b$是$-4$的相反数,所以$b=4$
因为$-7\frac{1}{13} < -7 < -6\frac{2}{3}$,且$c$是该区间内的整数,所以$c=-7$
即$a=3\frac{1}{2}$,$b=4$,$c=-7$。
(2) 因为$4 > 3\frac{1}{2} > -7$,所以$b > a > c$。
(3) 分别计算三个数的绝对值:
$|a|=|3\frac{1}{2}|=3\frac{1}{2}$,$|b|=|4|=4$,$|c|=|-7|=7$
因为$3\frac{1}{2} < 4 < 7$,所以数$a$在数轴上表示的点与原点的距离最近。
(1) $a=-(-3\frac{1}{2})=3\frac{1}{2}$
因为$b$是$-4$的相反数,所以$b=4$
因为$-7\frac{1}{13} < -7 < -6\frac{2}{3}$,且$c$是该区间内的整数,所以$c=-7$
即$a=3\frac{1}{2}$,$b=4$,$c=-7$。
(2) 因为$4 > 3\frac{1}{2} > -7$,所以$b > a > c$。
(3) 分别计算三个数的绝对值:
$|a|=|3\frac{1}{2}|=3\frac{1}{2}$,$|b|=|4|=4$,$|c|=|-7|=7$
因为$3\frac{1}{2} < 4 < 7$,所以数$a$在数轴上表示的点与原点的距离最近。
解析
【分析】
本题围绕有理数的相关概念设置三个小问题,解题思路如下:
1. 求三个数的值:利用负负得正计算a;根据相反数的定义,求-4的相反数得到b;先明确区间内两个负分数的大小,找到二者之间的整数即为c。
2. 大小排序:依据有理数大小比较规则,正数大于负数,两个正数直接比数值大小即可完成排序。
3. 判断离原点最近的点:数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值,计算三个数的绝对值,绝对值最小的数对应的点离原点最近。
【解析】
(1) 计算a:$a=-(-3\frac{1}{2})=3\frac{1}{2}$;
b是$-4$的相反数,根据相反数定义可得$b=-(-4)=4$;
因为$-7\frac{1}{13} < -7 < -6\frac{2}{3}$,且c是该区间内的整数,所以$c=-7$。
即$a=3\frac{1}{2}$,$b=4$,$c=-7$。
(2) 根据有理数大小比较规则:正数大于负数,正数之间数值越大量越大。
因为$4 > 3\frac{1}{2} > -7$,所以$b > a > c$。
(3) 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值,分别计算三个数的绝对值:
$|a|=|3\frac{1}{2}|=3\frac{1}{2}$,$|b|=|4|=4$,$|c|=|-7|=7$。
因为$3\frac{1}{2} < 4 < 7$,所以数a在数轴上表示的点与原点的距离最近。
【答案】
(1) $a=3\frac{1}{2}$,$b=4$,$c=-7$;
(2) $b>a>c$;
(3) 数$a$在数轴上表示的点与原点的距离最近。
【知识点】
相反数的定义,有理数大小比较,绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础题型,综合考查有理数的核心基础概念,熟练掌握相反数、绝对值的意义以及有理数大小比较的方法是解题的关键,能够帮助巩固有理数相关的基础认知。
【难度系数】
0.8
本题围绕有理数的相关概念设置三个小问题,解题思路如下:
1. 求三个数的值:利用负负得正计算a;根据相反数的定义,求-4的相反数得到b;先明确区间内两个负分数的大小,找到二者之间的整数即为c。
2. 大小排序:依据有理数大小比较规则,正数大于负数,两个正数直接比数值大小即可完成排序。
3. 判断离原点最近的点:数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值,计算三个数的绝对值,绝对值最小的数对应的点离原点最近。
【解析】
(1) 计算a:$a=-(-3\frac{1}{2})=3\frac{1}{2}$;
b是$-4$的相反数,根据相反数定义可得$b=-(-4)=4$;
因为$-7\frac{1}{13} < -7 < -6\frac{2}{3}$,且c是该区间内的整数,所以$c=-7$。
即$a=3\frac{1}{2}$,$b=4$,$c=-7$。
(2) 根据有理数大小比较规则:正数大于负数,正数之间数值越大量越大。
因为$4 > 3\frac{1}{2} > -7$,所以$b > a > c$。
(3) 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值,分别计算三个数的绝对值:
$|a|=|3\frac{1}{2}|=3\frac{1}{2}$,$|b|=|4|=4$,$|c|=|-7|=7$。
因为$3\frac{1}{2} < 4 < 7$,所以数a在数轴上表示的点与原点的距离最近。
【答案】
(1) $a=3\frac{1}{2}$,$b=4$,$c=-7$;
(2) $b>a>c$;
(3) 数$a$在数轴上表示的点与原点的距离最近。
【知识点】
相反数的定义,有理数大小比较,绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础题型,综合考查有理数的核心基础概念,熟练掌握相反数、绝对值的意义以及有理数大小比较的方法是解题的关键,能够帮助巩固有理数相关的基础认知。
【难度系数】
0.8
13.已知有理数$a,b,c,d$,其中$a,d$为负数,$b,c$为正数,且$|c|>|b|>|d|>|a|$.
(1)画出数轴并标出表示数$a,b,c,d$的点的大致位置;
(2)比较$a,-b,-|c|,-(+d)$的大小.
(1)画出数轴并标出表示数$a,b,c,d$的点的大致位置;
(2)比较$a,-b,-|c|,-(+d)$的大小.
答案
解:
(1) 画出数轴,确定原点、正方向和单位长度:
∵ a、d为负数,|d|>|a|,
∴ 在原点左侧,d对应的点比a对应的点离原点更远,即d在a的左侧;
∵ b、c为正数,|c|>|b|,
∴ 在原点右侧,c对应的点比b对应的点离原点更远,即b在c的左侧。
数轴上点从左到右的大致顺序为:d,a,原点,b,c,依次标注出四个数的位置即可。
(2) 先化简各数:
$-|c|=-c$,$-(+d)=-d$。
∵ c是正数,∴ -c是负数,且$|-c|=|c|$;
∵ b是正数,∴ -b是负数,且$|-b|=|b|$;
∵ d是负数,∴ -d是正数。
已知$|c|>|b|>|d|>|a|$,a是负数,根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小,可得:
$-|c| < -b < a$,
又∵ 负数小于正数,$a<0$,$-(+d)>0$,
∴ $\boldsymbol{-|c| < -b < a < -(+d)}$。
(1) 画出数轴,确定原点、正方向和单位长度:
∵ a、d为负数,|d|>|a|,
∴ 在原点左侧,d对应的点比a对应的点离原点更远,即d在a的左侧;
∵ b、c为正数,|c|>|b|,
∴ 在原点右侧,c对应的点比b对应的点离原点更远,即b在c的左侧。
数轴上点从左到右的大致顺序为:d,a,原点,b,c,依次标注出四个数的位置即可。
(2) 先化简各数:
$-|c|=-c$,$-(+d)=-d$。
∵ c是正数,∴ -c是负数,且$|-c|=|c|$;
∵ b是正数,∴ -b是负数,且$|-b|=|b|$;
∵ d是负数,∴ -d是正数。
已知$|c|>|b|>|d|>|a|$,a是负数,根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小,可得:
$-|c| < -b < a$,
又∵ 负数小于正数,$a<0$,$-(+d)>0$,
∴ $\boldsymbol{-|c| < -b < a < -(+d)}$。
解析
【分析】
(1) 画数轴首先要明确数轴三要素:原点、正方向、单位长度。先根据数的正负判断对应点的位置:负数在原点左侧,正数在原点右侧;再根据绝对值大小判断点到原点的距离:绝对值越大,点离原点越远,负数绝对值越大越靠左,正数绝对值越大越靠右,即可确定四个点的大致位置。
(2) 比较大小第一步先化简要比较的各个数,再判断每个数的正负性,正数均大于负数;负数之间比较时,依据“两个负数,绝对值大的反而小”的规则,结合已知的绝对值大小关系,即可排出大小顺序。
【解析】
(1) 先绘制数轴,标注原点、向右的正方向和合适的单位长度:
① 已知a、d为负数,且$|d|>|a|$,因此原点左侧d离原点的距离比a更远,即d在a的左侧;
② 已知b、c为正数,且$|c|>|b|$,因此原点右侧c离原点的距离比b更远,即b在c的左侧。
数轴上的点从左到右大致顺序为d、a、原点、b、c,依次标注四个数即可。
(2) 先化简待比较的数:
$-|c|=-c$,$-(+d)=-d$。
判断各数正负并比较:
c是正数,因此$-|c|=-c$是负数,且$|-c|=|c|$;
b是正数,因此$-b$是负数,且$|-b|=|b|$;
已知$|c|>|b|>|d|>|a|$,根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小,可得$-|c| < -b < a$;
d是负数,因此$-(+d)=-d$是正数,所有负数都小于正数,因此$a < -(+d)$。
综上可得出四个数的大小关系。
【答案】
(1) 数轴上从左到右依次标注d、a、0、b、c(数轴略);
(2) $\boldsymbol{-|c| < -b < a < -(+d)}$
【知识点】
数轴的认识,有理数大小比较,绝对值的性质
【点评】
本题结合数轴和绝对值的性质考察有理数大小比较的方法,解题时先按正负性对数字分类,再利用负数比较大小的规则判断,可有效降低出错率,是有理数章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 画数轴首先要明确数轴三要素:原点、正方向、单位长度。先根据数的正负判断对应点的位置:负数在原点左侧,正数在原点右侧;再根据绝对值大小判断点到原点的距离:绝对值越大,点离原点越远,负数绝对值越大越靠左,正数绝对值越大越靠右,即可确定四个点的大致位置。
(2) 比较大小第一步先化简要比较的各个数,再判断每个数的正负性,正数均大于负数;负数之间比较时,依据“两个负数,绝对值大的反而小”的规则,结合已知的绝对值大小关系,即可排出大小顺序。
【解析】
(1) 先绘制数轴,标注原点、向右的正方向和合适的单位长度:
① 已知a、d为负数,且$|d|>|a|$,因此原点左侧d离原点的距离比a更远,即d在a的左侧;
② 已知b、c为正数,且$|c|>|b|$,因此原点右侧c离原点的距离比b更远,即b在c的左侧。
数轴上的点从左到右大致顺序为d、a、原点、b、c,依次标注四个数即可。
(2) 先化简待比较的数:
$-|c|=-c$,$-(+d)=-d$。
判断各数正负并比较:
c是正数,因此$-|c|=-c$是负数,且$|-c|=|c|$;
b是正数,因此$-b$是负数,且$|-b|=|b|$;
已知$|c|>|b|>|d|>|a|$,根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小,可得$-|c| < -b < a$;
d是负数,因此$-(+d)=-d$是正数,所有负数都小于正数,因此$a < -(+d)$。
综上可得出四个数的大小关系。
【答案】
(1) 数轴上从左到右依次标注d、a、0、b、c(数轴略);
(2) $\boldsymbol{-|c| < -b < a < -(+d)}$
【知识点】
数轴的认识,有理数大小比较,绝对值的性质
【点评】
本题结合数轴和绝对值的性质考察有理数大小比较的方法,解题时先按正负性对数字分类,再利用负数比较大小的规则判断,可有效降低出错率,是有理数章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
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