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一、选择题
1. 下列各组数中,以$a,b,c$为边的三角形不是直角三角形的是()
A.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$
B.$a=\frac{3}{2},b=2,c=\frac{5}{2}$
C.$a=\sqrt{5},b=\sqrt{12},c=\sqrt{13}$
D.$a=7,b=24,c=25$
1. 下列各组数中,以$a,b,c$为边的三角形不是直角三角形的是()
A.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$
B.$a=\frac{3}{2},b=2,c=\frac{5}{2}$
C.$a=\sqrt{5},b=\sqrt{12},c=\sqrt{13}$
D.$a=7,b=24,c=25$
答案
C
解析
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题思路是：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们只需逐个验证每个选项中的三边是否满足上述关系，不满足的即为所求答案。验证时注意先找到每组数中的最长边，再计算另外两边的平方和与最长边的平方比较即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
选项A：最长边为$c=\sqrt{3}$，计算得$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形，不符合题意；
选项B：最长边为$c=\frac{5}{2}$，计算得$(\frac{3}{2})^2+2^2=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$，$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形，不符合题意；
选项C：最长边为$c=\sqrt{13}$，计算得$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{12})^2=5+12=17$，$(\sqrt{13})^2=13$，$17≠13$，不满足$a^2+b^2=c^2$，不是直角三角形，符合题意；
选项D：最长边为$c=25$，计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 平方运算
【点评】
本题是勾股逆定理的基础应用题型，解题的关键是先确定三边中的最长边，再验证平方和的关系，避免因混淆边长顺序导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题思路是：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们只需逐个验证每个选项中的三边是否满足上述关系，不满足的即为所求答案。验证时注意先找到每组数中的最长边，再计算另外两边的平方和与最长边的平方比较即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
选项A：最长边为$c=\sqrt{3}$，计算得$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形，不符合题意；
选项B：最长边为$c=\frac{5}{2}$，计算得$(\frac{3}{2})^2+2^2=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$，$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形，不符合题意；
选项C：最长边为$c=\sqrt{13}$，计算得$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{12})^2=5+12=17$，$(\sqrt{13})^2=13$，$17≠13$，不满足$a^2+b^2=c^2$，不是直角三角形，符合题意；
选项D：最长边为$c=25$，计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 平方运算
【点评】
本题是勾股逆定理的基础应用题型，解题的关键是先确定三边中的最长边，再验证平方和的关系，避免因混淆边长顺序导致判断错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图1，在由单位正方形形成的网格图中有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
答案
B
解析
【分析】
要判断哪三条线段能构成直角三角形的三边，可利用勾股定理的逆定理：若三条线段中两条较短线段的平方和等于最长线段的平方，则这三条线段可构成直角三角形。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算四条线段长度的平方（无需计算实际长度，用平方判断更简便），再逐一验证选项中的三条线段是否满足勾股定理逆定理即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度的平方：
1. 线段AB横向跨度为2，纵向跨度为2，因此$AB^2=2^2+2^2=8$；
2. 线段EF横向跨度为1，纵向跨度为2，因此$EF^2=1^2+2^2=5$；
3. 线段GH横向跨度为3，纵向跨度为2，因此$GH^2=3^2+2^2=13$；
4. 线段CD横向跨度为4，纵向跨度为2，因此$CD^2=4^2+2^2=20$。
验证逆定理：$EF^2+AB^2=5+8=13=GH^2$，符合勾股定理逆定理，因此AB、EF、GH可构成直角三角形的三边。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类几何常见题型，核心是利用网格的特点结合勾股定理快速计算线段的平方，通过平方的数量关系判断是否满足直角三角形的构成条件，避免开方运算，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
要判断哪三条线段能构成直角三角形的三边，可利用勾股定理的逆定理：若三条线段中两条较短线段的平方和等于最长线段的平方，则这三条线段可构成直角三角形。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算四条线段长度的平方（无需计算实际长度，用平方判断更简便），再逐一验证选项中的三条线段是否满足勾股定理逆定理即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度的平方：
1. 线段AB横向跨度为2，纵向跨度为2，因此$AB^2=2^2+2^2=8$；
2. 线段EF横向跨度为1，纵向跨度为2，因此$EF^2=1^2+2^2=5$；
3. 线段GH横向跨度为3，纵向跨度为2，因此$GH^2=3^2+2^2=13$；
4. 线段CD横向跨度为4，纵向跨度为2，因此$CD^2=4^2+2^2=20$。
验证逆定理：$EF^2+AB^2=5+8=13=GH^2$，符合勾股定理逆定理，因此AB、EF、GH可构成直角三角形的三边。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类几何常见题型，核心是利用网格的特点结合勾股定理快速计算线段的平方，通过平方的数量关系判断是否满足直角三角形的构成条件，避免开方运算，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
3. 三角形的三条边长分别为$a,b,c$,满足等式$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$,则此三角形是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
B
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先对已知的边长等式进行化简，得到三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理判断。首先利用完全平方公式展开等式左侧，再通过移项合并同类项整理式子，最后验证是否满足勾股定理逆定理的条件即可。
【解析】
第一步：展开等式左侧的完全平方
已知$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入等式得：
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$
第二步：化简等式推导三边关系
等式两边同时减去$2ab$，可得：
$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$
第三步：根据勾股定理的逆定理判断
若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过整式变形得到三角形三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理直接判断三角形形状，掌握基本公式和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的形状，需先对已知的边长等式进行化简，得到三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理判断。首先利用完全平方公式展开等式左侧，再通过移项合并同类项整理式子，最后验证是否满足勾股定理逆定理的条件即可。
【解析】
第一步：展开等式左侧的完全平方
已知$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入等式得：
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$
第二步：化简等式推导三边关系
等式两边同时减去$2ab$，可得：
$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$
第三步：根据勾股定理的逆定理判断
若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过整式变形得到三角形三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理直接判断三角形形状，掌握基本公式和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4. 五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为8,9,12,15,17,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是()
9
17 12
8 15
12
17
9 15
8
17 12
15
8 9
8
12 17
9 15
9
17 12
8 15
12
17
9 15
8
17 12
15
8 9
8
12 17
9 15
答案
$\boldsymbol{C}$
解析
【分析】
要判断哪个选项的摆放正确，需利用勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。解题时逐一验证每个选项中的两个三角形是否都符合上述条件，且用到的木棒长度为8、9、12、15、17，无重复、无遗漏即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：第一个三角形三边长为9、12、17，$9^2+12^2=81+144=225$，$17^2=289$，$225≠289$，不是直角三角形，排除A；
选项B：第一个三角形三边长为9、12、17，同选项A的计算，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，排除B；
选项C：第一个三角形三边长为8、15、17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，是直角三角形；第二个三角形三边长为9、12、15，$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，也是直角三角形，且用到的长度恰好是8、9、12、15、17，符合要求；
选项D：第一个三角形三边长为8、9、12，$8^2+9^2=64+81=145$，$12^2=144$，$145≠144$，不是直角三角形，排除D。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础应用题，核心是考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时只要熟练掌握逆定理的内容，对每组三角形的三边依次验证，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项的摆放正确，需利用勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。解题时逐一验证每个选项中的两个三角形是否都符合上述条件，且用到的木棒长度为8、9、12、15、17，无重复、无遗漏即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：第一个三角形三边长为9、12、17，$9^2+12^2=81+144=225$，$17^2=289$，$225≠289$，不是直角三角形，排除A；
选项B：第一个三角形三边长为9、12、17，同选项A的计算，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，排除B；
选项C：第一个三角形三边长为8、15、17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，是直角三角形；第二个三角形三边长为9、12、15，$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，也是直角三角形，且用到的长度恰好是8、9、12、15、17，符合要求；
选项D：第一个三角形三边长为8、9、12，$8^2+9^2=64+81=145$，$12^2=144$，$145≠144$，不是直角三角形，排除D。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础应用题，核心是考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时只要熟练掌握逆定理的内容，对每组三角形的三边依次验证，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
1. 在$△ ABC$中，三边的长分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$，则它的面积是。
答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要计算三角形的面积，首先可根据三边长度判断三角形的形状：第一步先找出三边中的最长边为$\sqrt{3}$，第二步计算两条较短边的平方和，与最长边的平方进行比较，若相等则可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，第三步再利用直角三角形的面积公式计算面积即可。
【解析】
解：$\because 1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$
$\therefore 1^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且长度为$1$和$\sqrt{2}$的边为两条直角边
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是先通过三边的平方关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，难度较低，属于必须掌握的基础题。
【难度系数】
0.8
要计算三角形的面积，首先可根据三边长度判断三角形的形状：第一步先找出三边中的最长边为$\sqrt{3}$，第二步计算两条较短边的平方和，与最长边的平方进行比较，若相等则可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，第三步再利用直角三角形的面积公式计算面积即可。
【解析】
解：$\because 1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$
$\therefore 1^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且长度为$1$和$\sqrt{2}$的边为两条直角边
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是先通过三边的平方关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，难度较低，属于必须掌握的基础题。
【难度系数】
0.8
2. 三角形的两边长分别是6和8,要使这个三角形是直角三角形,则第三边长应是.
答案
解：
设第三边长为$x$，分两种情况讨论：
1. 当第三边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
∵$x＞0$，∴$x=10$。
2. 当长度为8的边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$，
∵$x＞0$，∴$x=2\sqrt{7}$。
综上，第三边长应是$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{2\sqrt{7}}$。
设第三边长为$x$，分两种情况讨论：
1. 当第三边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
∵$x＞0$，∴$x=10$。
2. 当长度为8的边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$，
∵$x＞0$，∴$x=2\sqrt{7}$。
综上，第三边长应是$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{2\sqrt{7}}$。
解析
【分析】
题目已知直角三角形的两条边长为6和8，但未明确这两条边是直角边还是斜边，而斜边是直角三角形中最长的边，因此需分两种情况讨论：①第三边为斜边，此时6和8均为直角边；②长度为8的边为斜边（因为6＜8，所以6不可能为斜边），此时第三边为直角边。两种情况均用勾股定理列方程求解，结合边长为正数的条件筛选结果即可。
【解析】
设第三边长为$x$，分两种情况讨论：
1. 当第三边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
∵$x＞0$，
∴$x=10$。
2. 当长度为8的边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$，
∵$x＞0$，
∴$x=2\sqrt{7}$。
综上，第三边长为10或$2\sqrt{7}$。
【答案】
$10$或$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；二次根式化简
【点评】
本题易出现的错误是默认第三边为斜边，仅得到10这一个答案。解题的关键是明确斜边的不确定性，结合“斜边为直角三角形最长边”的性质合理分类，考察勾股定理的灵活应用和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
题目已知直角三角形的两条边长为6和8，但未明确这两条边是直角边还是斜边，而斜边是直角三角形中最长的边，因此需分两种情况讨论：①第三边为斜边，此时6和8均为直角边；②长度为8的边为斜边（因为6＜8，所以6不可能为斜边），此时第三边为直角边。两种情况均用勾股定理列方程求解，结合边长为正数的条件筛选结果即可。
【解析】
设第三边长为$x$，分两种情况讨论：
1. 当第三边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
∵$x＞0$，
∴$x=10$。
2. 当长度为8的边为直角三角形的斜边时：
由勾股定理得 $x^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$，
∵$x＞0$，
∴$x=2\sqrt{7}$。
综上，第三边长为10或$2\sqrt{7}$。
【答案】
$10$或$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；二次根式化简
【点评】
本题易出现的错误是默认第三边为斜边，仅得到10这一个答案。解题的关键是明确斜边的不确定性，结合“斜边为直角三角形最长边”的性质合理分类，考察勾股定理的灵活应用和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
3. 如图2,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,点E是BC的中点,点F是CD上一点,且$CF=\frac{1}{4}CD$,则$∠ AEF=$. 
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
【分析】
首先由四边相等、四个角均为直角可判定四边形ABCD是正方形，要求∠AEF的度数，可结合勾股定理及其逆定理求解：我们可以设正方形的边长为参数，分别在Rt△ABE、Rt△ECF、Rt△ADF中用勾股定理求出AE²、EF²、AF²，再验证AE²+EF²是否等于AF²，若满足则可根据勾股定理的逆定理判定△AEF是直角三角形，从而得到∠AEF的度数。设边长为4a可让各段长度计算更简便，避免分数运算。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4a（a＞0），则AB=BC=CD=DA=4a，∠B=∠C=∠D=90°。
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=2a，
∵CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=a，DF=CD-CF=3a。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2+BE^2=(4a)^2+(2a)^2=16a^2+4a^2=20a^2$；
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
$EF^2=EC^2+CF^2=(2a)^2+a^2=4a^2+a^2=5a^2$；
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AF^2=AD^2+DF^2=(4a)^2+(3a)^2=16a^2+9a^2=25a^2$。
∵$AE^2+EF^2=20a^2+5a^2=25a^2=AF^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△AEF是直角三角形，且AF为斜边，
∴∠AEF=90°。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，通过设参数将角度判断问题转化为边长的数量关系验证，是几何中判定直角的常用方法，解题时选择合适的参数可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先由四边相等、四个角均为直角可判定四边形ABCD是正方形，要求∠AEF的度数，可结合勾股定理及其逆定理求解：我们可以设正方形的边长为参数，分别在Rt△ABE、Rt△ECF、Rt△ADF中用勾股定理求出AE²、EF²、AF²，再验证AE²+EF²是否等于AF²，若满足则可根据勾股定理的逆定理判定△AEF是直角三角形，从而得到∠AEF的度数。设边长为4a可让各段长度计算更简便，避免分数运算。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4a（a＞0），则AB=BC=CD=DA=4a，∠B=∠C=∠D=90°。
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=2a，
∵CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=a，DF=CD-CF=3a。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2+BE^2=(4a)^2+(2a)^2=16a^2+4a^2=20a^2$；
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
$EF^2=EC^2+CF^2=(2a)^2+a^2=4a^2+a^2=5a^2$；
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AF^2=AD^2+DF^2=(4a)^2+(3a)^2=16a^2+9a^2=25a^2$。
∵$AE^2+EF^2=20a^2+5a^2=25a^2=AF^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△AEF是直角三角形，且AF为斜边，
∴∠AEF=90°。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，通过设参数将角度判断问题转化为边长的数量关系验证，是几何中判定直角的常用方法，解题时选择合适的参数可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
4* 已知等腰直角$△ ABC$，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=4$，平面内有一点$D$，连接$CD$，$AD$，若$CD=2$，$AD=6$，则$∠ BCD=$。
答案
解：
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴ 由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，$∠ ACB = 45°$。
在△ACD中，$CD=2$，$AD=6$，
∴ $CD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，$AD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $CD^2 + AC^2 = AD^2$，
由勾股定理的逆定理得：$∠ ACD = 90°$。
分两种情况：
1. 当点D与点B在AC的同侧时，$∠ BCD = ∠ ACD - ∠ ACB = 90° - 45° = 45°$；
2. 当点D与点B在AC的异侧时，$∠ BCD = ∠ ACD + ∠ ACB = 90° + 45° = 135°$。
综上，$∠ BCD = 45°$或$135°$。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴ 由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，$∠ ACB = 45°$。
在△ACD中，$CD=2$，$AD=6$，
∴ $CD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，$AD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $CD^2 + AC^2 = AD^2$，
由勾股定理的逆定理得：$∠ ACD = 90°$。
分两种情况：
1. 当点D与点B在AC的同侧时，$∠ BCD = ∠ ACD - ∠ ACB = 90° - 45° = 45°$；
2. 当点D与点B在AC的异侧时，$∠ BCD = ∠ ACD + ∠ ACB = 90° + 45° = 135°$。
综上，$∠ BCD = 45°$或$135°$。
解析
【分析】
首先，根据已知的等腰直角△ABC，先利用勾股定理求出斜边AC的长度，同时得到∠ACB的度数；再观察△ACD的三条边长，通过计算验证三边是否满足勾股定理的逆定理，从而判断△ACD的形状，得到∠ACD的度数；最后注意点D的位置有两种可能：与点B在AC同侧、与点B在AC异侧，分两种情况计算∠BCD的度数即可。
【解析】
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴ 由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，且等腰直角三角形底角相等，故$∠ ACB = 45°$。
在△ACD中，已知$CD=2$，$AD=6$，
计算得：$CD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，$AD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $CD^2 + AC^2 = AD^2$，
由勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且$∠ ACD = 90°$。
接下来分两种情况讨论点D的位置：
1. 当点D与点B在AC的同侧时，$∠ BCD = ∠ ACD - ∠ ACB = 90° - 45° = 45°$；
2. 当点D与点B在AC的异侧时，$∠ BCD = ∠ ACD + ∠ ACB = 90° + 45° = 135°$。
综上，$∠ BCD$的度数为45°或135°。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是先通过计算判断△ACD为直角三角形，同时要注意点D的位置存在两种情况，需分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先，根据已知的等腰直角△ABC，先利用勾股定理求出斜边AC的长度，同时得到∠ACB的度数；再观察△ACD的三条边长，通过计算验证三边是否满足勾股定理的逆定理，从而判断△ACD的形状，得到∠ACD的度数；最后注意点D的位置有两种可能：与点B在AC同侧、与点B在AC异侧，分两种情况计算∠BCD的度数即可。
【解析】
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴ 由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$，且等腰直角三角形底角相等，故$∠ ACB = 45°$。
在△ACD中，已知$CD=2$，$AD=6$，
计算得：$CD^2 + AC^2 = 2^2 + 32 = 36$，$AD^2 = 6^2 = 36$，
∴ $CD^2 + AC^2 = AD^2$，
由勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且$∠ ACD = 90°$。
接下来分两种情况讨论点D的位置：
1. 当点D与点B在AC的同侧时，$∠ BCD = ∠ ACD - ∠ ACB = 90° - 45° = 45°$；
2. 当点D与点B在AC的异侧时，$∠ BCD = ∠ ACD + ∠ ACB = 90° + 45° = 135°$。
综上，$∠ BCD$的度数为45°或135°。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是先通过计算判断△ACD为直角三角形，同时要注意点D的位置存在两种情况，需分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
