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三、解答题
1. 如图8，$∠ B = ∠ FAC = 90°$，$BC = 3\ \mathrm{cm}$，$AB = 4\ \mathrm{cm}$，$AF = 12\ \mathrm{cm}$. 求正方形$CDEF$的面积.
1. 如图8，$∠ B = ∠ FAC = 90°$，$BC = 3\ \mathrm{cm}$，$AB = 4\ \mathrm{cm}$，$AF = 12\ \mathrm{cm}$. 求正方形$CDEF$的面积.
答案
解：
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$。
在Rt△FAC中，∠FAC=90°，由勾股定理得：
$FC^2 = AC^2 + AF^2 = 25 + 12^2 = 169$。
∵ 四边形CDEF是正方形，
∴ 正方形CDEF的面积$= FC^2 = 169\ \mathrm{cm}^2$。
答：正方形CDEF的面积为$169\ \mathrm{cm}^2$。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$。
在Rt△FAC中，∠FAC=90°，由勾股定理得：
$FC^2 = AC^2 + AF^2 = 25 + 12^2 = 169$。
∵ 四边形CDEF是正方形，
∴ 正方形CDEF的面积$= FC^2 = 169\ \mathrm{cm}^2$。
答：正方形CDEF的面积为$169\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算正方形CDEF的面积，需先求出其边长FC的平方（正方形面积等于边长的平方）。观察图形可知FC是Rt△FAC的斜边，已知AF的长度，要计算FC的长需先求出直角边AC的长度；而AC是Rt△ABC的斜边，已知AB、BC的长度，可先用勾股定理求出$AC^2$，再代入Rt△FAC中用勾股定理求出$FC^2$，即可得到正方形的面积。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16+9=25$
在$Rt△ FAC$中，$∠ FAC=90°$，由勾股定理得：
$FC^2 = AC^2 + AF^2 = 25 + 12^2 = 25+144=169$
∵ 四边形CDEF是正方形，
∴ 正方形CDEF的面积$= FC^2 = 169\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$169\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，解题关键是梳理清楚所求量与已知线段的关联，通过两次运用勾股定理逐步推导得到所需边长的平方即可求出结果，侧重考查对基础定理的运用能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.8
要计算正方形CDEF的面积，需先求出其边长FC的平方（正方形面积等于边长的平方）。观察图形可知FC是Rt△FAC的斜边，已知AF的长度，要计算FC的长需先求出直角边AC的长度；而AC是Rt△ABC的斜边，已知AB、BC的长度，可先用勾股定理求出$AC^2$，再代入Rt△FAC中用勾股定理求出$FC^2$，即可得到正方形的面积。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16+9=25$
在$Rt△ FAC$中，$∠ FAC=90°$，由勾股定理得：
$FC^2 = AC^2 + AF^2 = 25 + 12^2 = 25+144=169$
∵ 四边形CDEF是正方形，
∴ 正方形CDEF的面积$= FC^2 = 169\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$169\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，解题关键是梳理清楚所求量与已知线段的关联，通过两次运用勾股定理逐步推导得到所需边长的平方即可求出结果，侧重考查对基础定理的运用能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.8
2. 有一块土地的形状如图9，$∠ B=∠ D=90°$，$AB=20$米，$BC=15$米，$CD=7$米，计算这块土地的面积。
答案
解：连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 625$，
∴ $AC = 25$ 米。
在Rt△ADC中，∠D=90°，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 625 - 7^2 = 576$，
∴ $AD = 24$ 米。
这块土地的面积 $= S_{△ ABC} + S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 24 × 7$
$= 150 + 84$
$= 234$（平方米）
答：这块土地的面积为234平方米。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 625$，
∴ $AC = 25$ 米。
在Rt△ADC中，∠D=90°，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 625 - 7^2 = 576$，
∴ $AD = 24$ 米。
这块土地的面积 $= S_{△ ABC} + S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 24 × 7$
$= 150 + 84$
$= 234$（平方米）
答：这块土地的面积为234平方米。
解析
【分析】
该图形是含两个直角的不规则四边形，可通过添加辅助线转化为规则的直角三角形求解。首先连接AC，将四边形拆分为Rt△ABC和Rt△ADC两个直角三角形：第一步在Rt△ABC中，已知两条直角边AB、BC的长度，用勾股定理求出斜边AC的长度；第二步将AC作为Rt△ADC的斜边，结合已知直角边CD的长度，再次用勾股定理求出另一条直角边AD的长度；最后分别计算两个直角三角形的面积，求和即可得到土地的总面积。
【解析】
解：连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 625$，
∴ $AC = 25$ 米。
在Rt△ADC中，∠D=90°，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 625 - 7^2 = 576$，
∴ $AD = 24$ 米。
这块土地的面积 $= S_{△ ABC} + S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 24 × 7$
$= 150 + 84$
$= 234$（平方米）
答：这块土地的面积为234平方米。
【答案】
234平方米
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心是通过添加辅助线将未知的不规则图形转化为熟悉的直角三角形，结合勾股定理求出未知边长后计算面积，体现了转化的数学思想，解题关键是合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
该图形是含两个直角的不规则四边形，可通过添加辅助线转化为规则的直角三角形求解。首先连接AC，将四边形拆分为Rt△ABC和Rt△ADC两个直角三角形：第一步在Rt△ABC中，已知两条直角边AB、BC的长度，用勾股定理求出斜边AC的长度；第二步将AC作为Rt△ADC的斜边，结合已知直角边CD的长度，再次用勾股定理求出另一条直角边AD的长度；最后分别计算两个直角三角形的面积，求和即可得到土地的总面积。
【解析】
解：连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 625$，
∴ $AC = 25$ 米。
在Rt△ADC中，∠D=90°，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 625 - 7^2 = 576$，
∴ $AD = 24$ 米。
这块土地的面积 $= S_{△ ABC} + S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 20 × 15 + \frac{1}{2} × 24 × 7$
$= 150 + 84$
$= 234$（平方米）
答：这块土地的面积为234平方米。
【答案】
234平方米
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心是通过添加辅助线将未知的不规则图形转化为熟悉的直角三角形，结合勾股定理求出未知边长后计算面积，体现了转化的数学思想，解题关键是合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
如图10是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
(1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6米，AP=1.2米，则甲房间的宽度AB=米；
(2)当他在乙房间时，测得MA=1.6米，NB=1.2米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽AB；
(3)当他在丙房间时，测得MA=3.3米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的宽AB.
甲
乙
丙
(1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6米，AP=1.2米，则甲房间的宽度AB=米；
(2)当他在乙房间时，测得MA=1.6米，NB=1.2米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽AB；
(3)当他在丙房间时，测得MA=3.3米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的宽AB.
甲
乙
丙
答案
解：
(1) 在Rt△MAP中，∠A=90°，由勾股定理得：
$MP^2 = MA^2 + AP^2 = 1.6^2 + 1.2^2 = 4$，
$\therefore MP=2$米。
由梯子长度不变可知$PB=MP=2$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+2=3.2$米。
(2) $\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ AMP + ∠ APM = 90°$。
$\because ∠ MPN=90°$，
$\therefore ∠ APM + ∠ BPN = 180° - 90° = 90°$，
$\therefore ∠ AMP = ∠ BPN$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
在$△ MAP$和$△ PBN$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AMP=∠ BPN \\MP=PN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ PBN \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore AP=NB=1.2$米，$PB=MA=1.6$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+1.6=2.8$米。
(3) 过点$N$作$NC ⊥ MA$，垂足为$C$。
$\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore$ 四边形$ACNB$是矩形，
$\therefore AB=NC$，$AC=NB$。
$\because ∠ NPB=45°$，$∠ B=90°$，
$\therefore △ NBP$是等腰直角三角形，$PB=NB$。
$\because ∠ MPA=75°$，$∠ NPB=45°$，
$\therefore ∠ MPN=180° -75° -45°=60°$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
$\therefore △ MPN$是等边三角形，
$\therefore MP=MN$，$∠ PMN=60°$。
在Rt$△ MAP$中，$∠ A=90°$，$∠ MPA=75°$，
$\therefore ∠ AMP=90° -75°=15°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ AMP + ∠ PMN=15°+60°=75°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ APM$。
在$△ MAP$和$△ NCM$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ NCM=90° \\∠ APM=∠ CMN \\MP=MN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ NCM \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore MA=NC=3.3$米，
又$\because AB=NC$，
$\therefore AB=3.3$米。
答：(1) $\boldsymbol{3.2}$；(2) 乙房间的宽$AB$为2.8米；(3) 丙房间的宽$AB$为3.3米。
(1) 在Rt△MAP中，∠A=90°，由勾股定理得：
$MP^2 = MA^2 + AP^2 = 1.6^2 + 1.2^2 = 4$，
$\therefore MP=2$米。
由梯子长度不变可知$PB=MP=2$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+2=3.2$米。
(2) $\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ AMP + ∠ APM = 90°$。
$\because ∠ MPN=90°$，
$\therefore ∠ APM + ∠ BPN = 180° - 90° = 90°$，
$\therefore ∠ AMP = ∠ BPN$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
在$△ MAP$和$△ PBN$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AMP=∠ BPN \\MP=PN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ PBN \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore AP=NB=1.2$米，$PB=MA=1.6$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+1.6=2.8$米。
(3) 过点$N$作$NC ⊥ MA$，垂足为$C$。
$\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore$ 四边形$ACNB$是矩形，
$\therefore AB=NC$，$AC=NB$。
$\because ∠ NPB=45°$，$∠ B=90°$，
$\therefore △ NBP$是等腰直角三角形，$PB=NB$。
$\because ∠ MPA=75°$，$∠ NPB=45°$，
$\therefore ∠ MPN=180° -75° -45°=60°$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
$\therefore △ MPN$是等边三角形，
$\therefore MP=MN$，$∠ PMN=60°$。
在Rt$△ MAP$中，$∠ A=90°$，$∠ MPA=75°$，
$\therefore ∠ AMP=90° -75°=15°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ AMP + ∠ PMN=15°+60°=75°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ APM$。
在$△ MAP$和$△ NCM$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ NCM=90° \\∠ APM=∠ CMN \\MP=MN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ NCM \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore MA=NC=3.3$米，
又$\because AB=NC$，
$\therefore AB=3.3$米。
答：(1) $\boldsymbol{3.2}$；(2) 乙房间的宽$AB$为2.8米；(3) 丙房间的宽$AB$为3.3米。
解析
【分析】
(1) 本题隐含梯子长度不变的条件，首先在Rt△MAP中，已知两条直角边MA、AP的长度，可利用勾股定理求出梯子MP的长度；因为梯子顶端落在对面墙角B处，所以PB=MP，房间宽度AB=AP+PB，代入数值计算即可。
(2) 已知∠MPN=90°，结合∠A=∠B=90°，可通过“同角的余角相等”得到一组相等的锐角，再结合梯子长度相等即MP=PN，可证明△MAP≌△PBN，得到对应边AP=NB、PB=MA，房间宽度AB=AP+PB，代入数值计算即可。
(3) 先根据平角定义求出∠MPN=60°，结合MP=PN可得△MPN是等边三角形；过N作NC⊥MA，构造矩形ACNB，可得AB=NC，再通过角的计算得到相等的角，证明△MAP≌△NCM，得到NC=MA，即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 在Rt△MAP中，∠A=90°，由勾股定理得：
$MP^2 = MA^2 + AP^2 = 1.6^2 + 1.2^2 = 4$，
$\therefore MP=2$米。
由梯子长度不变可知$PB=MP=2$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+2=3.2$米。
(2) $\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ AMP + ∠ APM = 90°$。
$\because ∠ MPN=90°$，
$\therefore ∠ APM + ∠ BPN = 180° - 90° = 90°$，
$\therefore ∠ AMP = ∠ BPN$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
在$△ MAP$和$△ PBN$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AMP=∠ BPN \\MP=PN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ PBN \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore AP=NB=1.2$米，$PB=MA=1.6$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+1.6=2.8$米。
(3) 过点$N$作$NC ⊥ MA$，垂足为$C$。
$\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore$ 四边形$ACNB$是矩形，
$\therefore AB=NC$，$AC=NB$。
$\because ∠ NPB=45°$，$∠ B=90°$，
$\therefore △ NBP$是等腰直角三角形，$PB=NB$。
$\because ∠ MPA=75°$，$∠ NPB=45°$，
$\therefore ∠ MPN=180° -75° -45°=60°$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
$\therefore △ MPN$是等边三角形，
$\therefore MP=MN$，$∠ PMN=60°$。
在Rt$△ MAP$中，$∠ A=90°$，$∠ MPA=75°$，
$\therefore ∠ AMP=90° -75°=15°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ AMP + ∠ PMN=15°+60°=75°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ APM$。
在$△ MAP$和$△ NCM$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ NCM=90° \\∠ APM=∠ CMN \\MP=MN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ NCM \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore MA=NC=3.3$米，
又$\because AB=NC$，
$\therefore AB=3.3$米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.2}$；(2) $2.8$米；(3) $3.3$米
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以梯子靠墙的生活场景为载体设置递进式问题，解题的核心是抓住“梯子长度不变”的隐含条件，结合直角三角形、全等三角形、特殊三角形的性质求解，第三问需要合理构造辅助线完成线段的转化，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 本题隐含梯子长度不变的条件，首先在Rt△MAP中，已知两条直角边MA、AP的长度，可利用勾股定理求出梯子MP的长度；因为梯子顶端落在对面墙角B处，所以PB=MP，房间宽度AB=AP+PB，代入数值计算即可。
(2) 已知∠MPN=90°，结合∠A=∠B=90°，可通过“同角的余角相等”得到一组相等的锐角，再结合梯子长度相等即MP=PN，可证明△MAP≌△PBN，得到对应边AP=NB、PB=MA，房间宽度AB=AP+PB，代入数值计算即可。
(3) 先根据平角定义求出∠MPN=60°，结合MP=PN可得△MPN是等边三角形；过N作NC⊥MA，构造矩形ACNB，可得AB=NC，再通过角的计算得到相等的角，证明△MAP≌△NCM，得到NC=MA，即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 在Rt△MAP中，∠A=90°，由勾股定理得：
$MP^2 = MA^2 + AP^2 = 1.6^2 + 1.2^2 = 4$，
$\therefore MP=2$米。
由梯子长度不变可知$PB=MP=2$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+2=3.2$米。
(2) $\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ AMP + ∠ APM = 90°$。
$\because ∠ MPN=90°$，
$\therefore ∠ APM + ∠ BPN = 180° - 90° = 90°$，
$\therefore ∠ AMP = ∠ BPN$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
在$△ MAP$和$△ PBN$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AMP=∠ BPN \\MP=PN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ PBN \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore AP=NB=1.2$米，$PB=MA=1.6$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+1.6=2.8$米。
(3) 过点$N$作$NC ⊥ MA$，垂足为$C$。
$\because ∠ A=∠ B=90°$，
$\therefore$ 四边形$ACNB$是矩形，
$\therefore AB=NC$，$AC=NB$。
$\because ∠ NPB=45°$，$∠ B=90°$，
$\therefore △ NBP$是等腰直角三角形，$PB=NB$。
$\because ∠ MPA=75°$，$∠ NPB=45°$，
$\therefore ∠ MPN=180° -75° -45°=60°$。
由梯子长度不变得$MP=PN$，
$\therefore △ MPN$是等边三角形，
$\therefore MP=MN$，$∠ PMN=60°$。
在Rt$△ MAP$中，$∠ A=90°$，$∠ MPA=75°$，
$\therefore ∠ AMP=90° -75°=15°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ AMP + ∠ PMN=15°+60°=75°$，
$\therefore ∠ CMN=∠ APM$。
在$△ MAP$和$△ NCM$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ NCM=90° \\∠ APM=∠ CMN \\MP=MN\end{cases}$
$\therefore △ MAP ≌ △ NCM \mathrm{ (AAS)}$，
$\therefore MA=NC=3.3$米，
又$\because AB=NC$，
$\therefore AB=3.3$米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.2}$；(2) $2.8$米；(3) $3.3$米
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以梯子靠墙的生活场景为载体设置递进式问题，解题的核心是抓住“梯子长度不变”的隐含条件，结合直角三角形、全等三角形、特殊三角形的性质求解，第三问需要合理构造辅助线完成线段的转化，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
